欧几里得几何 - 维基百科

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。

欧几里得. 欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。

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欧几里得 几何学一个球面投射到一个平面。

纲要（英语：Outlineofgeometry）历史（英语：Historyofgeometry） 分支（英语：Listofgeometrytopics） 欧几里得 非欧几里得 椭圆 球面 双曲 射影 仿射 合成（英语：Syntheticgeometry） 解析 代数 算术几何 微分 黎曼 辛几何 离散微分（英语：Discretedifferentialgeometry） 有限 重合 概念特性维度 尺规作图 角度 曲线 对角线 平行 垂直 顶点 全等 相似 对称 零 /一维 点 直线 线段 射线 长度 二维 平面 面积 多边形 三角形 Altitude 斜边 邊長 勾股定理 平行四边形 正方形 三角形 菱形 平行四边形 四边形 梯形 等腰梯形 筝形 圆形 直径 周长 面积 三维 空間 多面體 体积 表面積 正多面體 凸正多面體 六面體 立方體 長方體 四角柱 平行六面體 幾何體 棱锥 圆锥体 棱柱 圆柱体 球體 直径 體積與表面積 球缺 四维- /其他维度 多胞形 四维凸正多胞体 四維超正方體 超球體 几何学家 按照姓名 会田安明 阿耶波多 Ahmes 海什木 阿波罗尼奥斯 阿基米德 阿蒂亚 Baudhayana 鲍耶 Brahmagupta Cartan Descartes 欧几里得 欧拉 高斯 格罗莫夫 希尔伯特 Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám 克莱因 罗巴切夫斯基 Manava 闵可夫斯基 明安图 帕斯卡 毕达哥拉斯 Parameshvara 庞加莱 黎曼 Sakabe Sijzi 图西 維布倫 Virasena 杨辉 al-Yasamin 张衡 几何学家列表 按照时期 公元前 Ahmes Baudhayana Manava 毕达哥拉斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 1–1400年代 张衡 Kātyāyana 阿耶波多 Brahmagupta Virasena 海什木 Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi 杨辉 Parameshvara 1400–1700年代 Jyeṣṭhadeva Descartes 帕斯卡 明安图 欧拉 Sakabe 会田安明 1700–1900年代 高斯 罗巴切夫斯基 鲍耶 黎曼 克莱因 庞加莱 希尔伯特 闵可夫斯基 Cartan 維布倫 现代 阿蒂亚 格罗莫夫 几何学主题查论编 欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。

欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。

三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。

数学上，欧几里得几何是二维平面和三维空间中的几何，基于點線面公設。

数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

其中公設五又稱之為平行公設（ParallelAxiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。

在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（NikolayIvanovitchLobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclideangeometry）。

目录 1公理描述 2现代方法 3经典定理 4参见 公理描述[编辑] 歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是： 从一點向另一點可以引一条直线。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

所有直角都相等。

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题： “ 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

” 平行公理并不像其他公理那么显然。

许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。

19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何（英语：Absolutegeometry））。

从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。

例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。

他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。

然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。

[來源請求]因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统（英语：Hilbert'saxioms）。

欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理。

当然，之后他还使用量的其他性质。

与同一事物相等的事物相等。

相等的事物加上相等的事物仍然相等。

相等的事物减去相等的事物仍然相等。

一个事物与另一事物重合，则它们相等。

整体大于局部。

现代方法[编辑] 如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。

通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。

这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。

构造 首先，定义点的集合为实数对 ( x , y ) {\displaystyle(x,y)} 的集合。

给定两个点 P = ( x , y ) {\displaystyleP=(x,y)} 和 Q = ( z , t ) {\displaystyleQ=(z,t)} ，定义距离： | P Q | = ( x − z ) 2 + ( y − t ) 2 {\displaystyle|PQ|={\sqrt{(x-z)^{2}+(y-t)^{2}}}} . 这就是欧几里得度量。

所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。

例如通过点 P {\displaystyleP} 和 Q {\displaystyleQ} 的直线可以定义成点的集合 A {\displaystyleA} 满足 | P Q | = | P A | + | A Q | {\displaystyle|PQ|=|PA|+|AQ|} 或 | P Q | = ± ( | P A | − | A Q | ) {\displaystyle|PQ|=\pm(|PA|-|AQ|)} 。

经典定理[编辑] 塞瓦定理 梅涅劳斯定理 托勒密定理 海伦公式 九点圆 勾股定理 蝴蝶定理 参见[编辑] 几何学主题 非欧几里得几何 双曲几何 椭圆几何 查论编数学（数学领域） 历史 纲要（英语：Outlineofmathematics） 符号表 数学基础 范畴论 集合论 数理逻辑 数学哲学 代数 抽象代数 初等代數 线性代数 多重线性代数 泛代数 数学分析 微积分 实变函数 复变函数 微分方程 泛函分析 調和分析 离散数学 组合数学 图论 序理论 博弈论 几何学 代数几何 解析几何 微分几何 离散几何学 欧几里得几何 非欧几里得几何 有限几何学 数论 算术 代數數論 解析数论 几何数论 算术几何 丢番图几何 拓扑学 代数拓扑 微分拓扑 几何拓扑 统计学 测度与概率 数理统计学 数据科学 统计推断 迴歸分析 统计学习理论 机器学习 人工智能 数据结构与算法 计算数学 计算机科学 计算理论 数值分析 最优化 计算机代数 应用数学 控制论 信息论 计算化学 数理生物学 数理经济学 计量经济学 數理金融學 数学心理学 数学物理学 生物統計學 其它 数学史 娱乐数学 数学与艺术（英语：Mathematicsandart） 数学教育 注释 数学的领域也可根据“MSC分类标准”或“中国学科分类国家标准”进行分类。

分类 主题 共享资源 专题 规范控制 BNF:cb119882914(data) GND:4137555-5 NKC:ph120031 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=欧几里得几何&oldid=72199248” 分类：​欧几里得几何古典幾何學數學史初等几何隐藏分类：​自2016年9月缺少来源的条目含有英語的條目自2019年12月有未列明来源语句的条目包含BNF标识符的维基百科条目包含GND标识符的维基百科条目包含NKC标识符的维基百科条目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 AfrikaansአማርኛالعربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)БългарскиবাংলাCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoગુજરાતી客家語/Hak-kâ-ngîעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語La.lojban.GĩkũyũҚазақшаಕನ್ನಡ한국어КыргызчаLatinaLinguaFrancaNovaLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålOccitanPolskiPiemontèisPortuguêsRomânăРусскийРусиньскыйSrpskohrvatski/српскохрватскиසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ТоҷикӣTürkçeТатарча/tatarçaУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语文言粵語 编辑链接