无穷递降法- 维基百科，自由的百科全书

无穷递降法，又名無窮遞減法（英語：Proof by infinite descent），是数学中证明方程无解的一种方法。

目录. 1 步骤; 2 一些實用的例子. 2.1 a+b=3(s+t)無非平方解 ... 无穷递降法 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 此條目没有列出任何参考或来源。

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无穷递降法，又名無窮遞減法（英語：Proofbyinfinitedescent），是数学中证明方程无解的一种方法。

目录 1步骤 2一些實用的例子 2.1a2+b2=3(s2+t2)無非平方解 2.2'"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'的無理性 3參見 步骤[编辑] 假设方程有解，并设X为最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。

所以，方程无解。

一些實用的例子[编辑] a2+b2=3(s2+t2)無非平方解[编辑] 证明下列方程无正整数解: a 2 + b 2 = 3 ⋅ ( s 2 + t 2 ) , {\displaystylea^{2}+b^{2}=3\cdot(s^{2}+t^{2}),\,} 证明: 假设该方程有正整数解。

设 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystylea_{1},b_{1},s_{1},t_{1}} 为最小的解。

即 a 1 2 + b 1 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystylea_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot(s_{1}^{2}+t_{1}^{2})} 显然， a 1 {\displaystylea_{1}} 和 b 1 {\displaystyleb_{1}} 都必须能被3整除。

设 3 a 2 = a 1 {\displaystyle3a_{2}=a_{1}\,} 及 3 b 2 = b 1 . {\displaystyle3b_{2}=b_{1}.\,} 我们得到 ( 3 a 2 ) 2 + ( 3 b 2 ) 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystyle(3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot(s_{1}^{2}+t_{1}^{2})} 3 ( a 2 2 + b 2 2 ) = s 1 2 + t 1 2 . {\displaystyle3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,} 这是更小的解，与 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystylea_{1},b_{1},s_{1},t_{1}} 的最小性相矛盾。

所以，原方程无正整数解。

2 {\displaystyle{\sqrt{2}}} 的無理性[编辑] 主条目：2的算术平方根 假設 2 {\displaystyle{\sqrt{2}}} 是有理數，即 p 2 = 2 q 2 {\displaystylep^{2}=2q^{2}} 有正整數解。

令 ( p , q ) {\displaystyle(p,q)} 是此方程的最小解 易知 p {\displaystylep} 是偶數，從得 q {\displaystyleq} 是偶數 ⇒ ( p / 2 , q / 2 ) < ( p , q ) {\displaystyle(p/2,q/2)