常態分配- 教育百科

名詞解釋： 若一連續隨機變項的機率分配成一條左右對稱的鐘型分配，則此一隨機變項的機率分配即 ... 跳到主要內容 ::: 常態分配-教育百科 詞條檢索 全文檢索 音讀檢索 切換漢語拼音鍵盤 切換注音小鍵盤| 關閉 小提醒： 輸入完畢後請點選 音讀檢索 進行搜尋 聲母 韻母 詞條名稱：常態分配 常 態 分 配 字體放大 切換辭典 ToggleDropdown 國家教育研究院辭書 國家教育研究院辭書 國家教育研究院辭書 基本資料 英文： normaldistribution 作者： 王安培 日期： 2002年12月 出處： 力學名詞辭典 辭書內容 名詞解釋： 　　常態分配是統計學上最重要且應用最廣泛的連續機率分配函數。

亞伯拉罕(AbrahamdeMoivre)於1733年發現此分配；19世紀初高斯(C.F.Gauss)將此分配介紹到物理量測之誤差理論，而後發現自然界很多物理現象均為常態分配，為紀念高斯，常態分配又稱為高斯分配(Gaussiandistribution)。

此分配的機率密度函數(probabilitydensityfunction)為：　　　　式中，x為連續隨機變數(continuousrandomvariable)；μ為平均值；σ為標準差(standarddeviation)；π＝3.14159…和e＝2.71828…。

此分配曲線如圖所示，其特性如下：　　1.曲線呈鐘形(bell-shaped)，在x＝μ時有一最高點。

　　2.曲線f(x)以x＝μ為其對稱軸。

　　3.曲線在μ－σ＜x＜μ+σ為向下凹，其他範圍曲線向上凹，亦即在x＝μ±σ為反曲點(pointsofinflectrion)。

　　4.x軸為曲線之水平漸近線，曲線和x軸所圍成之面積為1。

常態分配經z轉換（令z＝(x－μ)/σ）可化為標準常態分配（亦即常態分配取μ＝0和σ＝1），其機率密度函數為：　　　　在統計表均附有累計(cumulative)標準常態分配表：　　　　依此表，可計算自然界很多物理現象為常態分配之機率，作為統計推估和檢定之依據；不為常態分配之物理現象，依中央極限定理(centrallimittheorem)，只要樣本數n→∞，取n個樣本平均值()為隨機變數，其分配亦為常態分配。

　　常態分配是統計學上最重要且應用最廣泛的連續機率分配函數。

亞伯拉罕(AbrahamdeMoivre)於1733年發現此分配；19世紀初高斯(C.F.Gauss)將此分配介紹到物理量測之誤差理論，而後發現自然界很多物理現象均為常態分配，為紀念高斯，常態分配又稱為高斯分配(Gaussiandistribution)。

此分配的機率密度函數(probabilitydensityfunction)為：
　　
　　式中，x為連續隨機變數(continuousrandomvariable)；μ為平均值；σ為標準差(standarddeviation)；π＝3.14159…和e＝2.71828…。

此分配曲線如圖所示，其特性如下：
　　1.曲線呈鐘形(bell-shaped)，在x＝μ時有一最高點。


　　2.曲線f(x)以x＝μ為其對稱軸。


　　3.曲線在μ－σ＜x＜μ+σ為向下凹，其他範圍曲線向上凹，亦即在x＝μ±σ為反曲點(pointsofinflectrion)。


　　4.x軸為曲線之水平漸近線，曲線和x軸所圍成之面積為1。

常態分配經z轉換（令z＝(x－μ)/σ）可化為標準常態分配（亦即常態分配取μ＝0和σ＝1），其機率密度函數為：
　　
　　在統計表均附有累計(cumulative)標準常態分配表：
　　
　　依此表，可計算自然界很多物理現象為常態分配之機率，作為統計推估和檢定之依據；不為常態分配之物理現象，依中央極限定理(centrallimittheorem)，只要樣本數n→∞，取n個樣本平均值()為隨機變數，其分配亦為常態分配。

資料來源： 國家教育研究院_常態分配 授權資訊： 資料採「創用CC-姓名標示-禁止改作臺灣3.0版授權條款」釋出 基本資料 英文： NormalDistribution 作者： 王保進 日期： 2000年12月 出處： 教育大辭書 辭書內容 名詞解釋： 　　若一連續隨機變項的機率分配成一條左右對稱的鐘型分配，則此一隨機變項的機率分配即為常態分配，又稱為高斯(Gauss)分配，常以符號N(μ,σ2)表示。

常態分配曲線是由二項分配(binomialdistribution)的原理而來，常態分配曲線最早是由法國數學家戴莫瓦佛(A.DeMoivre)推算出來的，其公式為：　　式中y為橫座標上x之常態分配之高度，N為總人數，σ為標準差，π為圓周率3.1416，e為自然對數之底數2.7183，x則為橫座標上之一數值。

常態分配的連續隨機變項具有下列特性：(1)為一對稱分配，平均數、中數及眾數相等；(2)所有各級動差均存在；(3)常態分配曲線左右兩尾與橫軸漸漸靠近，但不與橫軸相交；(4)具有兩個反曲點(pointofinflection)，分別在μ-σ及μ+σ的地方。

　　在常態分配下，若曲線下之總面積為1，則：μ±1σ之間的區域占總面積的.6826。

μ±2σ之間的區域占總面積的.9544。

μ±3σ之間的區域占總面積的.9974。

也就是說，若一連續隨機變項的機率分配為常態分配，則會有百分之六十八點二六的觀察值分數會落在平均數加減一個標準差之間，百分之九十五點四四的觀察值分數會落在平均數加減二個標準差之間，百分之九十九點七四的觀察值分數會落在平均數加減三個標準差之間。

　　常態分配是統計學中最重要也最常用的機率分配，其所以重要的原因包括：　　1.許多連續隨機變項的機率分配常為常態分配，例如人的體重、學生的智商等均是。

　　2.常態分配常可用來做為間斷隨機變項機率分配的近似式，如一個機率分配為二項分配的隨機變項，當n趨近無窮大，且p及q為二分之一時，則此二項分配的隨機變項亦會趨近於常態分配。

　　3.在統計學中，根據中央極限定理(centrallimittheorem)，對一平均數為μ，變異數為σ2的隨機變項，不管其母群體的機率分配為何，當樣本數夠大時，吾人均可以常態分配來逼近原來的機率分配。

據此，在推論統計時，就算不知母群體真正的機率分配為何，也可以用參數統計(parametricstatistics)進行統計推論。

　　4.多個互相獨立的常態隨機變項，其線性組合(linearcombination)依然會是一個常態分配，此性質又稱為常態分配之加性法則。

　　在教育研究中，為了了解某一觀察值在團體中的相對地位，常須將原始分數轉換為標準z分數。

因此若將一常態分配變項的所有原始分數轉換為標準z分數，則轉換後的z分數所構成的常態分配稱為標準化常態分配，此標準化常態分配之平均數等於零，標準差等於一。

而依據標準化常態分配，則許多已建立常模或經過標準化程序的教育及心理測驗，均可利用Y=az+b的公式進行線性轉換，其中a為新分數的標準差，b為平均數，例如比西智力量表(Binet-SimonScale)的平均數為一百，標準差為十五；又如T分數之平均數為五十，標準差等於十。

　　若一連續隨機變項的機率分配成一條左右對稱的鐘型分配，則此一隨機變項的機率分配即為常態分配，又稱為高斯(Gauss)分配，常以符號N(μ,σ2)表示。

常態分配曲線是由二項分配(binomialdistribution)的原理而來，常態分配曲線最早是由法國數學家戴莫瓦佛(A.DeMoivre)推算出來的，其公式為：　　式中y為橫座標上x之常態分配之高度，N為總人數，σ為標準差，π為圓周率3.1416，e為自然對數之底數2.7183，x則為橫座標上之一數值。

常態分配的連續隨機變項具有下列特性：(1)為一對稱分配，平均數、中數及眾數相等；(2)所有各級動差均存在；(3)常態分配曲線左右兩尾與橫軸漸漸靠近，但不與橫軸相交；(4)具有兩個反曲點(pointofinflection)，分別在μ-σ及μ+σ的地方。

　　在常態分配下，若曲線下之總面積為1，則：μ±1σ之間的區域占總面積的.6826。

μ±2σ之間的區域占總面積的.9544。

μ±3σ之間的區域占總面積的.9974。

也就是說，若一連續隨機變項的機率分配為常態分配，則會有百分之六十八點二六的觀察值分數會落在平均數加減一個標準差之間，百分之九十五點四四的觀察值分數會落在平均數加減二個標準差之間，百分之九十九點七四的觀察值分數會落在平均數加減三個標準差之間。

　　常態分配是統計學中最重要也最常用的機率分配，其所以重要的原因包括：　　1.許多連續隨機變項的機率分配常為常態分配，例如人的體重、學生的智商等均是。

　　2.常態分配常可用來做為間斷隨機變項機率分配的近似式，如一個機率分配為二項分配的隨機變項，當n趨近無窮大，且p及q為二分之一時，則此二項分配的隨機變項亦會趨近於常態分配。

　　3.在統計學中，根據中央極限定理(centrallimittheorem)，對一平均數為μ，變異數為σ2的隨機變項，不管其母群體的機率分配為何，當樣本數夠大時，吾人均可以常態分配來逼近原來的機率分配。

據此，在推論統計時，就算不知母群體真正的機率分配為何，也可以用參數統計(parametricstatistics)進行統計推論。

　　4.多個互相獨立的常態隨機變項，其線性組合(linearcombination)依然會是一個常態分配，此性質又稱為常態分配之加性法則。

　　在教育研究中，為了了解某一觀察值在團體中的相對地位，常須將原始分數轉換為標準z分數。

因此若將一常態分配變項的所有原始分數轉換為標準z分數，則轉換後的z分數所構成的常態分配稱為標準化常態分配，此標準化常態分配之平均數等於零，標準差等於一。

而依據標準化常態分配，則許多已建立常模或經過標準化程序的教育及心理測驗，均可利用Y=az+b的公式進行線性轉換，其中a為新分數的標準差，b為平均數，例如比西智力量表(Binet-SimonScale)的平均數為一百，標準差為十五；又如T分數之平均數為五十，標準差等於十。

資料來源： 國家教育研究院_常態分配 授權資訊： 資料採「創用CC-姓名標示-禁止改作臺灣3.0版授權條款」釋出 基本資料 英文： normaldistribution 日期： 1984年 出處： 保健物理辭典 辭書內容 名詞解釋： 　　許多隨機過程均可約略視為常態分配，亦即，其曲線為鐘形曲線。

雖然也稱作高斯曲線，但此曲線却是deMoivre首先於1733年發展出來，而後高斯又於1790年代發展成功的。

　　若自羣體中抽取許多隨機試樣並繪製次數分配圖，將可獲得與下圖所示曲線近似的常態分配曲線。

　　N為試樣個數，以平均值μ及標準差σ的常態分配可寫成如下式　　　　常態分配有兩個獨立參數，平均值μ，和標準差σ。

下圖代表平均值為5和標準差分別為1，2和3的圖形，圖上平均值是以縱坐標為極大處的橫坐標（x值）來表示。

這是最大的可能值。

標準差是表示數據自平均值變動多廣的一種度量。

大多數實用統計分析均係基於常態分配。

　　核事象係遵從卜松(Poisson)機率分配，其方程式如下式　　P(N)＝(μNe-μ)／N!　　卜松分配僅有一參數，即平均值μ，它與常態分配所定義者相似。

為實用計，平均值超過20時，平均值為μ的卜松分配即可約略以平均值為μ和標準差為的常態分配來代替。

因此若事象次數N大於20時，常態分配所有特性，均可應用於放射現象。

　　如下圖所示：　　　　標準差參數的計算示於下：　　　　決定使用N或N-1須視係採用全部羣體或僅用羣體中某試樣來計算而定。

　　雖然上二式未能表示，統計文獻均可辨別採用全部羣體或羣體中僅一試樣兩者之區分。

通常μ和σ是用作由全部羣體計算而得的參數，而及S則為由試樣體計算而得的參數。

S為試樣標準差。

　　許多隨機過程均可約略視為常態分配，亦即，其曲線為鐘形曲線。

雖然也稱作高斯曲線，但此曲線却是deMoivre首先於1733年發展出來，而後高斯又於1790年代發展成功的。

　　若自羣體中抽取許多隨機試樣並繪製次數分配圖，將可獲得與下圖所示曲線近似的常態分配曲線。

　　N為試樣個數，以平均值μ及標準差σ的常態分配可寫成如下式　　　　常態分配有兩個獨立參數，平均值μ，和標準差σ。

下圖代表平均值為5和標準差分別為1，2和3的圖形，圖上平均值是以縱坐標為極大處的橫坐標（x值）來表示。

這是最大的可能值。

標準差是表示數據自平均值變動多廣的一種度量。

大多數實用統計分析均係基於常態分配。

　　核事象係遵從卜松(Poisson)機率分配，其方程式如下式　　P(N)＝(μNe-μ)／N!　　卜松分配僅有一參數，即平均值μ，它與常態分配所定義者相似。

為實用計，平均值超過20時，平均值為μ的卜松分配即可約略以平均值為μ和標準差為的常態分配來代替。

因此若事象次數N大於20時，常態分配所有特性，均可應用於放射現象。

　　如下圖所示：　　　　標準差參數的計算示於下：　　　　決定使用N或N-1須視係採用全部羣體或僅用羣體中某試樣來計算而定。

　　雖然上二式未能表示，統計文獻均可辨別採用全部羣體或羣體中僅一試樣兩者之區分。

通常μ和σ是用作由全部羣體計算而得的參數，而及S則為由試樣體計算而得的參數。

S為試樣標準差。

資料來源： 國家教育研究院_常態分配 授權資訊： 資料採「創用CC-姓名標示-禁止改作臺灣3.0版授權條款」釋出 詞條功能 轉寄詞條 錯誤通報 友善列印 推薦關聯詞 × 轉寄詞條 請輸入您想要寄送的對象Email,如果1人以上,請使用,分隔 取消 送出 × 錯誤通報 請輸入錯誤原因,我們會送相關人士審核,感謝您的參與 取消 送出 × 推薦關聯詞 請推薦與本項詞條之意義相同但名稱有差異的詞條 取消 送出 關閉