因式分解- 维基百科，自由的百科全书

因式分解（英語：Factorization），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。

在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。

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因式分解（英語：Factorization[註1]），在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式[註2]的過程。

在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。

例如多項式 x 2 − 4 {\displaystylex^{2}-4} 可被因式分解為 ( x + 2 ) ( x − 2 ) {\displaystyle\left(x+2\right)\left(x-2\right)} 。

一多項式x2 + cx + d可因式分解成(x + a)(x + b)。

其中：ab = d，a + b = c 。

目次 1因式分解定理 2分解方法 2.1公因式分解(抽) 2.2公式重組(拼) 2.3添項法(增) 2.4分項法(拆) 2.5十字交乘法 2.6兩個n次方數之和與差 3一次因式檢驗法 4參見 5注釋 6延伸閱讀 因式分解定理編輯 數體F上每個次數 ≥ 1 {\displaystyle\geq1}  的多項式 f ( x ) {\displaystylef(x)}  都可以分解成數體F上一些不可約多項式的乘積，並是唯一的，即如果有兩個分解式 f ( x ) = p 1 ( x ) p 2 ( x ) p 3 ( x ) ⋯ p s ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) ⋯ q t ( x ) {\displaystylef(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdotsp_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdotsq_{t}(x)}  其中 p i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylep_{i}(x)(i=1,2,\cdots,s)}  和 q j ( x ) ( j = 1 , 2 , ⋯ , t ) {\displaystyleq_{j}(x)(j=1,2,\cdots,t)}  都是數體F上的不可約多項式，那麼必有 s = t {\displaystyles=t}  ，而且可以適當置換因式的次序，使得 p i ( x ) = c i q i ( x ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylep_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i=1,2,\cdots,s)}  ,其中 c i ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) {\displaystylec_{i}(i=1,2,\cdots,s)}  是一些非零常數 分解方法編輯 公因式分解(抽)編輯 原則： 1、分解必須要徹底（即分解後之因式均不能再做分解） 2、結果最後只留下小括號 3、結果的多項式首項為正。

在一個公式內把其公因子抽出，例子： 7 a + 98 a b {\displaystyle7a+98ab}   其中， 7 a {\displaystyle7a}  是公因子。

因此，因式分解後得到的答案是： 7 a ( 1 + 14 b ) {\displaystyle7a(1+14b)}   51 a 4 b 7 + 24 a 3 b 2 + 75 a 5 b 5 {\displaystyle51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}}   其中， 3 a 3 b 2 {\displaystyle3a^{3}b^{2}}  是公因子。

因此，因式分解後得到的答案是： 3 a 3 b 2 ( 17 a b 5 + 25 a 2 b 3 + 8 ) {\displaystyle3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+25a^{2}b^{3}+8)}  公式重組(拼)編輯 透過公式重組，然後再抽出公因數，例子： 3 a 2 b − 5 y + 12 a 3 b 2 − 20 a b y {\displaystyle3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby}   = ( 3 a 2 b + 12 a 3 b 2 ) − ( 5 y + 20 a b y ) {\displaystyle=(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)}   = 3 a 2 b ( 1 + 4 a b ) − 5 y ( 1 + 4 a b ) {\displaystyle=3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)}   = ( 1 + 4 a b ) ( 3 a 2 b − 5 y ) {\displaystyle=(1+4ab)(3a^{2}b-5y)}   15 n 2 + 2 m − 3 n − 10 m n {\displaystyle15n^{2}+2m-3n-10mn}   = ( 15 n 2 − 3 n ) + ( 2 m − 10 m n ) {\displaystyle=(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)}   = 3 n ( 5 n − 1 ) + 2 m ( 1 − 5 n ) {\displaystyle=3n(5n-1)+2m(1-5n)}   = 3 n ( 5 n − 1 ) − 2 m ( 5 n − 1 ) {\displaystyle=3n(5n-1)-2m(5n-1)}   = ( 5 n − 1 ) ( 3 n − 2 m ) {\displaystyle=(5n-1)(3n-2m)}   添項法(增)編輯 透過添項然後減掉，然後再抽出公因數，例子： x 4 + x 2 + 1 {\displaystylex^{4}+x^{2}+1}   = x 4 + x 2 + x 2 − x 2 + 1 {\displaystyle=x^{4}+x^{2}+x^{2}-x^{2}+1}   = x 4 + 2 x 2 − x 2 + 1 {\displaystyle=x^{4}+2x^{2}-x^{2}+1}   = x 4 + 2 x 2 + 1 − x 2 {\displaystyle=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}}   = ( x 2 ) 2 + ( 2 ) ( x 2 ) ( 1 ) + ( 1 ) 2 − x 2 {\displaystyle=(x^{2})^{2}+(2)(x^{2})(1)+(1)^{2}-x^{2}}   = ( x 2 + 1 ) 2 − x 2 {\displaystyle=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}   = ( x 2 + 1 − x ) ( x 2 + 1 + x ) {\displaystyle=(x^{2}+1-x)(x^{2}+1+x)}   = ( x 2 − x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) {\displaystyle=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)}   分項法(拆)編輯 透過分裂某項，然後再抽出公因數，例子： x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6}   其中， − 7 x {\displaystyle-7x}  可以被拆成 − x {\displaystyle-x}  和 − 6 x {\displaystyle-6x}  。

所以， x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6}  可以被寫成 x 3 − x − 6 x + 6 {\displaystylex^{3}-x-6x+6}  。

因此， x 3 − 7 x + 6 {\displaystylex^{3}-7x+6}   = x 3 − x − 6 x + 6 {\displaystyle=x^{3}-x-6x+6}   = ( x 3 − x ) − ( 6 x − 6 ) {\displaystyle=(x^{3}-x)-(6x-6)}   = x ( x 2 − 1 ) − 6 ( x − 1 ) {\displaystyle=x(x^{2}-1)-6(x-1)}   = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) − 6 ( x − 1 ) {\displaystyle=x(x+1)(x-1)-6(x-1)}   = ( x ( x + 1 ) − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x(x+1)-6)(x-1)}   = ( x 2 + x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x^{2}+x-6)(x-1)}   其中， + x {\displaystyle+x}  可以被拆成 + 3 x {\displaystyle+3x}  和 − 2 x {\displaystyle-2x}  。

所以， x 2 + x − 6 {\displaystylex^{2}+x-6}  可以被寫成 x 2 + 3 x − 2 x − 6 {\displaystylex^{2}+3x-2x-6}  。

因此， ( x 2 + x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle(x^{2}+x-6)(x-1)}   = ( x 2 + 3 x − 2 x − 6 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x^{2}+3x-2x-6)(x-1)}   = ( ( x 2 + 3 x ) − ( 2 x + 6 ) ) ( x − 1 ) {\displaystyle=((x^{2}+3x)-(2x+6))(x-1)}   = ( x ( x + 3 ) − 2 ( x + 3 ) ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x(x+3)-2(x+3))(x-1)}   = ( x − 2 ) ( x + 3 ) ( x − 1 ) {\displaystyle=(x-2)(x+3)(x-1)}   = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle=(x-1)(x-2)(x+3)}   十字交乘法編輯 主條目：十字交乘法 十字交乘法(crossmethod)，也叫做十字相乘法。

它實際上是拆項法的一個變形，只不過用十字形矩陣來表示。

兩個n次方數之和與差編輯 兩個立方數之和 a 3 + b 3 {\displaystylea^{3}+b^{3}\,\!}  可分解為 ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}  兩個立方數之差 a 3 − b 3 {\displaystylea^{3}-b^{3}\,\!}  可分解為 ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}  兩個n次方數之差 a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + . . . . . . + b n − 1 ) {\displaystylea^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})}  兩個奇數次方數之和 a n + b n = ( a + b ) ( a n − 1 − a n − 2 b + . . . . . . + b n − 1 ) {\displaystylea^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})}  一次因式檢定法編輯 一個整係數的一元多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}  ，假如它有整係數因式 p x + q {\displaystylepx+q}  ，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真） p | a n {\displaystylep|a_{n}}   q | a 0 {\displaystyleq|a_{0}}  不過反過來說，即使當 p | a n {\displaystylep|a_{n}}  和 q | a 0 {\displaystyleq|a_{0}}  都成立時，整係數多項式 p x + q {\displaystylepx+q}  也不一定是整係數多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}  的因式 另外一個看法是： 一個整係數的ｎ次多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . . . . a 1 x + a 0 {\displaystylea_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}}  ，若 p x − q {\displaystylepx-q}  是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真） p − q | f ( 1 ) {\displaystylep-q|f(1)}   p + q | f ( − 1 ) {\displaystylep+q|f(-1)}  參見編輯 因數分解 多項式 根 十字相乘 乘法公式注釋編輯 ^也有factorisation或factoring的用法 ^因式即多項式。

延伸閱讀編輯 Burnside,WilliamSnow;Panton,ArthurWilliam(1960)[1912],TheTheoryofEquationswithanintroductiontothetheoryofbinaryalgebraicforms(Volumeone),Dover Dickson,LeonardEugene(1922),FirstCourseintheTheoryofEquations,NewYork:JohnWiley&Sons Fite,WilliamBenjamin(1921),CollegeAlgebra(Revised),Boston:D.C.Heath&Co. Klein,Felix(1925),ElementaryMathematicsfromanAdvancedStandpoint;Arithmetic,Algebra,Analysis,Dover Selby,SamuelM.,CRCStandardMathematicalTables(18thed.),TheChemicalRubberCo 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=因式分解&oldid=70966129」