為何要假設為y=ax+b呢? @ isdp2008am - 隨意窩
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而不難理解的是,只要這兩點的x座標不同,就不會連成一條鉛垂線。
此時,我們常常把直線方程式假設為y=ax+b。
但是,這個公式的由來為何呢?本文將加以介紹。
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201107261510為何要假設為y=ax+b呢??幾何學 我們知道,在國中時學習直線方程式時,相信大家都曾解過一種題目,就是在已知某直線過兩點的條件下,求出該直線的方程式。
而不難理解的是,只要這兩點的x座標不同,就不會連成一條鉛垂線。
此時,我們常常把直線方程式假設為y=ax+b。
但是,這個公式的由來為何呢?本文將加以介紹。
首先,我們先約定一件事情。
就是所有的直線都具有兩種特性:往某個方向與其反方向的兩端無窮延伸、而且不會轉彎。
在這樣子的直線特性下,我們可以找出四種類型的直線:(1)向上、下方向延伸的直線,也稱鉛直線;(2)向左、右方向延伸的直線,也稱水平線;(3)向左下、右上方向延伸的直線;(4)向右下、左上方向延伸的直線。
由我們的直覺來看,在這四種類型的直線中,除了第一種的鉛直線之外,其餘三種「非鉛直線」都會「恰好」與y軸交於一點。
這三類的直線有個特性,就是都可以假設為y=ax+b。
但為什麼呢?我們可以假設非鉛直的直線與y軸交於P(0,b)這一點,而上一段所說的那三類[非鉛直]的直線,我們只看其中一類,因為其餘兩類其想法均類似。
請看下圖:
圖1
上圖中,過P(0,b)的直線L的走向為左下往右上(第一類),它是我們有興趣的直線,我們想知道它的方程式應如何假設。
首先,我們過P作一條水平線M,並在M上取一點Q滿足PQ=1,並過Q作鉛直線設交L於R點,此時我們假設QR=a。
接下來,假設在直線L上有任意點T,那麼,T的座標要如何表示呢?首先,我們過T作鉛直線交水平線M於S。
假設S點滿足PS=t,則S與T的x座標均為t,且S的座標為(t,b)。
此時,因為△PRQ與△PTS為相似三角形(AA相似,都有直角且角RPQ=角TPS),所以可得PQ:RQ=PS:TS,即1:a=t:TS,因此線段TS=a*t,於是可得T座標為(t,at+b)。
又因為T是L上的任意點,假設T的座標為(x,y),而所謂L的直線方程式,就是要把L上的任意點T的座標中x與y兩者的關係表示出來的數學式。
由上一段可知T(x,y)=T(t,at+b),所以有下面結果:
只要透過(2)-(1)×a,就可得出y-ax=b,也就是y=ax+b,筆者認為這便是此公式的由來。
此時只要有兩組(x,y)的座標值,就可以解出a,b之值。
如何,是不是很妙呢?
如果直線所過的兩已知點的x座標相同時,比如說是P(a,b)與Q(a,c)這兩點,b不等於c,那麼直線方程式又要如何假設呢?其實此時不必假設,其方程式就是x=a。
至於為何是x=a呢?我想,大家不妨動動腦筋想想看喔。
============(三年後...)=============
因為P(a,b)與Q(a,c)的連線是鉛直線,在此直線上若有動點T,則T只能上下移動(x座標恆為a),因此T的座標可設為T(x,y)=(a,t),t可為任意實數,如下圖:
圖2
T(x,y)的兩個座標x,y滿足
注意,因為圖中的點T(a,t)可任意上下移動到任何位置,因此可知t可以取任意實數。
第一個解釋方式是,我們如果想找出常數p,q,r滿足關係式
其中p,q不同時為0,則由(3),(4)式可知
因為pa與r是常數,所以qt=r−pa也必須是常數,因此唯一的方法就是取q=0(這樣才能將"會變化"的t消去)。
還有另外一種解釋方式,如果q不是0,則可由 qt=r−pa 推導出
注意(7)左式的t是個可以取值為任意實數的變數,但右式的(r−pa)/q是個常數,這不合,因為t只要取異於(r−pa)/q的數時,就發生不合。
因此q必須是0。
把 q=0 代入(6)得 pa=r,將r=pa與q=0代入(5),知鉛直線方程式為
因p,q不能同時為0,知p非零,消去p得x=a,此即所求的鉛直線方程式。
值得一提的是,方程式為x=a的這一類直線,也是坐標平面上唯一一類無法寫成y=ax+b的方程式。
(本文作者:連威翔,曾任職於交大理學院科學學士班)isdp2008am/Xuite日誌/回應(2)/引用(0)沒有上一則|日誌首頁|沒有下一則回應
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