數學公式集錦

1-2 直線的斜率與方程式. 1. 設平面上有一直線L，且P1 ... 數學公式集錦 數學A(I) 第1章　直角坐標系 1-1　直角坐標 1.  在坐標平面上，兩坐標軸（x軸與y軸）將平面分成四個部分（不含x軸與y軸），右上角部分稱為第一象限；左上角部分稱為第二象限；左下角部分稱為第三象限；右下角部分稱為第四象限。

2.  數線上兩點P(a)、Q(b)，則P、Q兩點的距離為。

3.  設平面上兩點P(x1,y1)、Q(x2,y2)，則P、Q兩點的距離為 。

4.設P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)為同一直線上相異三點，m、n為正數，且，若P在線段上，則稱P為之內分點，且，。

5.設坐標平面上相異兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，且的中點坐標為P(x,y)，則，。

6.  已知△ABC的三頂點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，則△ABC的重心坐標為 。

  1-2　直線的斜率與方程式 1.  設平面上有一直線L，且P1(x1,y1)、P2(x2,y2)為直線L上的兩個相異點。

(1)當x1 ¹ x2時，直線L的斜率為。

(2)當x1 = x2時，直線L的斜率m不存在，表示直線L垂直於x軸。

2.  設兩相異直線L1與L2的斜率分別是m1與m2 (1)若L1//L2，則m1 = m2；反之亦然。

(2)若L1 ^ L2，則m1 ´ m2 = - 1；反之亦然。

3.  直線方程式的求法： (1)點斜率 ?經過點P(x0,y0)且斜率為m的直線方程式為y - y0=m(x - x0)。

?經過點P(x0,y0)且斜率不存在的直線方程式為x = x0。

(2)兩點式 經過相異兩點P(x1,y1)與Q(x2,y2)的直線方程式為 ?當x1 ¹ x2時，直線方程式為。

?當x1 = x2時，直線方程式為x = x1。

(3)斜截式 ?斜率為m且y截距為b的直線方程式為y = mx+ b。

?斜率為m且x截距為a的直線方程式為y = m(x- a)。

?斜率不存在且x截距為a的直線方程式為x = a。

(4)截距式 x截距為a、y截距為b（a ¹ 0，b ¹ 0）的直線方程式為。

4.  由直線方程式求斜率： 設直線方程式ax + by+ c= 0，則 (1)若b = 0，直線方程式的斜率不存在。

(2)若b ¹ 0，直線方程式的斜率為。

5.  如果直線L：ax + by+ c= 0的斜率存在，則 (1)和L平行的直線必可化簡為ax + by+ k= 0（k ¹ c）。

(2)和L垂直的直線必可化簡為bx - ay+ h= 0。

6.  點與直線的距離： 點P(x1,y1)到直線L：ax + by+ c= 0的距離為。

7.  兩平行線的距離： 兩平行線L1：ax + by+ c1= 0與L2：ax + by+ c2= 0的距離為。

  1-3　函數圖形 1.  函數f (x)= ax+ b稱為線性函數，其圖形為一直線。

2.  二次函數f (x)= ax2+ bx+ c圖形的對稱軸為。

3.  若a > 0，則f (x)= ax2+ bx+ c在時f (x)有最小值，圖形頂點即最低點為。

4.  若a < 0，則f (x)= ax2+ bx+ c在時f (x)有最大值，圖形頂點即最高點為。

  第2章　三角函數及其應用 2-1　有向角及其度量 1.  有向角： 有方向限制的角稱為有向角。

往逆時針方向旋轉的角稱為正角；往順時針方向旋轉的角稱為負角。

2.  (1)六十分制      將一圓周分成360等分，每一等分所對的圓心角即為1度。

(2)弧度制 在圓周上取一與半徑等長之弧，此弧所對的圓心角即為1弧度。

弧度　或　1弧度 3.  已知一扇形之半徑為r，弧長為S，圓心角為q 弧度，面積為A，則 S= rq，。

4.  同界角： 當兩個角有共同的始邊和終邊的時候，這兩個角稱為同界角。

5.  標準位置角： 將廣義角放在坐標平面上，角的頂點在原點上，角的始邊在x軸的正向上，這樣的有向角稱為標準位置角。

  2-2　三角函數的定義 ▲圖2-48  1.   銳角三角函數定義： ，稱作ÐA的正弦函數 ，稱作ÐA的餘弦函數 ，稱作ÐA的正切函數 ，稱作ÐA的餘切函數 ，稱作ÐA的正割函數 ，稱作ÐA的餘割函數 　 2.  特別角三角函數值： 函數 函數值 角度 sinq cosq tanq cotq secq cscq 2 1 1 2 3.  任意角三角函數定義： 在標準位置角q 的終邊上任取一點P(x,y)，假設 ，， ，， 4.  三角函數值的正負符號： 象限 正負 函數 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 sinq、cscq + + - - cosq、secq + - - + tanq、cotq + - + - 5.  象限角三角函數值： 函數 函數值 角度 sinq cosq tanq cotq secq cscq 0° 0 1 0 無意義 1 無意義 1 0 無意義 0 無意義 1 180°(p ) 0 - 1 0 無意義 - 1 無意義 - 1 0 無意義 0 無意義 - 1 6.  三角函數之間具有的關係： (1)倒數關係 sinq cscq = 1，cosq secq = 1，tanq cotq = 1 (2) 商數關係 ， (3) 平方關係 sin2q + cos2q = 1，1 + tan2q = sec2q，1 + cot2q = csc2q   2-3　三角函數的圖形 1.  y =sinx的圖形可知 (1)y= sinx的圖形的週期為2p                     (2) -1 £ sinx£ 1 2.  y =cosx的圖形可知 (1)y= cosx的圖形的週期為2p                    (2) -1 £ cosx£ 1 3.  y =tanx的圖形可知 (1)y= tanx的圖形的週期為p                        (2)tanx的值可為任意實數 4.  y =cotx的圖形可知 (1)y= cotx的圖形的週期為p                        (2)cotx的值可為任意實數 5.  y =secx的圖形可知 (1)y= secx的圖形的週期為2p                    (2)secx £ - 1或secx ³ 1 6.  y =cscx的圖形可知 (1)y= cscx的圖形的週期為2p                    (2)cscx £ - 1或cscx ³ 1   2-4　三角函數的應用 在△ABC中，若a、b、c分別表ÐA、ÐB、ÐC的對邊長，以D表三角形面積，R為△ABC的外接圓半徑 (1)面積公式 (2)正弦定理 (3)餘弦定理 a2= b2+c2 - 2bccosA，b2 = c2+a2 - 2cacosB，c2 = a2+ b2- 2abcosC   　 　 　 數學A(II) 第1章　向量 1-1　向量的意義 1.  ，其中a1稱為的x分量，a2稱為的y分量。

的長度記作且。

2.  向量的坐標表示法： 設A(x1,y1)、B(x2,y2)為坐標平面上兩點，則，且。

3.  相等向量： 設，，當a1 = b1且a2 = b2時，兩向量相等，記作。

反之，當時，a1 = b1且a2 = b2。

4.  方向角： 對於非零向量，以x軸正向為始邊，所在射線為終邊所夾的角度q（0 £ q < 2p），稱為的方向角即。

  1-2　向量的加減與實數積 1.  向量加減與實數積的坐標表示法： 設，，r為實數，則 (1)。

(2)。

(3)。

2.  向量的平行： 設，，則　Û　a1b2 = a2b1；當b1b2 ¹ 0時，  Û　。

  　1-3　向量的內積與夾角 1.  向量內積的定義： 設與為兩非零向量，q 為兩向量的夾角，則與的內積。

當、有一向量為零向量時，規定。

2.  向量內積的坐標表示法： 設與，則。

當、有一向量為零向量時，亦能成立。

3.  向量的垂直（、為非零向量）： 　Û　。

4.  向量內積的性質：設、與為坐標平面上三向量，r為實數，則 (1)。

                                        (2)。

(3)。

                              (4)。

  1-4　點到直線距離 1.  正射影長： 設與為兩非零向量，q 為兩向量的夾角，則在的正射影長為。

2.  點到直線距離： 在坐標平面上，已知點P(x1,y1)與直線L：ax + by+ c= 0，則P點到直線L的距離為。

  第2章　式的運算 2-1　多項式的四則運算 1.  多項式相等： f(x)= anxn +an - 1xn - 1 + … +a1x + a0（an ¹ 0）與g(x) = bmxm +bm - 1xm - 1 + … +b1x + b0（bm ¹ 0），當n = m且an = bn，an - 1 =bn - 1，…，a1 = b1，a0 = b0時，稱f (x)與g(x)相等。

2.  多項式的定義： 設n為正整數或零且an、an - 1、an - 2、…、a1、a0都是實數， f(x)= anxn +an - 1xn - 1 + … +a1x + a0，則稱f (x)為x的多項式。

(1)若an ¹ 0時，n稱為f (x)的次數，我們以degf (x)= n表示，或稱f (x)為n次多項式。

(2)ak稱為f (x)的xk項係數。

(3)若an ¹ 0時，an稱為f (x)的領導係數。

(4)a0為f (x)的常數項。

3.  常數多項式： 若f (x)= a0時，f (x)稱為常數多項式，又 (1)當a0 ¹ 0時，f (x)稱為零次多項式，例如f (x)= 3。

(2)當a0 = 0時，也就是f (x)= 0，f (x)稱為零多項式。

4.  除法定理： 設f (x)與g(x)為二多項式，且g(x) ¹ 0，則恰存在二多項式q(x)與r(x)滿足f (x)= g(x)q(x) +r(x)，其中r(x) = 0或degr(x) < degg(x)，即被除式 = 除式 ´ 商式 + 餘式，其中餘式為0或餘式次數 < 除式次數。

  2-2　餘式與因式定理 1.  餘式定理： 設a ¹ 0，多項式f (x)除以ax - b的餘式為。

2.  因式定理： 設a ¹ 0，若ax - b為多項式f (x)的因式，則，反之亦然。

3.  乘法公式： (1)和平方公式　(a + b)2= a2+ 2ab+ b2， 差平方公式　(a - b)2= a2- 2ab+ b2。

(2)平方差公式　a2 - b2= (a+ b)(a- b)。

(3)立方和公式　(a + b)(a2 -ab + b2)= a3+ b3， 立方差公式　(a - b)(a2 +ab + b2)= a3- b3。

4.  一次因式檢驗法： 設f (x)= anxn +an - 1xn - 1 + … +a1x + a0且an、an - 1、an - 2、…、a1、a0都是整數，若一次式ax - b為f (x)的因式，其中a、b互質，則a為an的因數且b為a0的因數。

  2-3　多項方程式 1.  一次方程式： 設a、b都是實數，則ax + b= 0稱為一次方程式： (1)若a ¹ 0，則（恰有一解）。

(2)若a = 0，b ¹ 0，則ax + b= 0無解。

(3)若a = 0，b = 0，則ax + b= 0的解為任意實數，也就是此方程式有無限多解。

2.  二次方程式解的判別： 設二次方程式ax2 + bx+ c= 0： (1)當b2 - 4ac> 0時：ax2 + bx+ c= 0有二相異實數解，且。

(2)當b2 - 4ac= 0時：ax2 + bx+ c= 0有二相等實數解，且。

(3)當b2 - 4ac< 0時：ax2 + bx+ c= 0無實數解。

3.  根與係數關係： 設a、b 為二次方程式ax2 + bx + c = 0的兩根，則 ，。

4.  由根假設方程式： 設a、b 為某二次方程式的兩根且此方程式的x2項係數為1，則此方程式為x2 - (a + b )x + (a ´ b )= 0。

5.  一般而言，高次方程式anxn + an -1xn - 1 + … +a1x + a0= 0沒有固定的解法，可先嘗試利用公式或一次因式檢驗法將方程式因式分解，再求方程式的解。

  第3章　指數與對數及其運算 3-1　指數 1.  指數定義： 若a為實數且n為正整數，則，讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，n為指數。

2.  零指數與負整數指數： 若a為實數（但a ¹ 0）且m、n為正整數，規定 (1)a0= 1                               (2)                            (3)。

3.  方根的乘除運算： 若a > 0，b > 0且n為正整數，則 (1)                                            (2)。

4.  分數指數： 若a > 0且m為整數、n為正整數，規定： (1)                                                       (2)。

5.  實數指數律： 若r、s為實數且a > 0、b > 0，則 (1)ar ´as = ar +s。

(2)。

(3)(ar)s =ars。

(4)(ab)r =ar ´ br。

(5)。

  3-2　指數函數及其圖形 1.  指數函數定義： 設a > 0且a ¹ 1，對於任意實數x，y = ax稱為以a為底數的指數函數。

2.  指數函數y = ax的圖形： (1)y =ax的圖形必在x軸上方，即指數函數值一定為正數。

(2)y =ax的圖形一定過點(0,1)。

(3)當a > 1時，y隨x增加而增加。

當0 0且a ¹ 1，x > 0，y > 0則ax = ay　Û　x = y。

  3-3　對數 1.  對數定義： 若a > 0且a ¹ 1，則ax = b　Û　x = logab。

2.  對數性質： 若a、M、N均為正實數且a ¹ 1，則 (1)loga1 =0，logaa = 1。

(2)。

(3)loga(M ´N) = logaM+ logaN。

(4)。

(5)logaMs =slogaM。

(6)（r ¹ 0）。

(7)（換底公式，b > 0且b ¹ 1）。

  3-4　對數函數及其圖形 1.  對數函數定義： 設a > 0且a ¹ 1，x > 0，y = logax稱為以a為底數的對數函數。

2.  對數函數y = logax的圖形： (1)y =logax的圖形一定在y軸右方。

(2)y =logax的圖形一定過點(1,0)。

(3)當a > 1時，y隨x增加而增加。

當0 0且a ¹ 1，x > 0，y > 0，則logax = logay　Û　x = y。

  3-5　常用對數與其應用 1.  對於每一個正數x，logx = n+ logb（0 £ logb< 1，n為整數），整數n稱為對數logx的首數；logb稱為對數logx的尾數，尾數logb必為介於0與1之間的數。

2.  首數與尾數： (1)對數 = 首數 + 尾數（0 £ 尾數 <1）。

(2)真數x > 1，且整數的部分是n位數時，對數logx的首數是n - 1。

(3)真數0 < x< 1，而其小數部分在小數點後第n位以前均為0，且第n位不是0，則數對logx的首數為 -n。

  數學A(III) 第1章　不等式及其應用 1-1　一元二次不等式 1.  (1)當a > 0時，一次不等式ax + b> 0的解為，如圖1-26所示。

(2)當a < 0時，一次不等式ax + b> 0的解為，如圖1-27所示。

▲圖1-26　　　　　　　　　　　　 ▲圖1-27 2.  對於任一正數a，(1)| x|£ a的解為 -a £ x£ a，如圖1-28所示。

                              (2)|x| ³a的解為x £ - a或x ³ a，如圖1-29所示。

▲圖1-28　　　　　　　　　　　　 ▲圖1-29 3.  二次函數y = ax2+ bx+ c， (1)設a > 0，則當b2 - 4ac> 0時，y = ax2+ bx+ c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸有兩個交點(a,0)與(b,0)其中、，a < b，如圖1-30所示。

▲圖1-30      所以不等式ax2 + bx+ c< 0的解為a < x < b； 　而不等式ax2 + bx+ c> 0的解為x < a 或x > b。

(2) 設a > 0，則當b2 - 4ac = 0時，y = ax2 + bx + c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸有一個交點，如圖1-31所示。

▲圖1-31      所以不等式ax2 + bx+ c< 0無解； 　　不等式ax2 + bx+ c£ 0的解為； 　　不等式ax2 + bx+ c> 0的解為x不等於的任意實數； 　　不等式ax2 + bx+ c³ 0的解為所有實數。

(3)設a > 0，則當b2 - 4ac< 0時，y = ax2+ bx+ c的圖形為開口向上的拋物線且與x軸沒有交點，如圖1-32所示。

▲圖1-32      所以不等式ax2 + bx+ c< 0無解； 　　不等式ax2 + bx+ c£ 0無解； 　　不等式ax2 + bx+ c> 0的解為所有實數； 　　不等式ax2 + bx+ c³ 0的解為所有實數。

  1-2　二元一次不等式的圖形 1.  二元一次不等式的圖形：設直線L：y = mx+ b，則 (1)y >mx + b的圖形為直線L的上側半平面。

(2)y ³mx + b的圖形為直線L及直線L的上側半平面。

(3)y 0，則 (1)ax +by + c> 0的圖形為直線L的右側半平面。

(2)ax +by + c³ 0的圖形為直線L及直線L的右側半平面。

(3)ax +by + c< 0的圖形為直線L的左側半平面。

(4)ax +by + c£ 0的圖形為直線L及直線L的左側半平面。

3.   二個或二個以上的二元一次不等式聯立時，是指同時滿足二個或二個以上的二元一次不等式，其圖形為各不等式圖形的共同部分。

  1-3　線性規劃 1.  在數對(x,y)滿足一組二元一次聯立不等式的條件下，考慮二元一次函數f (x,y)的最大值、最小值：在此問題中，二元一次聯立不等式稱為問題的限制條件；滿足此條件的解，稱為問題的可行解，並稱可行解所圍區域為問題的可行解區域；又二元一次函數f (x,y)稱為此問題的目標函數，而使函數f (x,y)有最大值、最小值的數對(x,y)，稱為問題的最佳解。

  第2章　圓與直線 2-1　圓方程式 1.  圓的標準式：以O(h,k)為圓心，且半徑為r（r > 0）的圓方程式是(x - h)2+ (y- k)2= r2。

2.  圓的一般式：圓方程式必為形式如x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0的二元二次方程式，其中x2項與y2項的係數相等且方程式中不含xy項。

3.  (1)若d2 + e2- 4f> 0，則方程式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0表示一個圓，其圓心坐標為，半徑為。

(2)若d2 + e2- 4f= 0，則方程式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0表示一個點，此點坐標為。

(3)若d2 + e2- 4f< 0，則方程式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0在坐標平面上沒有圖形。

4.  我們稱d2 + e2- 4f為x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0圖形的判別式。

  2-2　圓與直線的關係 1.  予點P之坐標為(x1,y1)，圓C之方程式為(x - h)2+ (y- k)2= r2。

(1)若點P在圓C的內部，則(x1 - h)2+ (y1- k)2< r2，反之亦然。

(2)若點P在圓C上，則(x1 - h)2+ (y1- k)2= r2，反之亦然。

(3)若點P在圓C的外部，則(x1 - h)2+ (y1- k)2> r2，反之亦然。

2.  予點P之坐標為(x1,y1)，圓C之方程式為x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0。

(1)若點P在圓C的內部，則x12 + y12 +dx1 + ey1+ f< 0，反之亦然。

(2)若點P在圓C上，則x12 + y12 +dx1 + ey1+ f= 0，反之亦然。

(3)若點P在圓C的外部，則x12 + y12 +dx1 + ey1+ f> 0，反之亦然。

3.  予直線L：ax + by+ c= 0與圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2，設圓心O與直線L的距離為d，則。

(1)若d < r，則直線L與圓C相割，反之亦然。

(2)若d = r，則直線L與圓C相切，反之亦然。

(3)若d > r，則直線L與圓C相離，反之亦然。

4.  切線方程式的求法： (1)過圓上一點，求切線方程式： ? 過圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2上一點P(x1,y1)的切線方程式為    (x1 -h)(x -h) + (y1- k)(y- k)= r2。

? 過圓C：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0上一點P(x1,y1)的切線方程式為    。

(2)過圓外一點，求切線方程式： 予圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2與圓外一點P(x1,y1)。

則可依下列步驟求出過點P且與圓C相切的直線方程式： ? 找出圓心(h,k)與半徑r。

? 假設切線斜率為m，由點斜式可得切線方程式為y - y1= m(x- x1)，整理得    mx- y- mx1+ y1= 0。

? 利用圓心(h,k)到切線mx - y- mx1+ y1= 0的距離等於圓C的半徑，    得，藉之以求m之值。

? 將m值代入mx - y- mx1+ y1= 0，即得過P點且與圓C相切的直線方程式。

5.  圓的切線段長之求法： (1)自點P(x1,y1)到圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2的切線段長為。

(2)自點P(x1,y1)到圓C：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0的切線段長為。

  第3章　數列與級數 3-1　等差數列與等差級數 1.   一個數列的項數有限，我們就稱這個數列為有限數列；若項數無限，則稱為無窮數列。

2.  已知（å讀作sigma），c為常數，則 (1)。

(2)。

(3)。

(4)，其中1 £ m< n且m為整數。

3.   若在一個數列中，除了首項外，其任意一項與前一項的差都相等，我們就稱此數列為等差數列（或算術數列）；其固定的差稱為公差。

4.  設一等差數列的首項為a1，公差為d，一般項為an，前n項的和為Sn， 則an = a1+ (n- 1)d 　。

5.  設a、b、c三個數成等差數列，則等差中項。

  3-2　等比數列與等比級數 1.  予一數列，其中每一項皆不為0。

若此數列除首項之外，其任意一項與前一項的比值都相等，我們就稱此數列為等比數列（或幾何數列）；此固定的比值稱為此數列之公比。

2.  設a、b、c三個數成等比數列，則等比中項。

3.  已知一個等比數列的首項為a1，公比為r，則 (1)此等比數列的一般項為an = a1´ rn -1。

(2)當r = 1時，前n項的和Sn = na1。

(3)當r ¹ 1時，前n項的和。

　 　 　   數學A(IV) 第1章　排列組合 1-1　乘法原理與樹狀圖 1.   計數時，可以將一些原本零散沒有組織的東西，將它組織成像樹枝分叉一層一層拓展開來的結構形式，這樣的圖形稱為樹狀圖。

2.  加法原理： 如果完成某件事，有k個不同的方式，採用方式一有m1種方法，採用方式二有m2種方法，……，採用方式k有mk種方法，則完成這件事的方法共有m1 + m2+ … +mk種。

3.  乘法原理： 如果完成某件事須經過k個步驟，而完成第一個步驟有m1種方法，完成第二個步驟有m2種方法，……，完成第k個步驟有mk種方法，每個步驟間所選用的方法互不影響，則完成這件事的方法共有m1 ´ m2´ … ´mk種。

  1-2　排列與組合 1.  相異物的直線排列： (1)由n個不同的事物中，全取排成一列的排列方法數為 。

(2)從n個不同的事物中，任選m個排成一列的排列方法數為 。

2.  不盡相異物的直線排列： (1)設n個事物中有m個相同，其餘都不同。

則n件全取的排列方法數為。

(2)設n個事物中，可分成k組。

其中第一組有m1個相同物，第二組有m2個相同物，……，第k組有mk個相同物（此時m1 + m2+ … +mk = n），則此n個事物全取排成一列，其排列方法數為。

3.  環狀排列： (1)將n個不同的事物作環狀排列，其排列方法數為。

(2)從n個不同的事物中，任選m個作環狀排列，其排列方法數為 。

4.  組合： 從n件不同的事物中，每次不重複的取m個為一組，其組合數為 。

(1)（0 £ m£ n）。

(2)。

  第2章　機率與統計 2-1　樣本空間與事件 1.   集合是由一些明確的事物所組成，組成這個群體的每個事物稱為這個集合的元素。

2.  空集合： 不包含任何元素的集合稱為空集合，以符號{　}或Æ來表示。

3.  子集： 如果集合B中的每一個元素都是集合A的元素，稱集合B為集合A的子集。

4.  聯集： 集合A所有的元素與集合B所有的元素所組成的集合，稱為A與B的聯集，記為AÈB，即AÈB = {x|xÎA或xÎB}。

5.  交集： 集合A與集合B的共同元素所組成的集合，稱為A與B的交集，記為AÇB，即AÇB = {x|xÎA且xÎB}。

6.  差集： 由屬於集合A，但不屬於集合B的元素所組成的集合，稱為A與B的差集，記為A - B，即A - B= {x|xÎA但xÏB}。

7.  宇集與補集： 當所探討的集合都是某個集合U的子集時，稱U為宇集。

當A是宇集U的子集時，稱U中不屬於A的元素組成的集合為A在U中的補集。

8.   一項隨機試驗中，所有可能發生的結果所形成的集合，叫做試驗的樣本空間，通常用S表示。

樣本空間中的每一個元素，稱為一個樣本。

樣本空間的每個子集稱為一個事件。

9.  設A、B為樣本空間S中的兩個事件， (1)和事件：AÈB表示事件A與事件B所有的樣本所構成的事件，稱為和事件。

(2)積事件：AÇB表示事件A與事件B共有的樣本所構成的事件，稱為積事件。

(3)餘事件：A¢表示不在A中的樣本所構成的事件，稱為餘事件。

(4)互斥事件：如果AÇB = Æ，則稱A、B兩個事件互斥，也就是事件A與事件B不可能同時發生。

2-2　求機率問題 1.  假設一個隨機試驗的樣本空間S，為有有限個樣本，其中各樣本點出現的機會均等。

若AÌS為一事件，則事件A發生的機率為A之元素個數與S之元素個數的比值，記為，其中n(S)與n(A)分別表示S與A的元素個數。

2.  機率的性質： (1)P(Æ) = 0。

(2)P(S) =1。

(3)若AÌS為一事件，則0 £ P(A)£ 1。

(4)餘事件的機率：若AÌS為一事件，則P(A¢) = 1- P(A)。

(5)若A和B為S中的兩事件且AÌB，則P(A) £ P(B)。

(6)機率的排容原理：若A和B為S中的兩事件，則 P(AÈB) = P(A)+ P(B)- P(AÇB)。

  2-3　數學期望值 1.  設某事件發生的機率為P，若該事件發生時可得到的報酬為M，失敗時報酬為0，則M ´ P稱為此事件的數學期望值，簡稱為期望值，通常以E表示。

2.  設一試驗的樣本空間S可分割成k個互斥事件，而每個事件發生機率分別為P1、P2、……、Pk，且事件發生時分別可得數值M1、M2、……、Mk的報酬，則M1 ´ P1+ M2´ P2+ … +Mk ´ Pk稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望值。

  2-4　資料整理與圖表編製 1.  製作次數分配表的步驟： 排序、求全距、定組數或組距、定組限、歸類並計算次數。

2.  直方圖： 利用長方形來表示數值資料中，各組的次數分布的情況，稱為直方圖。

3.  次數分配折線圖： 以各組資料的組中點為橫坐標，以各組的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，並於最左邊與最右邊各向外延伸一點，就形成一折線圖。

4.  累積次數分配曲線圖： 利用累積次數分配表，以各組資料的上限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以下累積分配曲線圖；以各組資料的下限為橫坐標，及各組累積的次數為縱坐標標示出各點，由左而右連接相鄰的點，即得以上累積分配曲線圖。

  2-5　算術平均數、中位數、百分等級 1.  算術平均數： 設一群數值為x1、x2、……、xn，則其算術平均數定義為 。

2.  中位數： 設n個數值由小至大排列為x(1) £ x(2)£ … £x(n)， (1)若n為奇數時，中位數。

(2)若n為偶數時，中位數，即正中間兩個數的平均。

3.  眾數： 一群數值中出現次數最多的數稱為眾數，記作Mo。

又眾數可能不只一個。

4.  百分等級： 當某個資料數值，在整體資料中有至少k%的資料數值小於或等於它，而且有至少(100 - k)%的資料數值大於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為k，記作PR = k。

  2-6　四分位距與標準差 1.   全距是指一群數值資料中，最大值和最小值的差距，通常以R表示。

2.  四分位距： 設n個數值由小至大排列為x(1) £ x(2)£ … £x(n)，將已排列的數值等分成四段，可得三個分界點，最小的分界點稱為第1四分位數，以Q1表示；其次即為中位數；最後的分界點稱為第3四分位數，以Q3表示。

第3四分位數Q3與第1四分位數Q1的差稱為四分位距，以IQR表示，即IQR = Q3- Q1。

3.  設n個數值x1、x2、……、xn；以表示其算術平均數，我們稱為xi的離均差。

離均差平方的算術平均數稱為變異數，而變異數的正平方根稱為標準差。

設n個資料為x1、x2、……、xn，其算術平均數為，則標準差為。

  2-7　抽樣方法 1.  簡單隨機抽樣： 從母群體中，每一個體被選中的機會都相等的條件下，隨機抽取樣本，稱為簡單隨機抽樣。

2.  系統抽樣： 系統抽樣為做一次簡單隨機抽樣後，依據固定間隔數抽出下一個樣本。

3.  分層隨機抽樣： 將母群體依某種標準區分成不重複的若干組，每組稱為「層」，且層與層之間有很大的變異性，同一層內的變異性較小。

再從每一層中利用簡單隨機抽樣抽出所需比例的樣本數，將所得各層樣本合起來即為樣本。

4.  部落抽樣： 其方法為將母群體分成若干部落，而部落間的變異小，部落內的變異大。

再從這些部落中抽出數個部落進行抽樣調查或普查。

  2-8　解讀信賴區間與信心水準 1.   媒體報導中的滿意度是抽樣受訪民眾的滿意度，將它加上正負抽樣誤差，就得一個信賴區間，而我們有95%的信心說，真正滿意的比例會落在信賴區間內。

  　 　 數學C(I) 第1章　直線方程式 1-1　直角坐標 1.  數線：數線上相異兩點A(x1)、B(x2)，則 (1) (2)的中點為 2.  坐標平面：將平面分為四象限 ▲圖1-36   1-2　距離公式與分點坐標 1.  坐標平面上相異兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則 (1)距離公式： (2)中點公式：的中點為 (3)若A - P- B，且，則 內分點公式： 2.  設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)為△ABC的三頂點，則 △ABC的重心為   1-3　函數圖形 1.  函數的定義： 設x、y是兩個變數，如果給定x值後、y值隨著x值依某種關係而確定，我們稱y為x的函數，x稱為自變數，y稱為應變數。

2.  函數圖形： (1)常數函數（線型函數），形如y = k (2)一次函數（線型函數），形如y = ax+ b (3)二次函數（拋物線），形如y = ax2+ bx+ c   1-4　直線方程式 1.  直線的斜率：（x1 ¹ x2） 2.  判別斜率大小： ▲圖1-37 3.  平行與垂直： 平面上相異兩直線L1、L2的斜率分別為m1、m2（m1 ¹ 0，m2 ¹ 0），則 (1)L1//L2       Û　m1 = m2 (2)L1^ L2   Û　m1 ´ m2 = - 1 4.  直線方程式： (1)點斜式：直線L過P(x0,y0)且斜率為m，則L：y - y0=m(x - x0) (2)兩點式：直線L過P1(x1,y1)、P2(x2,y2)兩點且x1 ¹ x2 　　　　則L： (3)斜截式：直線L的斜率為m，若y截距為b 　　　　則L：y = mx+ b (4)截距式：直線L的x截距為a，y截距為b（ab ¹ 0） 　　　　則L： (5)一般式：直線L為ax + by+ c= 0（a、b不同時為0）， 　　　　 (6)平行線與垂直線：直線L：ax + by= c，則 5.  二元一次方程組的解之幾何意義 兩直線的關係：方程組，（a1b1c1 ¹ 0，a2b2c2 ¹ 0） 相容方程組 相交於一點 恰有一組解 矛盾方程組 平行 無解 相依方程組 重合 無限多組解   第2章　三角函數 2-1　有向角及其度量 1.  角度互換： (1)（弧度） (2)1（弧度） 2.  同界角： 兩有向角a、b 有相同的始邊和終邊，即a - b = 360°k（或2kp），其中k為整數，則a、b 互為同界角。

3.  扇形： (1)弧長S = rq (2) 周長L = S + 2r (3) 面積   　2-2　三角函數的定義 1.  銳角三角函數的定義： ▲圖2-38                                                                                                                                                                                                                           　 2.  三角函數的基本性質： (1)倒數關係： 　　　　　sinq cscq = 1 　　　　　cosq secq = 1 　　　　　tanq cotq = 1 (2) 平方關係： 　　　　　sin2q + cos2q = 1 　　　　　1 + tan2q = sec2q 　　　　　1 + cot2q = csc2q (3) 商數關係： 　　　　　 　　　　　 (4) 餘角關係： 　　　　　sinq = cos(90° - q ) 　　　　　tanq = cot(90° - q ) 　　　　　secq = csc(90° - q ) 　 3.  特別角的三角函數：列出sin，cos，tan，其餘利用倒數可得。

函數 q sin cos tan 30° 45° 1 60°   2-3　任意角的三角函數值 ▲圖2-39  1.   q 為標準位置角，且q 不是象限角 在其終邊上取一點P(x,y)，，則 　　，， 　　，， 　 2.  象限角的三角函數值： 函數 q sin cos tan 0° 0 1 0 90° 1 0   180° 0 - 1 0 270° - 1 0   3.   化任意角的三角函數值為銳角的三角函數值： 利用90° ±q，180° ±q，270° ±q，360° ±q（或 ±q）和第一、第二、第三、第四象限角的三角函數值的正負作換算。

▲圖2-40   2-4　三角函數的圖形 1.  三角函數的圖形： 三角函數圖形 週期 值域 ▲圖2-41 2p - 1£ y£ 1 （即|y |£ 1） ▲圖2-42 2p - 1£ y£ 1 （即|y |£ 1） ▲圖2-43 p y為任意實數 ▲圖2-44 p y為任意實數 ▲圖2-45 2p y ³ 1或y £ - 1 （即|y |³ 1） ▲圖2-46 2p y ³ 1或y £ - 1 （即|y |³ 1） 2.  圖形變化： f(x) = a (kx + m)+ n，其中     a 振幅 k 週期為 m 左右移 n 上下移 　   第3章　三角函數的應用 3-1　和差角公式與二倍角公式 1.  和差角公式： 　　　　　　sin(a ± b ) =sina cosb ±cosa sinb 　　　　　　cos(a ±b )= cosa cosbsina sinb 　　　　　　（tana tanb ¹ ±1） 2.  二倍角公式： 　　　　　　sin2q = 2sinq cosq 　　　　　　cos2q = cos2q - sin2q = 2cos2q - 1= 1- 2sin2q 　　　　　　（tan2q ¹ 1）   3-2　正弦與餘弦定理 1.  △ABC面積（已知SAS）                    （海龍公式，已知SSS）                    （R：外接圓半徑）                     = rs（r：內切圓半徑） 2.  正弦定理： 　　　　　（a：b：c = sinA：sinB：sinC） 3.  餘弦定理： 已知SAS 已知SSS a2 = b2+c2 - 2bccosA b2 = c2+a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC   3-3　解三角形與三角測量 1.  解三角形：已知SSS、SAS由餘弦定理先解，其餘視情況而定。

2.   三角測量：畫圖（看三角形），利用三角函數或正餘弦定理解之。

  第4章　向量 4-1　向量的意義 1.  (1)有向線段：由起點A到終點B的線段，以表示 (2) 向量：有大小有方向的量，但不考慮起點位置 2.  向量的坐標表示法： A(x1,y1)、B(x2,y2)，則 (1) (2) 3.  特殊向量： (1)零 向 量：起點和終點重合的有向線段決定的向量，以 　　　　　表示 (2)相等向量：兩向量大小相等方向相同 　　　　　若，，且 　　　　　則a1 = b1，a2 = b2 (3)反 向 量：兩向量大小相等但方向相反 　　　　　若，則 4-2　向量的加減與實數積 1.  加法圖示： (1) 三角形法： (2)平行四邊形法 2.  單位向量：長度為1的向量，與同方向的單位向量為 3.  坐標表示法： ，，r為實數，則 (1) (2)   4-3　向量的內積與夾角 1.  內積： ，，且、皆為非零向量，夾角為q Þ　 當或時，規定，此時亦成立。

2.  垂直與平行： ，，且、皆為非零向量，r為實數，則 (1)　Û　　Û　（b1b2 ¹ 0） (2)　Û　　Û　a1b1 + a2b2 =0 3.  內積的性質： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)   4-4　點到直線的距離 1.  正射影：設為非零向量， (1)在上的正射影量 (2)在上的正射影長 (3)在上的正射影 2.  (1)點P(x0,y0)到直線L：ax + by+ c= 0的距離：       (2)兩平行線的距離： 3.  向量方法求三角形面積： 設，，則由與為兩鄰邊所夾的 三角形面積     數學C(II) 第1章　式的運算 1-1　多項式的四則運算 1.  多項式：f (x)= anxn +an - 1xn - 1 + …… +a1x + a0（an ¹ 0）， 　　　　其中。

(1)ak為xk的係數，a0稱為常數項 (2)an ¹0，an為領導係數，次數以degf (x)= n表示 (3)常數多項式 2.  多項式的四則運算： (1)加減：同次項合併 (2)乘除：分離係數 3.   綜合除法：右擺除式，前係數下拉，一乘一加得商式及餘式。

而長除法是上下減。

  1-2　餘式與因式定理 1.  餘式定理：多項式f (x)除以x - a的餘式為f (a)。

2.  因式定理：x - a為多項式f (x)的因式　Û　f (a)= 0。

  1-3　多項方程式 1.   一元二次方程式：因式分解或公式解解之。

(1)公式解ax2 + bx+ c= 0　Þ　 (2)根的性質： 判別式 根的性質 b2 - 4ac> 0 兩相異實根 b2 - 4ac= 0 兩相等實根 b2 - 4ac< 0 無實根（無實數解） (3)根與係數：ax2 + bx+ c= 0的兩根為a、b　Þ　   1-4　分式與根式的運算 1.  分式的四則運算： (1)加減：通分合併 (2)乘除：約去公因式，化為最簡分式 2.   部份分式法：將最簡真分式化為若干個最簡真分式之和。

3.   分式方程式：同乘以分母最低公倍式得n次方程式求解，其解代回原式檢驗分母是否為零，若分母為零，則此根不合。

4.  根式的四則運算： (1)加減：同類根式合併 (2)乘除：根式內的數直接乘除 ※5.   二重根式：（a ³ b³ 0）。

  第2章　聯立方程組 2-1　一次方程組 1.  解一次方程組： (1)代入消去法 (2)加減消去法   2-2　二、三階行列式與克拉瑪公式 1.  二階行列式值的定義：                                                     2.  三階行列式值的定義： (1) (2)行列式依某行或某列，及降階（去同行同列）展開。

3.  二階、三階行列式的性質： (1)行與列互換，其值不變。

(2) 任兩行或任兩列互相對調，其值差一負號。

(3)任一行或任一列可提出公因數。

(4) ?任兩行或任兩列成比例時，其值為0。

?某行或某列的各元素為0，其值為0。

(5)將某行（列）的k倍加到另一行（列），其值不變。

(6) 加法原則：依某行或某列可拆為兩行列式之和。

4.  克拉瑪公式： (1)二元一次方程組 令，， (2)三元一次方程組 令 　﹐，   第3章　複數 3-1　複數的四則運算 1.  複數： (1)z =a + bi（a、b為實數），其中a為實部，b為虛部 (2)若a + bi= c+ di，則a = c，b = d (3)若z = a+ bi，則共軛複數   2.  複數的四則運算： 若z1 = a+ bi，z2 = c+ di 則(1)z1 ±z2= (a±c)+ (b±d)i 　(2)z1 ´ z2= (ac- bd)+ (ad+ bc)i 　(3)（z2 ¹ 0） 3.  共軛複數的性質： (1) (2)；（z2 ¹ 0） (3) 4.  虛數單位，其特性為 (1)i4k =1，i4k + 1 =i，i4k + 2 = - 1，i4k + 3 = - i（k為正整數） (2)1+ i+ i2+ i3= 0 (3)(1±i)2 =±2i   3-2　一元二次方程式的虛根 1.  方程式ax2 + bx+ c= 0（a、b、c為實數），其解為 則 2.  方程式ax2 + bx+ c= 0（a、b、c為實數），已知有一根p + qi，則必有另一根p - qi。

  3-3　複數平面與極式 1.  複數的絕對值： (1)定義：若z = x+ yi（x、y為實數）， (2)性質： ? ? ? ? ?（z ¹ 0） ?（z2 ¹ 0） 2.  在直角坐標系中，設點P異於原點，直角坐標P(x,y)，可以序對(r,q )表示之，此序對(r,q )稱為P點的極坐標，其中r為P點到原點的距離，稱為向徑，q 為以x軸正向為始邊旋轉到P點的有向角，稱為輻角。

(1)直角坐標(x,y)異於原點轉換成極坐標(r,q ) （可直接畫圖求q） (2)極坐標(r,q )轉換成直角坐標(x,y) 3.  複數的極式： z= x+ yi= |z|(cosq + isinq ) 若0° £ q < 360°，則稱q 為z的主輻角，表為Arg(z) = q   3-4　棣美弗定理及其應用 1.  複數極式的乘除： 若z1 = r1(cosq1 + isinq2)，z2 = r2(cosq1 + isinq2)，則： (1)z1 ´z2 = r1r2[cos(q1 + q2) + isin(q1 + q2)] (2)（z2 ¹ 0） 2.  棣美弗定理： 複數z = r(cosq + isinq )，r = |z|，則： zn= rn(cosnq + isinnq )，n為整數（z ¹ 0） 3.  複數的n次方根： 若xn = z= |z|(cosq + isinq )，z ¹ 0，n為自然數 則z的n次方根為 其中k = 0，1，2，……，n - 1，q = Arg(z)   　第4章　不等式及其應用 4-1　二元一次不等式的圖形 1.  二元一次不等式： 2.  二元一次聯立不等式： 兩個或兩個以上的二元一次聯立不等式的圖形，是每一個不等式圖形的共同部分。

  4-2　線性規劃 1.  線性規劃： 在滿足限制條件下，列出二元一次聯立不等式，藉以決定如何將有限的資源作最有效的調配與應用，能以最低的代價，獲得最高的效益，此過程稱為線性規劃。

此聯立不等式的解稱為可行解，此聯立不等式的圖解區域稱為可行解區域，使能獲得最高利潤的一次函數f (x,y)稱為目標函數。

在可行解區域中能使目標函數為最大或最小的解，稱為最佳解。

2.  線性規劃應用問題的求解過程： (1)依題意列表整理。

(2)依題意列不等式。

(3)畫圖找出可行解區域的頂點。

(4)頂點代入目標函數求極值。

  4-3　一元二次不等式 一元二次不等式： 將不等式移項化簡得ax2 + bx+ c> 0，ax2 + bx+ c³ 0，ax2 + bx+ c< 0或ax2 + bx+ c£ 0（a ¹ 0且a、b、c為實數）。

【結論一】 若a > 0，一元二次方程式ax2 + bx+ c= 0的判別式D = b2- 4ac> 0 （y = ax2+ bx+ c的圖形與x軸相交兩點） ax2 + bx+ c= 0的兩根為a、b，且a < b 不等式 不等式的解 ax2 + bx+ c> 0 x < a 或x > b ax2 + bx+ c³ 0 x £ a 或x ³ b ax2 + bx+ c< 0 a < x < b ax2 + bx+ c£ 0 a £ x £ b   【結論二】 若a > 0，一元二次方程式ax2 + bx+ c= 0的判別式D = b2- 4ac= 0 （y = ax2+ bx+ c的圖形與x軸相交一點） 不等式 不等式的解 ax2 + bx+ c> 0可化為(x - h)2 > 0 x為任意實數但x ¹ h ax2 + bx+ c³ 0可化為(x - h)2 ³ 0 x為任意實數 ax2 + bx+ c< 0可化為(x - h)2 < 0 x無實數解 ax2 + bx+ c£ 0可化為(x - h)2 £ 0 x = h   【結論三】 若a > 0，一元二次方程式ax2 + bx+ c= 0的判別式D = b2- 4ac< 0 （y = ax2+ bx+ c的圖形與x軸無交點）   不等式 不等式的解 a > 0 ax2 + bx+ c> 0 或ax2 + bx+ c³ 0 x為任意實數 ax2 + bx+ c£ 0 或ax2 + bx+ c< 0 x無實數解   4-4　絕對不等式 1.  算幾不等式： 設a、b為兩正實數，則（或寫成） 其中 不等式的等號成立於a = b 2.  柯西不等式： 設兩非零向量， 其中a1、a2、b1、b2為實數，則(a12 +a22)(b12 + b22) ³(a1b1 +a2b2)2 設b1b2 ¹ 0，柯西不等式的等號成立於 即，若有一向量為零時，顯然等號成立。

　 　 　 數學C(III) 第1章　數列與級數 1-1　等差數列與等差級數 1.  數列與級數： (1) 數列：將一系列的數依照順序排列出來，例如：a1，a2，a3﹐……﹐an，稱為數列。

其中a1稱為首項或第1項，a2稱為第2項，……，an稱為第n項或末項。

(2)級數：將數列áakñ的各項以「+」連接起來的式子，例如： 　　　a1 + a2+a3 + …… +an，稱為級數，其表示法為。

(3)有限項數「å」的運算性質： ?（c為常數） ?（c為常數） ? ?（1 £ m< n） 2.  等差數列： 在數列áakñ中，若後一項減去前一項的差都相等，我們稱這數列為等差數列（或算術數列），這個相等的差稱為此數列的公差，通常以d表示。

若首項為a1，公差為d，則第n項為 　　　an = a1+ (n- 1)d　（末項 = 首項 + 間隔數 ´ 公差） 將等差數列中的am當成最前項，公差為d，則第n項為 　　　an = am+ (n- m)d　（末項 = 某項 + 間隔數 ´ 公差） 3.  等差中項： 若a，b，c成等差數列，我們稱b為a與c的等差中項（或算術平均數），則。

4.  等差級數： 若a1，a2，a3，……，an是一等差數列，將其前n項相加得a1 + a2+a3 + …… +an，就稱為等差級數（或算術級數），此級數前n項的和為 。

(1)已知等差級數首項a1，公差d，項數n，則。

(2)已知等差級數首項a1，末項an，項數n，則。

  1-2　等比數列與等比級數 1.  等比數列： 在數列áakñ中，若任一項與其前一項的比值都相等，我們稱這數列為等比數列，這個相等的比值稱為此數列的公比，通常以r表示。

若首項為a1，公比為r，則第n項為 　　　an = a1rn -1　（末項 = 首項 ´ 公比間隔數） 將等比數列中的am當成最前項，公比為r，則第n項為 　　　an = amrn -m　（末項 = 某項 ´ 公比間隔數） 2.  等比中項： 若a，b，c成等比數列，我們稱b為a與c的等比中項，則b2 = ac，即。

3.  等比級數： 若a1，a2，a3﹐……﹐an是一等比數列，將其前n項相加得a1 + a2+a3 + …… +an，就稱為等比級數，此級數前n項的和為。

已知等比級數首項a1，公比r，項數n，則 (1)當r ¹ 1時，。

(2)當r = 1時，。

  第2章　指數與對數及其運算 2-1　指數的意義及其運算 1.  指數律： 對於每一個實數a，我們以記號an代表a自乘n次的乘積，其n為正整數，即，讀做「a的n次方」，其中a稱為底數，n稱為指數。

2.  指數運算的性質： 若a、b為正實數，m、n為任意實數，則 (1)am ´an = am +n；am ¸ an= am -n (2)(am)n =am ´ n (3)(a ´b)n = an´ bn (4)a0 =1（此時a ¹ 0） (5)（此時a ¹ 0） (6)；（此時n為正整數）   2-2　指數函數及其圖形 1.  指數函數y = ax（a > 0且a ¹ 1）的圖形： (1)y =ax的圖形皆在x軸上方，過點(0,1)，且漸近線均為x軸。

(2)當a > 1時，y = ax為遞增函數；當0 < a< 1時，y = ax為遞減函數。

(3)y =ax與的圖形對稱於y軸。

2.  指數的比大小： 關於與的大小關係，分a > 1和0 1 y = ax為遞增函數 若x1 > x2，則，即指數愈大其值愈大，反之亦成立 0 < a< 1 y = ax為遞減函數 若x1 > x2，則，即指數愈大其值愈小，反之亦成立 3.  指數方程式： (1)化為同底數，利用指數相等。

(2)將ax看成未知數再解方程式（須滿足ax > 0）。

  2-3　對數的意義及其運算 1.  對數的意義： 若a > 0，a ¹ 1，b > 0，當ax = b時，我們用符號logab來表示x，即 ax= b　Û　logab = x 我們稱logab為「以a為底數時b的對數」，其中b稱為真數。

2.  對數的性質： 設a、b、x、y均為正實數，且a ¹ 1，b ¹ 1 (1)loga1 =0；logaa = 1 (2)loga(x ´y) = logax+ logay； (3)logaxn =nlogax；（此時m、n為實數且m ¹ 0） (4)（換底公式） (5)   2-4　對數函數及其圖形 1.  對數函數y = logax（a > 0，a ¹ 1且x > 0）的圖形： (1)y =logax的圖形皆在y軸右方，過點(1,0)，且漸近線均為y軸。

(2)當a > 1時，y = logax為遞增函數；當0 < a< 1時，y = logax為遞減函數。

(3)y =logax與的圖形對稱於x軸。

(4)對數函數y = logax（a > 0，a ¹ 1且x > 0）與指數函數y = ax（a > 0）的圖形對稱於直線y = x。

2.  對數的比大小： 關於logax1與logax2的大小關係，分a > 1和0 1 y = logax為遞增函數 若x1 > x2，則logax1 > logax2，即真數愈大其值愈大，反之亦成立 0 < a< 1 y = logax為遞減函數 若x1 > x2，則logax1 < logax2，即真數愈大其值愈小，反之亦成立 3.  對數方程式： (1)化為同底數，利用真數相等。

(2)將logax看成未知數再解方程式（須滿足真數x > 0）。

  2-5　常用對數與其應用 1.  常用對數： logx= n+ a，其中n為整數，且0 £ a < 1，我們稱n為logx的首數，a 為logx的尾數。

2.  常用對數的首數與真數的位數：設n為非負整數， (1)真數x ³ 1且logx的首數為n，則x的整數部分為n + 1位數。

(2)真數0 < x< 1且logx的首數為 -n，則x自小數點後第n位開始出現非零數字。

  第3章　排列組合 3-1　乘法原理與樹狀圖 1.  加法原理： 若完成某件工作的方法可區分成k類，且第1類有m1種方法，第2類有m2種方法，……，第k類有mk種方法，則完成這件工作的方法共有m1 + m2 + …… +mk種。

2.  乘法原理： 若完成某件工作的方法須經過k個步驟，且第1步驟中有m1種方法，第2步驟中有m2種方法，……，第k步驟中有mk種方法，則完成這件工作的方法共有m1 ´ m2 ´ …… ´mk種。

  3-2　排列 1.  完全相異物的直線排列： (1)將n個不同的事物排成一列的排列總數為 (2)從n個不同的事物中任選m個(m £ n)排成一列的排列總數為 2.  有相同物的直線排列： (1)設n個事物有p個相同排成一列的總數為 (2)設有n個事物，共有k種不同種類（同類中的事物相同），第1類有p1個，第2類有p2個，……，第k類有pk個（即n = p1+ p2+ …… +pk），將此n個事物排成一列的總數為   3-3　組合 1.  相異物的組合： 從n個不同的事物中，取m個(m £ n)為一組，其組合數為   3-4　二項式定理 1.  二項式定理： 對於任意正整數n，      其中稱為此展開式的一般項，恰為展開式中第r + 1項的係數。

2.  性質： (1) (2)   第4章　機率與統計 4-1　樣本空間與事件 1.  樣本空間： 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合叫做樣本空間，以S表示。

樣本空間中的每一可能發生的結果，稱為一個樣本，樣本點的個數以n(S)表示。

2.   事件：樣本空間的每一子集為一個事件。

(1)全事件：樣本空間S本身是自己的部分集合，稱S為全事件或必然事件。

(2)空事件：部分集合Æ不含任何樣本，稱Æ為空事件或不可能事件。

(3) 基本事件：只含一個樣本點的事件稱為基本事件。

(4)餘事件：樣本空間S中不包含A的部分集合（叫做A的補集，以A¢表示），稱A¢為A的餘事件。

(5)和事件：A和B兩事件至少有一事件發生的事件，以AÈB表示。

(6)積事件：A和B兩事件同時發生的事件，以AÇB表示。

(7)互斥事件：若AÇB = Æ，則稱A和B兩事件為互斥事件。

  4-2　求機率問題 1.  古典機率： 設一隨機試驗的樣本空間S中的各基本事件出現的機會均等。

若AÌS為一事件，則事件A發生的機率為A的元素個數n(A)與S的元素個數n(S)之比，記為 2.  機率的性質： (1)P(Æ) = 0，即空事件的機率為0。

(2)P(S) =1，即全事件的機率為1。

(3)若AÌS為一事件，則0 £ P(A)£ 1。

(4)若AÌS為一事件，A¢為A的餘事件，則P(A¢) = 1- P(A)。

(5)若AÌBÌS的兩事件，則P(A) £ P(B)。

(6)若A和B為S的兩事件，則P(AÈB) = P(A)+ P(B)- P(AÇB)。

(7)若A和B為S的兩事件，且A和B為互斥事件（即AÇB = Æ）， 則P(AÈB) = P(A)+ P(B)。

3.  條件機率： 設A、B為樣本空間S中的兩事件，且P(A) > 0，則在事件A發生的條件下，事件B發生的機率為 4.  獨立事件： 設A、B為樣本空間S中的任兩事件，若P(AÇB) = P(A)´ P(B)，則稱A、B為獨立事件，否則稱為相關事件。

5.  若A、B為獨立事件，則下列各對事件亦為獨立事件： (1)A與B¢ (2)A¢與B (3)A¢與B¢   4-3　數學期望值 數學期望值： (1)設某一事件發生的機率為p，該事件發生所得到的報酬為m，則稱 E =p ´ m      為此事件的數學期望值。

(2)設一試驗有n種可能結果，其發生的機率分別為p1，p2，……，pn，各結果所得到的報酬為m1，m2，……，mn，則稱 E =p1 ´m1 +p2 ´m2 + …… +pn ´ mn      為此試驗的數學期望值。

  4-4　資料整理與圖表編製 1.  次數分配表的編製： (1)求全距。

(2)定組數與組距。

(3)定組限。

(4)歸類劃記並計算各組的次數。

2.  直方圖的畫法： 以變量為橫軸，次數為縱軸，各組組距為底，其對應的次數為高，畫長方形。

3.  次數分配曲線圖的畫法： 將各組的組中點為橫坐標，其所對應的次數為縱坐標描點，依次用線段連接起來的折線。

4.  累積次數分配表的編製： 將次數分配表中各組的次數，從最小一組到最大一組累加而得「以下累積次數分配表」；從最大一組到最小一組累加而得「以上累積次數分配表」。

5.  累積次數分配曲線圖的畫法： (1) 以各組上限為橫坐標，其所對應的以下累積次數為縱坐標描點，連接(L1,0)及各點而得。

(2) 以各組下限為橫坐標，其所對應的以上累積次數為縱坐標描點，連接(Uk,0)及各點而得。

  4-5　算術平均數、中位數與百分等級 1.  算術平均數： (1)未分組資料： (2)已分組資料：                                     （f1 + f2+ …… +fk = n） 2.  加權平均數：                                              （其中Wi表xi的權數） 3.   眾數：在一群數值資料中出現次數最多的數，以Mo表示。

4.  中位數：將n個數值從小而大排列成x1 £ x2£ …… £xn， (1)當n為奇數時，中位數 (2)當n為偶數時，中位數 5.  百分等級：                                      （x為某一原始分數）   4-6　四分位距與標準差 1.  全距：R =最大數減去最小數 2.  四分位距：IQR = Q3- Q1 3.   離均差：數值資料中各數值與算術平均數之差。

4.  設n個實數x1，x2，……，xn的算術平均數是，則n個實數的 (1)母體變異數 (2)母體標準差 (3)樣本變異數 (4)樣本標準差   4-7　抽樣方法 1.   統計的意義：面對不確定的情況下，能找出事件的通則，並作出最佳的決策。

2.  抽樣方法： (1)簡單隨機抽樣                                  (2)系統抽樣 (3)分層隨機抽樣                                  (4)部落抽樣   4-8　解讀信賴區間與信心水準 1.  常態分配： 由中間向兩邊對稱下降，用圓滑曲線連接，其分配曲線如鐘形一般，我們稱此資料的分配為常態分配，亦稱為高斯分配。

2.  常態分配曲線共同的特性：68 - 95- 99.7規則 (1)68%的數值落在距平均數m正負一個標準差的範圍內，即有68%的資料介於x = m - s 和x = m + s 兩鉛直線之間。

(2)95%的數值落在距平均數m正負兩個標準差的範圍內，即有95%的資料介於x = m - 2s 和x = m + 2s 兩鉛直線之間。

(3)99.7%的數值落在距平均數m正負三個標準差的範圍內，即有99.7%的資料介於x = m - 3s 和x = m + 3s 兩鉛直線之間。

3.  參數：（N為投票人數，M為支持者的人數）。

4.  信賴區間： 估計真正的p值落在哪一個範圍，以區間 [估計值 - 抽樣誤差,估計值 + 抽樣誤差]      表示。

5.   信心水準：落在信賴區間的機率稱之。

　 　 數學C(IV) 第1章　圓 1-1　圓的方程式 1.  圓的標準式： 圓心為(h,k)，半徑為r的圓方程式為(x - h)2+ (y- k)2= r2。

2.  圓的一般式： 凡是圓皆可表為二元二次方程式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0。

一個二元二次方程式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0的圖形，依d2 + e2- 4f之值的不同，可得下列三種情形： (1)當d2 + e2- 4f> 0時：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0表一圓，                                        圓心為，半徑。

(2)當d2 + e2- 4f= 0時：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0表一點。

(3)當d2 + e2- 4f< 0時：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0沒有圖形。

我們將d2 + e2- 4f稱為圓的判別式。

  1-2　圓與直線的關係 1.  圓與直線的關係： 圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2與直線L：ax + by+ c= 0的關係有三種情形： (1)圓與直線相交於兩點（相割），此時d < r，且直線L被圓C所截得的弦長為。

(2)圓與直線相交於一點（相切），此時d = r。

(3)圓與直線無交點（相離），此時d > r，其圓上點到直線的最近距離為 d- r，最遠距離為d + r。

     其中d為圓心A(h,k)到直線L：ax + by+ c= 0之距離，即 。

2.  圓與點的關係： 設圓心A(h,k)，平面上一點P(x0,y0)與圓(x - h)2+ (y- k)2= r2（或x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0）的關係有三種： (1)若P為圓內點，此時 則(x0 - h)2+ (y0- k)2< r2（或x02 + y02 +dx0 + ey0+f <0） (2)若P為圓上點，此時 則(x0 - h)2+ (y0- k)2= r2（或x02 + y02 +dx0 + ey0+f =0） (3)若P為圓外點，此時 則(x0 - h)2+ (y0- k)2> r2（或x02 + y02 +dx0 + ey0+f >0） 3.  圓的切線： 平面上有一圓(x - h)2+ (y- k)2= r2與一點P(x0,y0) (1)過圓上一點P(x0,y0)的切線只有一條，利用切線垂直過切點的半徑求之。

(2)過圓外一點P(x0,y0)的切線必有二條，利用圓心到切線距離等於圓的半徑求之。

【註】過圓外點的切線必有兩條，若求出切線斜率m，只有一個解，則 　　　另一切線的斜率不存在，此切線為鉛直線。

(3) 已知切線斜率求切線，利用圓心到切線的距離等於圓的半徑求之。

4.  圓的切線段長： 從圓外一點P(x0,y0)到圓的切線段長 (1)若圓方程式為標準式(x - h)2+ (y- k)2= r2，則切線段長為 (2)若圓方程式為一般式x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0，則切線段長為 第2章　二次曲線 2-1　拋物線的圖形與標準式 1.  圓錐曲線： 圓、拋物線、橢圓與雙曲線合稱為圓錐曲線，簡稱為錐線。

用一個平面以不同角度切割圓錐，可以得到不同的圓錐曲線：拋物線、橢圓、雙曲線。

2.  拋物線的定義： 在平面上，設有一定直線L與L外一定點F，所有到L的距離等於到F的距離之動點P所形成的圖形稱為拋物線。

也就是滿足 　（d(P,L)表動點P到直線L的距離）      之P點所成的集合，其中定直線L稱為準線，定點F稱為焦點。

3.  拋物線的標準式： y2 = 4cx x2 = 4cy ?若c > 0，開口向右； 　若c < 0，開口向左 ?頂點：(0,0) ?焦點：F(c,0) ?準線：x = - c ?軸：y = 0 ?正焦弦長：4| c| ?若c > 0，開口向上； 　若c < 0，開口向下 ?頂點：(0,0) ?焦點：F(0,c) ?準線：y = - c ?軸：x = 0 ?正焦弦長：4| c| 4.  拋物線的標準式的平移： (y - k)2 = 4c(x - h) (x - h)2 = 4c(y - k) ?若c > 0，開口向右； 　若c < 0，開口向左 ?頂點：(h,k) ?焦點：(h + c,k) ?準線：x = h- c ?軸：y = k ?正焦弦長：4| c| ?若c > 0，開口向上； 　若c < 0，開口向下 ?頂點：(h,k) ?焦點：(h,k + c) ?準線：y = k- c ?軸：x = h ?正焦弦長：4| c|   2-2　橢圓的圖形與標準式 1.  橢圓的定義： 平面上與兩定點F1、F2距離和為定值2a()的所有點P所成的圖形稱為橢圓。

也就是滿足之P點所成的集合，其中兩定點F1與F2稱為橢圓的焦點。

2.  橢圓的標準式： 長軸在x軸上 (a > b> 0，a2 = b2+c2) 長軸在y軸上 (a > b> 0，a2 = b2+c2) ?中心：(0,0) ?焦點：( ±c,0) ?長軸長：2a，長軸頂點：( ±a,0) 　短軸長：2b，短軸頂點：(0, ±b) ?正焦弦長： ?中心：(0,0) ?焦點：(0, ±c) ?長軸長：2a，長軸頂點：(0, ±a) 　短軸長：2b，短軸頂點：( ±b,0) ?正焦弦長： 3.  橢圓的標準式的平移： 長軸平行x軸 (a > b> 0，a2 = b2+c2) 長軸平行y軸 (a > b> 0，a2 = b2+c2) ?中心：(h,k) ?焦點：(h ±c,k) ?長軸長：2a，長軸頂點：(h ±a,k) 　短軸長：2b，短軸頂點：(h,k ±b) ?正焦弦長： ?中心：(h,k) ?焦點：(h,k ±c) ?長軸長：2a，長軸頂點：(h,k ±a) 　短軸長：2b，短軸頂點：(h ±b,k) ?正焦弦長：   2-3　雙曲線的圖形與標準式 1.  雙曲線的定義： 設F1與F2為平面上滿足(c > 0)的兩定點，平面上與兩定點F1、F2距離差的絕對值為定值2a()的所有點P所成的圖形稱為雙曲線。

也就是滿足之P點所成的集合，其中兩定點F1與F2稱為雙曲線的焦點。

2.  雙曲線的標準式： 貫軸在x軸上 (c2 =a2 + b2) 貫軸在y軸上 (c2 =a2 + b2) ?中心：(0,0) ?貫軸長：2a，頂點：( ±a,0) ?共軛軸長：2b， 　共軛軸頂點：(0,± b) ?焦點：( ±c,0)，其中c2 = a2 + b2 ?正焦弦長： ?漸近線： ?中心：(0,0) ?貫軸長：2a，頂點：(0, ±a) ?共軛軸長：2b， 　共軛軸頂點：(± b,0) ?焦點：(0, ±c)，其中c2 = a2 + b2 ?正焦弦長： ?漸近線： 3.  雙曲線的標準式的平移： 貫軸平行x軸 (c2 =a2 + b2) 貫軸平行y軸 (c2 =a2 + b2) ?中心：(h,k) ?貫軸長：2a，貫軸頂點：(h ±a,k) ?共軛軸長：2b， 　共軛軸頂點：(h,k ±b) ?焦點：(h ±c,k) ?正焦弦長： ?漸近線： ?中心：(h,k) ?貫軸長：2a，貫軸頂點：(h,k ±a) ?共軛軸長：2b， 　共軛軸頂點：(h ±b,k) ?焦點：(h,k ±c) ?正焦弦長： ?漸近線：   第3章　微分 3-1　極限的概念 1.  函數： 設x、y為兩變數，給定x值後，y值隨著x值依某種關係而確定，我們稱y為x的函數，其變量x稱為自變數，變量y稱為應變數。

自變數x可能變動的範圍，稱為此函數的定義域，與x值對應之函數值所成的集合稱為值域。

2.  函數極限的定義： 當函數f (x)定義域中的x趨近於定值a時(x ¹ a)，則x所對應的函數值f (x)也逐漸趨近於a，我們稱x趨近於a時，f (x)的極限為a，記為。

3.  求極限值： (1)若以x = a代入f (x)得實數f (a)，則。

(2)若f (x)為有理函數且(q(x) ¹ 0)： ?以x = a代入f (x)得（無意義），此時須將f (x)中使分子和分母為0 　的公因式約去，再將x = a代入求得極限值。

?以x = a代入f (x)得（k為任意不為0之數），則不存在。

4.  函數極限的運算性質： 設，，其中a、b 皆為實數，則： (1)（k為常數） (2)（k為常數） (3) (4) (5)(b ¹ 0) 5.  極限值存在： 左極限 = 右極限，即。

6.  函數的連續性： 若函數f (x)滿足(1)f (a)存在　(2)存在　(3) 則稱函數f (x)在x = a連續。

3-2　多項函數的導數與導函數 1.  導數的定義： 設f (x)為一函數，a為定義域中的一點，則： (1)f(x)在區間[a,b]的平均變化率為 (2)若存在，我們稱極限值為f (x)在x = a的導數，以f ¢(a)表示之，即 (h = x- a) 2.  導數的意義： (1)幾何意義：f ¢(a)為f (x)在x = a的切線斜率，過曲線f (x)上一點(a,f (a))的切線方程式為y - f(a)= f¢(a)(x - a)。

(2)物理意義：設運動物體的位移函數為f (t)，速度函數為v(t)，加速度函數為a(t)，則f ¢(t) = v(t)，v¢(t) = a(t)。

3.  導函數： 設f (x)定義中的每一點a，其導數f ¢(a)存在，此時a→f ¢(a)形成一個新函數，f (x)的導函數為，此過程稱為將函數f (x)微分。

4.   函數的可微與連續關係：可微分函數必為連續函數；反之，未必成立。

  3-3　微分公式 1.  微分公式： 設p(x)和q(x)皆為可微分函數， (1)若f (x)= xr，則f ¢(x) = rxr -1（r為實數） (2)若f (x)= k，則f ¢(x) = 0（k為常數） (3)若f (x)= kp(x)，則f ¢(x) = kp¢(x)（k為常數） (4)若f (x)= p(x)±q(x)，則f ¢(x) = p¢(x) ±q¢(x) (5)若f (x)= p(x)q(x)，則f ¢(x) = p¢(x)q(x) + p(x)q¢(x) (6)若且q(x) ¹ 0，則 (7)連鎖規則： ?f (x)= p(q(x))且p¢(x)、q¢(x)皆存在，則f ¢(x) = p¢(q(x)) ´ q¢(x) ?已知g(x)為可微分函數，若f (x)= (g(x))r且r為實數，則 f ¢(x) = r(g(x))r -1 ´ g¢(x) 2.  高階導函數： f(x)的n階導函數，記為 f(n)(x)，，y(n)，，      f(x)的二階以上的導函數，統稱為高階導函數。

  3-4　微分的應用 1.  函數的遞增與遞減：函數f (x)在區間I可微分，對於任意xÎI， (1)若f ¢(x) ³ 0，則f (x)在區間I上為遞增函數。

(2)若f ¢(x) > 0，則f (x)在區間I上為嚴格遞增函數。

(3)若f ¢(x) £ 0，則f (x)在區間I上為遞減函數。

(4)若f ¢(x) < 0，則f (x)在區間I上為嚴格遞減函數。

2.  導數與極值的關係： 若函數f (x)在x = a處有極大值或極小值，且f (x)在x = a處可微分，則 f¢(a) = 0。

3.  函數的極大值與極小值： 設函數f (x)在x = a附近各點都可微分且f ¢(a) = 0， (1)當圖形在a點的左側是遞增函數，在a點的右側是遞減函數，即x < a時f ¢(x) > 0，x > a時f ¢(x) < 0，則f (x)在x = a處有極大值f (a)。

(2)當圖形在a點的左側是遞減函數，在a點的右側是遞增函數，即x < a時f ¢(x) < 0，x > a時f ¢(x) > 0，則f (x)在x = a處有極小值f (a)。

4.  函數的最大值與最小值： 函數在區間範圍內的最大值與最小值，可能發生在f ¢(x) = 0的點或區間的兩端點。

5.   極值的應用：利用多項函數求極值的方法解決一些實際的問題。

  第4章　積分 4-1　無窮等比級數 1.  無窮數列的極限： (1)無窮數列áanñ，當n→¥時，an→A（定值），即áanñ收斂於A，記為。

(2)無窮數列áanñ沒有收斂，即為發散。

2.  無窮收斂數列的性質： 設，，則 (1) (2) (3) (4)(B ¹ 0) (5)（c為一常數） 3.  分式型數列極限的規則： (1)若an的分子和分母同次方，則即為分子分母最高次項的係數比值。

(2)若an的分子次方小於分母次方，則。

(3)若an的分子次方大於分母次方，則不存在。

4.  夾擠定理： 若數列áanñ，ábnñ，ácnñ滿足an £ bn£ cn（n為任意自然數），且，則。

5.  無窮等比數列árnñ的收斂與發散： (1)當 -1 < r< 1（即|r |< 1）時，árnñ收斂於0； 當r = 1時，árnñ收斂於1。

故當 -1 < r£ 1時，árnñ為收斂數列。

(2)當r £ - 1或r > 1時，árnñ為發散數列。

6.  無窮等比級數的收斂與發散： (1)當 -1 < r< 1（即|r |< 1）時，收斂，其和為。

(2)當r £ - 1或r ³ 1時，發散，級數和不存在。

  4-2　積分的概念與反導函數 1.  定積分： 函數f (x)在閉區間[a,b]上的定積分，以表示之，a與b分別稱為積分的下限與上限。

2.  反導函數： 設F(x)為一可微分函數，f (x)為一函數，若F¢(x) = f(x)，則稱F(x)為f (x)的反導函數。

3.  不定積分的性質： 若與存在，其中，c為常數，則： (1) (2)(n ¹ - 1) (3) (4) 4.  代換積分法： ，其中n ¹ - 1   4-3　多項函數的積分 1.  微積分基本定理： 設f (x)在[a,b]上連續，且F(x)為f (x)的反導函數，則 。

2.  定積分的性質： 設f (x)，g(x)均為[a,b]上可積分函數， (1) (2) (3) (4)，其中a < c< b (5) 　 　 數學B(I) 第1章　直線方程式 1-1　直角坐標、距離公式、分點坐標 1.  在數線上，兩點P(a)、Q(b)間的距離為 2.  坐標平面上兩點P(x1,y1)、Q(x2,y2)間的距離為 ▲祕訣  3.   設P1(x1,y2)、P2(x2,y2)、P(x,y)是一直線上相異三點，且P是 的內分點，若（m、n為正數），則 　                                         ， 4.  若P1(x1,y1)、P2(x2,y2)為平面上任兩點，則的中點坐標是                                         5.  在△ABC中，若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)且G(x,y)為△ABC的重心，則，   1-2　直線的斜率與方程式 1.  斜率的定義： 設P1(x1,y1)、P2(x2,y2)為直線L上之相異兩點 (1)若L不垂直於x軸，則L之斜率為  (2) 若L垂直於x軸，則L之斜率不存在 　 2.  已知兩直線L1、L2之斜率分別為m1、m2，則 (1)L1//L2　Û　m1 = m2 (2)若m1m2 ¹ 0，則L1 ^ L2　Û　m1 ´ m2= - 1 3.  直線方程式的型式 型一：點斜率：過點(x1,y1)且斜率為m之直線方程式為 y -y1 = m(x- x1)      型二：斜截式：若直線L的斜率為m且y截距為b，則L之方程式為 y =mx + b      型三：兩點式：若P1(x1,y1)、P2(x2,y2)為直線L上之相異兩點 　　　　　　　(1)當x1 ¹ x2，則直線L之方程式為 　　　　　　　(2)當x1 = x2，則直線L之方程式為 x =x1      型四：截距式：若直線L的x截距為a，y截距為b，ab ¹ 0，則L之方程式為      型五：一般式：直線L的一般式為二元一次方程式ax + by+ c= 0      　　　　　　　(1)當b = 0，表垂直x軸之直線，斜率不存在      　　　　　　　(2)當b ¹ 0，表斜率為的直線 4.  點P(x0,y0)到直線L：ax + by+ c= 0之距離為 5.  兩平行線L1：ax + by+ c1= 0與L2：ax + by+ c2= 0的距離為 。

  1-3　函數及其圖形 1.  兩個變數x、y，對於每一個x值已知時，就有一個且只有一個y值與之對應，則稱y為x的函數，以y = f(x)表示。

其中x稱為自變數，y稱為應變數。

2.  凡能化成y = ax+ b型式（式中a、b為常數）的函數，皆稱為線型函數。

若a ¹ 0時，則稱為一次函數，其圖形為一直線。

3.  二次函數y = ax2+ bx+ c的圖形為拋物線， a> 0時，拋物線開口向上； a< 0時，拋物線開口向下。

且其頂點坐標為，其對稱軸為。

  第2章　三角函數 2-1　有向角及其度量 1.   角的度量有「六十分制」與「弧度制」二種。

(1)（弧度） (2)1（弧度） 2.  若一個扇形的半徑為r，弧長為S，所對的圓心角為q 弧度，面積為A，則 (1)S =rq (2) 3.  認識同界角與標準位置角 (1)若q - f = n ´ 360°或q - f = 2np，其中n為整數，則稱q 與f 為同界角。

(2) 第一象限角：若0° < q < 90°，n為整數，則n ´ 360° + q 為第一象限角。

第二象限角：若90° < q < 180°，n為整數，則n ´ 360° + q 為第二象限角。

第三象限角：若180° < q < 270°，n為整數，則n ´ 360° + q 為第三象限角。

第四象限角：若270° < q < 360°，n為整數，則n ´ 360° + q 為第四象限角。

  2-2　銳角三角函數的定義及基本性質 ▲圖2-28  1.   銳角三角函數的定義： 直角△ABC中（如右圖）                                                                                                        　 2.  了解餘角關係式： sin(90° - q ) =cosq                cos(90° - q ) =sinq tan(90° - q ) =cotq                cot(90° - q ) =tanq sec(90° - q ) =cscq                csc(90° - q ) =secq 3.  熟記特別角之三角函數值： 函數 函數值 角度q sinq cosq tanq cotq secq cscq 2 1 1 2 4.  熟悉基本三角關係式： (1)倒數關係：sinq ´ cscq = cosq ´ secq = tanq ´ cotq = 1 (2) 商數關係：　　 (3) 平方關係：sin2q + cos2q = 1　　1 + tan2q = sec2q　　1 + cot2q = csc2q   2-3　任意角的三角函數 1.  在標準位置角q 之終邊上任一點P(x,y)，設，則 　　　　　                                       　　　　　（x ¹ 0）                      （y ¹ 0） 　　　　　（x ¹ 0）                       （y ¹ 0） 2.  由定義知同界角之三角函數值相等。

▲圖2-29  3.   由q 之終邊所在象限可確定其三角函數值正負如下： 　 象限 正負 函數 一 二 三 四 sinq　　　cscq + + - - cosq　　　secq + - - + tanq　　　cotq + - + - 4.  熟記0°、90°、180°、270°之三角函數值： 角度q 函數值 函數 0°(0) 180°(p ) sinq 0 1 0  - 1 cosq 1 0  - 1 0 tanq 0 無意義 0 無意義 5.  第一類三角函數變換公式： (1)sin( - q ) = - sinq                 cos( - q ) =cosq                   tan( - q ) = - tanq (2)sin(p - q ) =sinq                  cos(p - q ) = - cosq              tan(p - q ) = - tanq (3)sin(p + q ) = - sinq               cos(p + q ) = - cosq              tan(p + q )= tanq (4)sin(2p - q )= - sinq             cos(2p - q )= cosq               tan(2p - q )= - tanq 　 6.  第二類三角函數變換公式： (1)                                   (2)                            (3)                                 2-4　三角函數的圖形 1.  函數y = sinx的性質： (1)x為任意實數，sinx均有意義 (2)- 1£ sinx£ 1 (3)週期為2p 2.  函數y = cosx的性質： (1)x為任意實數，cosx均有意義 (2)- 1£ cosx£ 1 (3)週期為2p 3.  函數y = tanx的性質： (1)直線（n為整數）為圖形之漸近線 (2)tanx可為任意實數 (3)週期為p 4.  函數y = cotx的性質： (1)x =np（n為整數）為圖形之漸近線 (2)cotx可為任意實數 (3)週期為p 5.  函數y = secx的性質： (1)（n為整數）為圖形之漸近線 (2)|secx| ³1 (3)週期為2p 6.  函數y = cscx的性質： (1)x =np（n為整數）為圖形之漸近線 (2)|cscx| ³1 (3)週期為2p   第3章　向量 3-1　向量的意義 1.  有向線段與向量：對於每一個向量均有一個有向線段與之對應，記為。

2.  向量的坐標表示： (1)設O為原點，點P(a,b)，則且 (2)設A(a1,a2)、B(b1,b2)，則 3.  向量的相等： 設、，若，則a1 = b1且a2 = b2   3-2　向量的加減法與實數積 1.  向量的加減法： 在△ABC中 (1) (2) 2.  向量加減法的坐標表示： 設、，則 (1) (2) 3.  向量加法的基本性質： (1) (2) (3) (4)，稱為的逆向量 4.  向量的實數積： 設r為實數，則稱為向量的實數積，若，則 (1)r >0時，與同向，且長度為的r倍。

(2)r <0時，與反向，且長度為的| r|倍。

5.  向量實數積的坐標表示： 設，r為實數，則 6.  向量實數積的基本性質： r、s為實數，則 (1) (2)； 7.  向量的平行： ， (1)若，則存在一實數r，使得 (2)設，，若，則a1：b1 = a2：b2 8.  長度為1的向量，稱為單位向量，即若(x,y)為一個單位向量，則x2 + y2= 1，若為非零向量，則與同向的單位向量為。

  3-3　向量的內積與夾角 1.  餘弦定理： △ABC中，若a、b、c分別表示ÐA、ÐB、ÐC的對邊，則 a2= b2+ c2- 2bccosA b2= a2+ c2- 2accosB c2= a2+ b2- 2abcosC 2.  向量的內積： (1)設q 為與的夾角，則、的內積為 (2)設、，則 3.  向量的垂直： 設，，若，則 4.  向量內積的性質： (1) (2) (3) (4) 第4章　指數與對數及其運算 4-1　指數的運算與意義 1.  指數的定義： 設n為正整數，則符號an表示n個a的連乘積。

2.  整數指數： 設a ¹ 0，n為正整數，則 (1)a0 =1 (2) 3.  分數指數： 若a為正實數，且m、n為整數，n > 0，則 (1) (2) 4.  實數指數的指數律： 設a、b為正實數，r、s為實數，則 (1)ar ´as = ar +s (2)(ar)s =ars (3)ar ´br = (ab)r (4) (5)   4-2　指數函數及其圖形 1.  指數函數： 設a > 0且a ¹ 1，若將任意實數x視為一變數，則函數y = f(x)= ax稱為以a為底數的指數函數。

2.  指數函數圖形的性質： (1)圖形恆在x軸的上方，且漸漸接近於x軸。

(2)圖形通過點(0,1)。

(3)當a > 1時，y = ax為嚴格增函數。

(4)當0 < a< 1時，y = ax為嚴格減函數。

(5)設a > 0且a ¹ 1，則y = ax與的圖形對稱於y軸。

3.  指數方程式： (1) 方程式中的未知數出現在指數部分者，稱為指數方程式。

(2)求解原理：若a > 0、a ¹ 1且ar = as，則r = s。

  4-3　對數的運算與意義 1.  對數的定義： 設a > 0且a ¹ 1，b > 0，則滿足ax = b的唯一實數x，稱為以a為底數之b的對數，記為logab = x，且稱b為真數。

2.  對數的性質： 設a、b、M、N均為正實數，且a、b ¹ 1；r、s為實數，且r ¹ 0，則 (1)loga1 =0；logaa = 1 (2)loga(MN) =logaM + logaN (3)； (4)； (5)（換底公式）；(logab) ´ (logba) =1   4-4　對數函數及其圖形 1.  對數函數： 設a > 0且a ¹ 1、x > 0，若將x視為一變數，則函數y = f(x)= logax稱為以a為底數的對數函數。

2.  對數函數圖形的性質： (1)圖形恆在y軸的右側，且漸漸接近於y軸。

(2)圖形通過點(1,0)。

(3)當a > 1時，y = logax為嚴格增函數。

(4)當0 < a< 1時，y = logax為嚴格減函數。

(5)設a > 0且a ¹ 1，則y = logax與的圖形對稱於x軸。

(6)設a > 0且a ¹ 1，則y = ax與y = logax的圖形對稱於直線y = x。

3.  對數方程式： (1) 方程式中的未知數出現在對數中的真數或底數者，通稱為對數方程式。

(2)求解原理：若a > 0且a ¹ 1，M、N > 0且logaM = logaN，則M = N。

  4-5　常用對數及其應用 1.  常用對數： 以10為底數的對數，稱為常用對數，簡記為logx。

2.   熟知常用對數表的查法及表尾差法的使用。

3.  首數、尾數： 若logx = n+ a，其中n為整數，0 £ a < 1，則稱n為首數，a 為尾數。

(1)若x > 1，且x的整數部分為m位數，則n = m- 1。

(2)若0 < x< 1，且x自小數點後第m位開始出現不為0的數字，則n = - m。

　 　   　 數學B(II) 第1章　數列與級數 1-1　等差數列與等差級數 1.  等差數列的第k項 　　　ak = a1+ (k- 1)´ d 2.  等差級數前n項的和 　　　 3.  等差中項A為前後二項a、b和的一半，即 　　　   1-2　等比數列與等比級數 1.  等比數列的第k項 　　　ak = a1´ rk -1 2.  等比級數的前n項和 　　　（r ¹ 1） 3.  等比中項G的平方等於前後二項a、b的乘積，即 　　　G2 = a´ b（或）   1-3　無窮等比級數 1.  無窮數列áanñ， 當n→¥時，an→a，則稱a 為數列áanñ之極限，記為。

又「極限存在」的數列稱為收斂數列； 　「極限不存在」的數列，稱為發散數列。

2.  無窮等比數列áarn - 1ñ，r ¹ 0中 (1)當| r|< 1或r = 1時，數列áarn - 1ñ為收斂數列。

(2)當| r|> 1或r = - 1時，數列áarn - 1ñ為發散數列。

3.  無窮級數，前n項和， (1)若，則稱為收斂級數，且其和為a。

(2) 若不存在，則稱為發散級數，且其和不存在。

4.  無窮等比級數（a ¹ 0，r ¹ 0）， (1)若| r|< 1，則為收斂級數，且其和為。

(2)若| r|³ 1，則為發散級數，且其和不存在。

  第2章　式的運算 2-1　多項式的四則運算 1.   多項式的相等：兩多項式的次數相同，且對應項的係數相等。

2.   多項式的相加減運算：只要將同類項的係數相加減即可。

3.   多項式的乘法及除法運算：利用分離係數法較容易。

4.  多項式的除法定理： 被除式 = 除式 ´ 商式 + 餘式       但其中餘式的次數要小於除式的次數，或餘式為0。

5.   綜合除法的運算：在運算中，上、下兩列的係數是用相加，不是相減。

  2-2　餘式與因式定理 1.  餘式定理：設a ¹ 0，多項式f (x)除以ax - b的餘式為。

2.  因式定理：設a ¹ 0，若ax - b|f(x)，則；反之亦成立。

3.  因式分解公式： (1)a2 +2ab + b2= (a+ b)2 a2- 2ab+ b2= (a- b)2 (2)a2 -b2 = (a+ b)(a- b) (3)a3 +b3 = (a+ b)(a2 -ab + b2) a3- b3= (a- b)(a2 +ab + b2) (4)a3 +3a2b + 3ab2+ b3= (a+ b)3 a3- 3a2b +3ab2 - b3= (a- b)3 4.  最高公因式與最低公倍式 兩個多項式f (x)與g(x)的共同因式中，次數最高的稱為它們的最高公因式，簡記為H.C.F。

又共同倍式中，次數最低的稱為它們的最低公倍式，簡記為L.C.M。

2-3　分式與根式的運算 1.  分式有三種類型： (1) 真分式：分子次數小於分母次數的分式。

(2) 假分式：分子次數不小於分母次數的分式。

(3) 帶分式：一個多項式與真分式的代數和。

2.  分式的四則運算：若f (x)、g(x)、h(x)、k(x)均為多項式且g(x)、k(x)不為零多項式，則 (1)加法： (2)減法： (3)乘法： (4)除法：（其中h(x) ¹ 0） 3.   部分分式：將一個真分式化為若干個真分式的代數和，稱為將真分式分解成部分分式。

4.  根式的性質：若A、B均為有理式，且其值皆為正數，m、n皆為正整數，則 (1) (2) (3) (4) 5.   有理化因式：若兩個根式的乘積是有理式，則稱這兩個根式互為有理化因式。

6.  二重根式的化簡： 若x = a+ b，y = ab且a ³ b> 0，則。

  第3章　方程式 3-1　多項方程式 1.  一元二次方程式ax2 + bx+ c= 0： (1)b2 -4ac > 0：有兩相異實根，可利用十字交乘法或代入公式求解。

(2)b2 -4ac = 0：有兩相等實根，（重根）。

(3)b2 -4ac < 0：無實根。

2.  根與係數的關係： 若a、b 為一元二次方程式ax2 + bx + c = 0之兩根，則 、。

3.  一次因式檢驗定理： 設f (x)= anxn +an - 1xn - 1 + … +a1x + a0為一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax - b是f (x)的因式，且a、b互質，則a |an且b |a0。

4.  一元高次方程式的解法： 可利用一次因式檢驗定理或因式分解公式，將其分解為一次或二次因式的乘積，即可求出其解。

  3-2　二元一次聯立方程式與二階行列式 1.  聯立方程式解的幾何意義： (1)若a1：a2 ¹ b1：b2，則聯立方程式恰有一組解(x0,y0)，表此聯立方程式所對應的兩直線恰交於一點(x0,y0)。

(2)若a1：a2 = b1：b2 = c1：c2，則聯立方程式有無限多組解，表此聯立方程式所對應的兩直線重合。

(3)若a1：a2 = b1：b2 ¹ c1：c2，則聯立方程式無解，表此聯立方程式所對應的兩直線平行。

2.  二階行列式： 符號表示ad - bc，且稱此符號為二階行列式。

3.  二元一次方程組的行列式解： 方程組中 令，，，則 (1)D ¹ 0，方程組恰有一組解：，。

(2)D = 0，但Dx ¹ 0或Dy ¹ 0，方程組無解。

(3)D = 0且Dx = Dy = 0，方程組有無限多組解。

  3-3　三階行列式與Cramer公式 1.  三階行列式： 符號表示a1b2c3 + a2b3c1 +a3b1c2 - a3b2c1 -a1b3c2 - a2b1c3，且稱此符號為三階行列式。

2.  三階行列式的降階： 三階行列式的值等於它任何一行（或列）的各元與其對應的餘因式之乘積的和。

3.  行列式的性質： (1)行列依序互換，其值不變。

(2)任意兩行（列）對調，其值變號。

(3)任一行（列）可提出其公因數。

(4)任一行（列）的元素均為0，其值為0。

(5) 任兩行（列）的元素對應相同或成比例，其值為0。

(6) 某一行（列）的元素若由兩個元所組成，則可分成兩個行列式之和。

(7)將任一行（列）的k倍加到另一行（列），其值不變。

4.  Cramer（克拉瑪）公式： 設 令， 　， 當D ¹ 0時，方程組恰有一組解： ，，   第4章　不等式及其應用 4-1　一元二次不等式 1.  一元一次不等式的解法與圖示： 不等式ax + b> 0（a ¹ 0）的解為 (1)若a > 0，則。

(2)若a < 0，則。

2.  設a > 0，一元二次方程式ax2 + bx+ c= 0 (1)當b2 - 4ac> 0時，有兩相異實根a、b，令a < b，則 ?ax2 + bx + c > 0的解為x > b 或x < a ?ax2 + bx + c < 0的解為a < x < b ?ax2 + bx + c ³ 0的解為x ³ b或x £ a ?ax2 + bx + c £ 0的解為a £ x £ b (2) 當b2 - 4ac= 0時，有相等實根，即a = b，則 ?ax2 + bx + c ³ 0的解為任意實數 ?ax2 + bx + c > 0的解為不等於a 的任意實數 ?ax2 + bx + c £ 0的解為x = a ?ax2 + bx + c < 0為無解 (3) 當b2 - 4ac< 0時，沒有實根，則 ?ax2 + bx + c ³ 0的解為任意實數 ?ax2 + bx + c > 0的解為任意實數 ?ax2 + bx + c £ 0為無解 ?ax2 + bx + c < 0為無解   4-2　絕對不等式 1.  算幾不等式： 設a1,a2,…,an為n個正實數，n ³ 2，則 且當等號成立時，a1 = a2= … =an。

2.  柯西不等式： 設a1,a2,…,an，b1,b2,…,bn是2n個實數，則 (a12 +a22 + … +an2)(b12 + b22 + … +bn2) ³ (a1b1 +a2b2 + … +anbn)2 且當等號成立時，a1：b1 = a2：b2 = … =an：bn。

  4-3　二元一次不等式的圖形及線性規劃 1.  設a > 0，直線L表方程式ax + by+ c= 0之圖形，則不等式 (1)ax +by + c> 0的圖形表直線L之右側半平面。

(2)ax +by + c³ 0的圖形表直線L之右側半平面及直線L。

(3)ax +by + c< 0的圖形表直線L之左側半平面。

(4)ax +by + c£ 0的圖形表直線L之左側半平面及直線L。

2.  設平行於x軸的直線L表方程式y = k之圖形，則不等式 (1)y >k的圖形表直線L之上方半平面。

(2)y ³k的圖形表直線L之上方半平面及直線L。

(3)y 0，則 。

(2)條件機率的乘法公式： P(AÇB) = P(A)´ P(B|A)。

(3)貝氏定理： 設{A1, A2,…, An}是樣本空間S的一個分割，B為S的任一個事件，若P(B) > 0，P(Ai) > 0，i = 1,2,…,n，則 ， k= 1,2,…,n。

4.  獨立事件： (1)設AÌS，BÌS，若P(AÇB) = P(A)´ P(B)，則稱A、B為獨立事件（或統計無關），否則稱為相關事件。

(2)若P(AÇB) = P(A)´ P(B)，則下列三式成立： ?P(AÇB¢) = P(A)´ P(B¢)。

?P(A¢ÇB) = P(A¢) ´ P(B)。

?P(A¢ÇB¢) = P(A¢) ´ P(B¢)。

  2-3　數學期望值 1.  試驗的數學期望值： 設有一試驗，其樣本空間為S且{A1, A2,…, Ak}為樣本空間S的一個分割，若事件Ai發生的機率為pi（i = 1,2,…,k），且事件Ai發生可得報酬xi（i = 1,2,…,k），則稱p1x1 + p2x2 + … +pkxk為此試驗的數學期望值。

  第3章　統計 3-1　抽樣方法 1.  統計內容的三要素： (1)統計資料                             (2)統計方法                           (3)統計原理 2.  抽樣調查的方法： (1)簡單隨機抽樣         (2)系統抽樣               (3)分層隨機抽樣               (4)部落抽樣 3-2　資料整理與圖表編製 1.  次數分配表的編製： 第一步：求全距 第二步：定組數 第三步：定組距 第四步：定組限 第五步：歸類並計算各組的次數 2.  直方圖的畫法： 以變量為橫軸，次數為縱軸，各組組距為底，其對應次數為高，畫長方形，可得直方圖。

3.  學習累積次數分配表的編製。

4.  學習累積次數分配曲線圖的畫法。

  3-3　算術平均數、中位數、百分等級 1.  算術平均數的求法： (1)未分組資料： (2)已分k組資料： 2.  加權平均數的求法： ，其中Wi表xi的權數。

3.  中位數的求法： 設n個數值由小而大排列成x1 £ x2£ … £xn。

(1)當n為奇數時，中位數。

(2)當n為偶數時，中位數。

4.  百分等級的求法： 若n表示所登錄分數的總次數，x表示某一個原始分數，Fx表示分數小於x的累積次數，則百分等級PR為的整數部分。

  　3-4　四分位距與標準差 1.  全距：R = 最大數 - 最小數。

2.  四分位距：IQR = Q3- Q1。

3.  母體變異數與母體標準差： 離均差平方和的算術平均數稱為母體變異數，記為s2，而其平方根稱為母體標準差，記為s。

4.  樣本變異數與樣本標準差： 樣本資料的離均差平方和除以n - 1，稱為樣本變異數，記為S2，而其平方根稱為樣本標準差，記為S。

5.  樣本變異數與樣本標準差的求法： 設樣本資料為x1, x2,…, xn，其算術平均數為， 則， 　。

  3-5　解讀信賴區間與信心水準 1.  常態分配：68 - 95- 99規則，大約有 (1)68%的數值落在距平均數一個標準差的範圍內。

(2)95%的數值落在距平均數兩個標準差的範圍內。

(3)99%的數值落在距平均數三個標準差的範圍內。

2.  學習信賴區間與信心水準的解讀。

　 　 　   數學B(IV) 第1章　三角函數的應用 1-1　和差角公式與二倍角公式 1.  和差角公式： (1)cos(a - b ) =cosa cosb + sina sinb (2)cos(a + b ) =cosa cosb - sina sinb (3)sin(a + b ) =sina cosb + cosa sinb (4)sin(a - b ) =sina cosb - cosa sinb (5) (6) 2.  二倍角公式： (1)sin2q = 2sinq cosq (2)cos2q = cos2q - sin2q = 1- 2sin2q = 2cos2q - 1 (3) 3.  若a、b為實數，則函數y = asinx+ bcosx有 最大值、最小值。

  1-2　正弦與餘弦定理 1.  正弦定理： 在△ABC中，若R為△ABC之外接圓半徑，則 2.  餘弦定理： 在△ABC中，若a、b、c分別表示ÐA、ÐB、ÐC的對邊，則 a2= b2+c2 - 2bccosA　　b2 = a2+c2 - 2accosB　　c2 = a2+ b2- 2abcosC 3.  三角形面積公式： 在△ABC中， (1)已知二邊一夾角，則△ABC的面積為 (2)海龍公式： 已知三邊長為a、b、c，令，則△ABC的面積為   1-3　解三角形問題（含三角測量） 1.  解三角形： (1)已知二角一邊（A.A.S.或A.S.A.）時，可利用正弦定理求出另二邊。

(2)已知二邊一夾角（S.A.S.）時，可由餘弦定理求出第三邊，再利用正弦定理求出另外二角。

(3)已知三邊長（S.S.S.）時，可由餘弦定理求出未知的三個角。

(4)已知二邊及一對角（S.S.A.）時， ?由餘弦定理可得一個一元二次方程式，則由此方程式的解，可知三角形可能有二解、 　一解或無解。

?若由正弦定理，則先求出另外的角，其解亦可能為二解、一解或無解。

2.  三角測量： (1) 認識測量用的名詞，如：仰角、俯角及方位等。

(2) 能利用作圖，將測量的問題轉化成解三角形的問題。

  第2章　二次曲線 2-1　圓方程式 1.  圓的標準式： 以Q(h,k)為圓心，r（r > 0）為半徑之圓的方程式為(x - h)2+ (y- k)2= r2 2.  圓的一般式： 凡是圓，必可表為x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0的形式，但此種形式的方程式，其圖形有下列三種情形： (1)當d2 + e2- 4f> 0時，方程式表一圓，圓心為，半徑為。

(2)當d2 + e2- 4f= 0時，方程式表一點。

(3)當d2 + e2- 4f< 0時，方程式無圖形。

3.  點與圓的相關位置： 設點P(x0,y0)，圓C：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0，則 (1)x02 +y02 + dx0+ ey0+f >0　Û　P在圓C外部。

(2)x02 +y02 + dx0+ ey0+f =0　Û　P在圓C上。

(3)x02 +y02 + dx0+ ey0+f <0　Û　P在圓C內部。

  2-2　圓與直線的關係 1.  判斷圓與直線的相交情況： 設直線L：ax + by+ c= 0，圓C：(x - h)2+ (y- k)2= r2 (1)令d表圓心到直線L之距離，即，則 ?d > r　Û　圓C與直線L不相交。

?d = r　Û　圓C與直線L恰交於一點（相切）。

?d < r　Û　圓C與直線L相交於相異兩點。

(2)圓C與直線L的方程式聯立，消去x或y，可得一個一元二次方程式，令其判別式為D，則 ?D > 0　Û　表圓C與直線L相交於相異兩點。

?D = 0　Û　表圓C與直線L恰交於一點（相切）。

?D < 0　Û　表圓C與直線L不相交。

2.  學習圓的切線方程式的求法。

3.  自圓C：x2 + y2+ dx+ ey+ f= 0外一點P(x1,y1)到圓C的切線段長為。

  2-3　拋物線的圖形與標準式 1.  拋物線的定義： 設平面上有一定直線L及直線L外一定點F，則在此平面上到點F的距離等於到直線L的距離之所有點所成的圖形，稱為拋物線，其中定點F為焦點，定直線L為準線。

2.  頂點在(h,k)的拋物線標準式與其圖形之間的關係： 標準式 圖形 (y - k)2 = 4c(x - h) (x - h)2 = 4c(y - k) 2-4　橢圓的圖形與標準式 1.  橢圓的定義： 設F1與F2為平面上的兩相異定點，若定數，則在此平面上滿足的所有點P所成的圖形，稱為橢圓，其中定點F1與F2稱為橢圓的焦點。

2.  中心在(h,k)的橢圓標準式與其圖形之間的關係： 標準式 圖形 （a > b> 0） （c2 = a2 - b2） （a > b> 0） （c2 = a2 - b2）   2-5　雙曲線的圖形與標準式 1.  雙曲線的定義： 設F1與F2為平面上的兩相異定點，若定數，則在此平面上滿足的所有點P所成的圖形，稱為雙曲線，其中定點F1與F2稱為雙曲線的焦點。

2.  中心在(h,k)的雙曲線標準式與其圖形之間的關係： 標準式 圖形 （a > 0，b > 0） （c2 = a2 + b2） （a > 0，b > 0） （c2 = a2 + b2）   第3章　微積分及其應用 3-1　極限的概念（數列與函數） 1.  數列的極限： 若an可以向某一定數a 任意靠近，只要n足夠大，則我們說：當n趨近於無限大時，an趨近於a，且稱a 為數列áanñ的極限，記為。

2.  無窮等比數列的斂散性： 無窮等比數列árnñ中： (1)當| r|< 1或r = 1時，數列árnñ為收斂數列。

(2)當| r|> 1或r = - 1時，數列árnñ為發散數列。

3.  夾擠定理： 若áanñ、ábnñ及ácnñ為三個無窮數列，其中，且數列ácnñ滿足：從某一項起，不等式an £ cn£ bn恆成立，則ácnñ也是收斂數列，而且。

4.  函數的極限： 當函數f (x)定義域中的x趨近a時（包含從a的左、右方趨近，但x ¹ a），若f (x)會趨近於某一個定數L，則稱當x趨近a時，f (x)的極限為L，記為。

5.  函數的連續： 若函數f (x)在實數系中均有定義，且滿足下列三個條件： (1)f(a)存在； (2)存在； (3)，      則稱f (x)在x = a處連續。

若函數f (x)在實數系中的每一點皆連續，則稱f (x)為連續函數。

  3-2　多項函數的導數與導函數 1.  導數的定義： 設多項函數y = f(x)在x = a處及其附近有定義，若極限存在，則稱此極限為函數f (x)在x = a處的導數，記為f ¢(a)，即 ，f ¢(a)表示過點(a,f (a))的切線斜率。

2.  可微分函數： 若多項函數f (x)在x = a處的導數存在，則稱f (x)在x = a處可微分，否則稱f (x)在x = a處不可微分。

如果多項函數f (x)在實數線上的每一點均可微分，則稱此多項函數f (x)是一個可微分函數。

3.  導函數： 若f (x)是一個可微分函數，即在f (x)的定義域中的每一點a，它的導數f ¢(a)均存在，則對應關係a→f ¢(a)所形成的函數，稱為f (x)的導函數，記為f ¢(x)。

  3-3　微分公式 微分公式： 1.  若f (x)= k，k為常數，則f ¢(x) = 0。

2.  若f (x)= xn，n為正整數，則f ¢(x) = nxn -1。

3.  設c為常數，若f (x)為可微分函數且g(x) = cf(x)，則g¢(x) = cf¢(x)。

4.  若f (x)與g(x)均為可微分函數，且h(x) = f(x)+ g(x)，則h¢(x) = f¢(x) + g¢(x)。

5.  若f (x)與g(x)均為可微分函數且h(x) = f(x)´ g(x)，則h¢(x) = f¢(x) ´ g(x)+ f(x)´ g¢(x)。

6.  若n為正整數，f (x)為可微分函數，則(f (x))n的導函數為n(f (x))n -1 ´ f¢(x)。

  3-4　微分的應用 1.  函數的增減： 設f (x)為多項函數，則 (1)在區間(a,b)內，若f ¢(x) ³ 0恆成立，則f (x)在區間[a,b]上為遞增函數。

(2)在區間(a,b)內，若f ¢(x) £ 0恆成立，則f (x)在區間[a,b]上為遞減函數。

2.  多項函數的極值： 若f (x)為多項函數且f ¢(c) = 0，則 (1)在c點附近，當x < c時，f ¢(x) > 0；當x > c時，f ¢(x) < 0，則f (x)在x = c處有極大值。

(2)在c點附近，當x < c時，f ¢(x) < 0；當x > c時，f ¢(x) > 0，則f (x)在x = c處有極小值。

3.  多項函數圖形的凹向與反曲點： 設f (x)為多項函數， (1)若f (x)在區間(a,b)上，f ²(x) > 0恆成立，則f (x)在區間(a,b)的圖形凹口向上。

(2)若f (x)在區間(a,b)上，f ²(x) < 0恆成立，則f (x)在區間(a,b)的圖形凹口向下。

(3)若在c點附近，x < c時f (x)圖形的凹向與x > c時f (x)圖形的凹向相反，則稱點(c,f (c))為函數f (x)圖形的一個反曲點。

  3-5　積分的概念與反導函數 1.  不定積分的公式：，其中c為常數。

2.  不定積分的運算性質： (1) (2) (3) 3.  定義： (1)。

(2)（其中a £ b）。

4.  定積分的運算性質： 若f (x)與g(x)為二多項函數，則 (1)，其中k為常數。

(2)。

(3)。

5.  定積分與面積： 定積分的幾何意義是表示：y = f(x)的圖形與x軸及兩直線x = a，x = b所圍成的區域中，在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積。

  3-6　多項函數的積分 1.  微積分基本定理： 若f (x)為可微分函數，F(x)為f (x)的一個反導函數，則 。

2.  兩曲線間的面積： 設二多項函數f (x)與g(x)在區間[a,b]上，f (x)³ g(x)恆成立，則由y = f(x)的圖形與y = g(x)的圖形及直線x = a，x = b所圍成區域的面積為。

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