無窮遞降法- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

無窮遞降法，又名無窮遞減法（英語 ... 無窮遞降法 語言 監視 編輯 此條目沒有列出任何參考或來源。

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無窮遞降法，又名無窮遞減法（英語：Proofbyinfinitedescent），是數學中證明方程無解的一種方法。

目次 1步驟 2一些實用的例子 2.1a2+b2=3(s2+t2)無非平方解 2.2'"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'的無理性 3參見 步驟編輯 假設方程有解，並設X為最小的解。

從X推出一個更小的解Y。

從而與X的最小性相矛盾。

所以，方程無解。

一些實用的例子編輯 a2+b2=3(s2+t2)無非平方解編輯 證明下列方程無正整數解: a 2 + b 2 = 3 ⋅ ( s 2 + t 2 ) , {\displaystylea^{2}+b^{2}=3\cdot(s^{2}+t^{2}),\,}  證明: 假設該方程有正整數解。

設 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystylea_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}  為最小的解。

即 a 1 2 + b 1 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystylea_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot(s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}  顯然， a 1 {\displaystylea_{1}}  和 b 1 {\displaystyleb_{1}}  都必須能被3整除。

設 3 a 2 = a 1 {\displaystyle3a_{2}=a_{1}\,}  及 3 b 2 = b 1 . {\displaystyle3b_{2}=b_{1}.\,}  我們得到 ( 3 a 2 ) 2 + ( 3 b 2 ) 2 = 3 ⋅ ( s 1 2 + t 1 2 ) {\displaystyle(3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot(s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}   3 ( a 2 2 + b 2 2 ) = s 1 2 + t 1 2 . {\displaystyle3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}  這是更小的解，與 a 1 , b 1 , s 1 , t 1 {\displaystylea_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}  的最小性相矛盾。

所以，原方程無正整數解。

2 {\displaystyle{\sqrt{2}}}  的無理性編輯 主條目：2的算術平方根 假設 2 {\displaystyle{\sqrt{2}}}  是有理數，即 p 2 = 2 q 2 {\displaystylep^{2}=2q^{2}}  有正整數解。

令 ( p , q ) {\displaystyle(p,q)}  是此方程的最小解 易知 p {\displaystylep}  是偶數，從得 q {\displaystyleq}  是偶數 ⇒ ( p / 2 , q / 2 ) < ( p , q ) {\displaystyle(p/2,q/2)