費馬問題(第4 頁)

換另一種講法，「無窮遞減法」的原理是，如果n1 是P(n) 的最小反例(the minimal counterexample)，我們只要找出n2 < n1，使得p(n2) 也是一個反例，就得到一個矛盾。

由此看 ...   　1│2│3│4│5│6│7│8　 費馬問題 （第4頁） 康明昌   首頁|搜尋 ．原載於數學傳播第七卷第四期、第八卷第一期 ．作者當時任教於台大數學系 ‧註釋 ‧對外搜尋關鍵字   方程式x4+y4=z4 我們要證明方程式 x4+y4=z4沒有全異於零的整數解。

事實上我們甚至可以證明 定理2 方程式 x4+y4=z2沒有全異於零的整數解。

證明 令x1,y1,z1是互質正整數，且 x14+y14=z14。

由定理1，可設y是奇數， 且x12=2uv， y12=u2-v2， z1=u2+v2， 其中u與v是互質正整數。

因 v2+y12=u2,y1是奇數，且v,y1，u互質， 故v是偶數（定理1），令v=2u代入x12=2uv， 得 。

因u與w互質，且uw是完全平方。

故u=r2,w=s2,v=2w=2s2。

很顯然的， rv）。

將u與v的值代入 y12=u2-v2。

得 (2s2)2+y12=(r2)2 故 其中a與b互質。

由s2=ab得a=x22,b=y22， 其中x2與y2互質。

將a與b之值代入 r2=a2+b2，並令z2=r，得 以上步驟其實證明一件事：若(x1,y1,z1) 是方程式 x4+y4=z2的一組互質正整數解， 則必存在另一組互質正整數解(x2,y2,z2)且z2z2>z3>…不可能是無限的。

討論: 以上的方法，其實是「無窮遞減法」(methodofinfinitedescent.) 的一個應用。

這個方法是Fermat最得意的發明。

詳細的說，如果想證明有關正整數的性質p(n)對於所有正整數n都成立（例如，p(n)代表n可以寫成四個平方數的和）， 我們只需證明：如果對於某一個正整數n1，p(n1)是錯的， 則必存在另一個正整數n2，n2