歐幾里得幾何- 維基百科

數學上，歐幾里得幾何是二維平面和三維空間中的幾何，基於點線面公設。

數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom ... 歐幾里得幾何 按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學 語言 監視 編輯 此條目沒有列出任何參考或來源。

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歐幾里得幾何指按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學。

歐幾里得 歐幾里得幾何有時就指二維平面上的幾何，即平面幾何，本文主要描述平面幾何。

三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何，高維的情形請參看歐幾里得空間。

數學上，歐幾里得幾何是二維平面和三維空間中的幾何，基於點線面公設。

數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。

其中公設五又稱之為平行公設（ParallelAxiom），敘述比較複雜，這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。

在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（NikolayIvanovitchLobachevski）、匈牙利數學家波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即非歐幾何（non-Euclideangeometry）。

目次 1公理描述 2現代方法 3經典定理 4參見 公理描述編輯  歐幾里得證明的要素，由於一個正三角形的存在必須包含每個線段，包含ΑΒΓ等邊三角形的構成，是由Α和Β兩點，畫出圓Δ與圓Ε，並且交叉於第三點Γ上。

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的真命題。

歐幾里得平面幾何的五條公理（公設）是： 從一點向另一點可以引一條直線。

任意線段能無限延伸成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都相等。

若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題： “ 通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

” 平行公理並不像其他公理那麼顯然。

許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。

19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何（英語：Absolutegeometry））。

從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理（公設）並不完備。

例如，該幾何中的定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。

他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。

然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。

[來源請求]因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統（英語：Hilbert'saxioms）。

歐幾里得還提出了五個一般概念，也可以作為公理。

當然，之後他還使用量的其他性質。

與同一事物相等的事物相等。

相等的事物加上相等的事物仍然相等。

相等的事物減去相等的事物仍然相等。

一個事物與另一事物重合，則它們相等。

整體大於局部。

現代方法編輯 如今，歐幾里得幾何的構造通常不是通過公理化方法，而是通過解析幾何。

通過這種方法，可以像證明定理一樣證明歐幾里得幾何（或非歐幾里得幾何）中的公理。

這一方法沒有公理方法那麼漂亮，但絕對簡練。

構造首先，定義點的集合為實數對 ( x , y ) {\displaystyle(x,y)}  的集合。

給定兩個點 P = ( x , y ) {\displaystyleP=(x,y)}  和 Q = ( z , t ) {\displaystyleQ=(z,t)}  ，定義距離： | P Q | = ( x − z ) 2 + ( y − t ) 2 {\displaystyle|PQ|={\sqrt{(x-z)^{2}+(y-t)^{2}}}}  .這就是歐幾里得度量。

所有其他概念，如直線、角、圓可以通過作為實數對的點和之間的距離來定義。

例如通過點 P {\displaystyleP}  和 Q {\displaystyleQ}  的直線可以定義成點的集合 A {\displaystyleA}  滿足 | P Q | = | P A | + | A Q | {\displaystyle|PQ|=|PA|+|AQ|}  或 | P Q | = ± ( | P A | − | A Q | ) {\displaystyle|PQ|=\pm(|PA|-|AQ|)}  。

經典定理編輯 塞瓦定理 梅涅勞斯定理 托勒密定理 海倫公式 九點圓 勾股定理 蝴蝶定理參見編輯  幾何學主題 非歐幾里得幾何 雙曲幾何 橢圓幾何 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=欧几里得几何&oldid=72199248」