算術-幾何平均數- 維基百科，自由的百科全書

g_{{n+1}}={\sqrt {a_{n. 這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為x和y的算術-幾何 ... 算術-幾何平均數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 兩個正實數x和y的算術-幾何平均數定義如下： 首先計算x和y算術平均數(相加平均)，稱其為a1。

然後計算x和y幾何平均數(相乘平均)，稱其為g1；這是xy的算術平方根。

a 1 = x + y 2 {\displaystylea_{1}={\frac{x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyleg_{1}={\sqrt{xy}}.} 然後重複這個步驟，這樣便得到了兩個數列(an)和(gn)： a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystylea_{n+1}={\frac{a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyleg_{n+1}={\sqrt{a_{n}g_{n}}}.} 這兩個數列收斂於相同的數，這個數稱為x和y的算術-幾何平均數，記為M(x,y)，或agm(x,y)。

目次 1例子 2性質 3存在性的證明 4關於積分表達式的證明 5參考文獻 5.1引用 5.2來源 6參見 例子[編輯] 欲計算a0=24和g0=6的算術-幾何平均數，首先算出它們的算術平均數和幾何平均數： a 1 = 24 + 6 2 = 15 , {\displaystylea_{1}={\frac{24+6}{2}}=15,} g 1 = 24 × 6 = {\displaystyleg_{1}={\sqrt{24\times6}}=\,} 12 {\displaystyle12} 然後進行迭代： a 2 = 15 + 12 2 = 13.5 , {\displaystylea_{2}={\frac{15+12}{2}}=13.5,} g 2 = 15 × 12 = {\displaystyleg_{2}={\sqrt{15\times12}}=\,} 13.416407864999 {\displaystyle13.416407864999} etc. 繼續計算，可得出以下的值： n an gn 0 24 6 1 15 12 2 13.5 13.416407864999... 3 13.458203932499... 13.458139030991... 4 13.458171481745... 13.458171481706... 24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限，大約為13.45817148173。

性質[編輯] M(x,y)是一個介於x和y的算術平均數和幾何平均數之間的數。

如果r>0，則M(rx,ry)=rM(x,y)。

M(x,y)還可以寫為如下形式： M ( x , y ) = π 4 ⋅ x + y K ( x − y x + y ) {\displaystyle\mathrm{M}(x,y)={\frac{\pi}{4}}\cdot{\frac{x+y}{K\left({\frac{x-y}{x+y}}\right)}}} 其中K(x)是第一類完全橢圓積分。

1和 2 {\displaystyle{\sqrt{2}}} 的算術-幾何平均數的倒數，稱為高斯常數。

1 M ( 1 , 2 ) = G = 0.8346268 … {\displaystyle{\frac{1}{\mathrm{M}(1,{\sqrt{2}})}}=G=0.8346268\dots} 存在性的證明[編輯] 由算術幾何不等式可得 g n ⩽ a n {\displaystyleg_{n}\leqslanta_{n}} 因此 g n + 1 = g n ⋅ a n ⩾ g n ⋅ g n = g n {\displaystyleg_{n+1}={\sqrt{g_{n}\cdota_{n}}}\geqslant{\sqrt{g_{n}\cdotg_{n}}}=g_{n}} 這意味著 { g n } {\displaystyle\{g_{n}\}} 是不降序列。

同時，因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間，又可以得到該序列是有上界的（ x , y {\displaystylex,y} 中的較大者）。

根據單調收斂定理，存在 g {\displaystyleg} 使得: lim n → ∞ g n = g {\displaystyle\lim_{n\to\infty}g_{n}=g} 然而，我們又有: a n = g n + 1 2 g n {\displaystylea_{n}={\frac{g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}} 從而: lim n → ∞ a n = lim n → ∞ g n + 1 2 g n = g 2 g = g {\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}{\frac{g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac{g^{2}}{g}}=g} 證畢。

關於積分表達式的證明[編輯] 該證明由高斯首次提出[1]。

令 I ( x , y ) = ∫ 0 π / 2 d θ x 2 cos 2 ⁡ θ + y 2 sin 2 ⁡ θ , {\displaystyleI(x,y)=\int_{0}^{\pi/2}{\frac{d\theta}{\sqrt{x^{2}\cos^{2}\theta+y^{2}\sin^{2}\theta}}},} 將積分變量替換為 θ ′ {\displaystyle\theta'} ,其中 sin ⁡ θ = 2 x sin ⁡ θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 ⁡ θ ′ , {\displaystyle\sin\theta={\frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^{2}\theta'}},} 於是可得 I ( x , y ) = ∫ 0 π / 2 d θ ′ ( 1 2 ( x + y ) ) 2 cos 2 ⁡ θ ′ + ( x y ) 2 sin 2 ⁡ θ ′ = I ( 1 2 ( x + y ) , x y ) . {\displaystyle{\begin{aligned}I(x,y)&=\int_{0}^{\pi/2}{\frac{d\theta'}{\sqrt{{\bigl(}{\frac{1}{2}}(x+y){\bigr)}^{2}\cos^{2}\theta'+{\bigl(}{\sqrt{xy}}{\bigr)}^{2}\sin^{2}\theta'}}}\\&=I{\bigl(}{\tfrac{1}{2}}(x+y),{\sqrt{xy}}{\bigr)}.\end{aligned}}} 因此，我們有 I ( x , y ) = I ( a 1 , g 1 ) = I ( a 2 , g 2 ) = ⋯ = I ( M ( x , y ) , M ( x , y ) ) = π / ( 2 M ( x , y ) ) . {\displaystyle{\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots\\&=I{\bigl(}M(x,y),M(x,y){\bigr)}=\pi/{\bigr(}2M(x,y){\bigl)}.\end{aligned}}} 最後一個等式可由 I ( z , z ) = π / ( 2 z ) {\displaystyleI(z,z)=\pi/(2z)} 推出。

於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式： M ( x , y ) = π / ( 2 I ( x , y ) ) . {\displaystyleM(x,y)=\pi/{\bigl(}2I(x,y){\bigr)}.} 參考文獻[編輯] 引用[編輯] ^DavidA.Cox.TheArithmetic-GeometricMeanofGauss.J.L.Berggren,JonathanM.Borwein,PeterBorwein(編).Pi:ASourceBook.Springer.2004:481[2014-08-12].ISBN 978-0-387-20571-7.（原始內容存檔於2020-06-14）. firstpublishedinL'EnseignementMathématique,t.30(1984),p.275-330 來源[編輯] JonathanBorwein,PeterBorwein,PiandtheAGM.Astudyinanalyticnumbertheoryandcomputationalcomplexity.Reprintofthe1987original.CanadianMathematicalSocietySeriesofMonographsandAdvancedTexts,4.AWiley-IntersciencePublication.JohnWiley&Sons,Inc.,NewYork,1998.xvi+414pp.ISBN0-471-31515-XMR1641658 埃里克·韋斯坦因.Arithmetic-Geometricmean.MathWorld.  參見[編輯] 算術平均數 幾何平均數 閱論編統計學描述統計學連續變數機率分布集中趨勢平均數（平方 ·算術 ·幾何 ·調和 ·算術-幾何 ·幾何-調和 ·希羅／平均數不等式）·中位數·眾數離散程度全距·變異係數·百分位數·四分差·四分位數·標準差·變異數·平均差·標準分數·柴比雪夫不等式·吉尼係數分布形態（英語：Shapeofthedistribution）偏態·峰態離散變數機率分佈次數（英語：Countdata）·列聯表（英語：Contingencytable）推論統計學和假說檢定推論統計學信賴區間·區間估計（英語：Intervalestimation）·顯著性差異·元分析·貝氏推論實驗設計母體·抽樣·重抽樣（刀切法·自助法·交叉驗證）·重複（英語：Replication(statistics)）·阻礙·靈敏度和特異度·區集（英語：Blocking(statistics)）樣本量（英語：Samplesize）標準誤·虛無假說·對立假說·型一錯誤與型二錯誤·檢定力·效應值常規估計貝氏推論·區間估計（英語：Intervalestimation）·最大概似估計·最小距離估計（英語：Minimumdistanceestimation）·矩量法·最大間距特效檢驗Z檢驗·司徒頓t檢定·F檢定·卡方檢定·Wald檢定（英語：Waldtest）·曼-惠特尼檢定（英語：Mann–WhitneyUtest）·秩和檢驗生存分析生存函數·乘積極限估計量·對數秩和檢定·失效率·危險比例模式相關及回歸分析相關性混淆變項（英語：Confounding）·皮爾森積動差相關係數·等級相關（英語：Rankcorrelation）(斯皮爾曼等級相關係數·肯德等級相關係數（英語：Kendalltaurankcorrelationcoefficient）)·自由度線性回歸線性模式（英語：Linearmodel）·一般線性模式·廣義線性模式·變異數分析·共變異數分析（英語：Analysisofcovariance）非線性回歸非參數回歸模型（英語：Nonparametricregression）·半參數回歸模型（英語：Semiparametricregression）·Logit模型統計圖形圓餅圖·長條圖·雙標圖·箱形圖·管制圖·森林圖（英語：Forestplot）·直方圖·分位圖·趨勢圖·散點圖（英語：Scatterplot）·莖葉圖（英語：Stem-and-leafdisplay）·雷達圖（英語：Radarchart）·示意地圖其他回應過程效度·統計誤用 分類 主題 共享資源 專題 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=算术-几何平均数&oldid=69867798」 分類：​平均數特殊函數橢圓函數隱藏分類：​使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةCatalàČeštinaDeutschEnglishEspañolEuskaraFrançaisGalegoעבריתMagyar日本語ភាសាខ្មែរ한국어PolskiPortuguêsРусскийSlovenščinaSvenskaУкраїнська 編輯連結