比較三種平均數 - 昌爸工作坊

a和b兩數，其算術平均數(A.M)、幾何平均數(G.M)、調和平均數(H.M)分別如下：. A.M=a+b2 ... 比較三種平均數 　 a和b兩數，其算術平均數(A.M)、幾何平均數(G.M)、調和平均數(H.M)分別如下： A.M=$\frac{a+b}{2}$，G.M=$\sqrt{ab}$，H.M=$\frac{2ab}{a+b}$。

如果a和b都是正數，則 ($\sqrt{a}-\sqrt{b}$)2 ≧0， a-2$\sqrt{ab}$+b≧ 0， 因此$\frac{a+b}{2}$ ≧$\sqrt{ab}$，即 A.M≧G.M。

  ($\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}$)2 ≧ 0， $\frac{1}{a}$-$\frac{2}{\sqrt{ab}}$+$\frac{1}{b}$ ≧ 0， $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$ ≧$\frac{2}{\sqrt{ab}}$， 因此$\sqrt{ab}$≧$\large\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$，即 G.M≧H.M。

所以算術平均數(A.M)≧幾何平均數(G.M)≧調和平均數(H.M)。

  圓O直徑AB，C點在圓周，CD⊥AB，D點是垂足；DE⊥OC，E點是垂足。

假設AD=a，DB=b，則 OC=$\frac{a+b}{2}$。

由母子相似性質知CD2=AD ×DB=ab，所以CD=$\sqrt{ab}$。

由母子相似性質知CD2=CE ×CO ，即ab=CE×$\frac{a+b}{2}$，所以CE=$\frac{2ab}{a+b}$。

由附圖知OC> CD>CE，所以$\frac{a+b}{2}$ >$\sqrt{ab}$>$\frac{2ab}{a+b}$。

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