标准差公式 - 数学乐

标准差的符号是σ（希腊语字母西格马，英语sigma）。

这是标准差的公式：. [ (1/N) 乘(xi - mu)^2 从i. 开玩笑 ... 标准差公式 差的意思是离正常有多远 标准差 标准差是数值分散的测量。

你可能想先去阅读这个比较简单的标准差网页。

在这里我们会解释标准差的公式。

标准差的符号是σ（希腊语字母西格马，英语sigma）。

这是标准差的公式： 开玩笑！用人语来讲可以吗？ 好的。

逐步来。

假设我们有一些数值，像：9、2、5、4、12、7、8、11。

计算这些数值的标准差： 一、求数值的平均 二、从每一个数值减去平均，然后求差的平方 三、求结果的平均。

四、取平均的平方根。

就是这么简单！ 公式已经包括了这四步，下面我再具体解释。

公式说明 我们会用一些数值作为例子： 例子：森森有20棵蔷薇丛。

每棵丛上花的数目是 9、2、5、4、12、7、8、11、9、3、7、4、12、5、4、10、9、6、9、4 求标准差。

  一、求数值的平均 在上面的公式μ（希腊语字母"缪"，英语"mu"）是全部数值的平均…… 例子：9、2、5、4、12、7、8、11、9、3、7、4、12、5、4、10、9、6、9、4 平均是： 9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4 20 = 140 20 =7 所以： μ=7   二、从每一个数值减去平均，然后求差的平方 这是公式的这个部分： xi是什么意思？它们是个别的x值：9、2、5、4、12,7、…… 例如，x1=9,x2=2,x3=5等等 就是说："从每一个数值减去平均，然后求差的平方"，像这样 例子（续）： (9-7)2=(2)2=4 (2-7)2=(-5)2=25 (5-7)2=(-2)2=4 (4-7)2=(-3)2=9 (12-7)2=(5)2=25 (7-7)2=(0)2=0 (8-7)2=(1)2=1 ……等等…… 结果是：: 4、25、4、9、25、0、1、16、4、16、0、9、25、4、9、9、4、1、4、9   三、求结果的平均。

求平均：把所有的值加起来，然后除以值的个数。

先把上一步算出来的值加起来。

我们怎样用数学的语文来说："加起来"？我们用"西格马":Σ 这个简单的总和符号的意思是把项相加： 总和符号 我们想从1到N把数值加起来，N=20，因为有20个数值： 例子（续）： 这个的意思是：从(x1-7)2到(xN-7)2，把所有的数值加起来   在上一步我们已经计算了(x1-7)2=4等，所以我们只需把结果加起来： =4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9=178 这还不是平均值，我们要除以个数，就是乘以"1/N": 例子（续）： 平方差的平均=(1/20)×178=8.9 （注意：这叫"方差"）   四、取平方根： 例子（终）： σ=√(8.9)=2.983…… 大功告成！   样本标准差 慢着，还有一点…… ……有时我们的数据只是总体的一个样本。

例子：森森有20棵蔷薇丛，但她只数了6棵上的花！ "总体"是全部20棵蔷薇丛， 而"样本"是森森数的6棵。

假设森森的数据是： 9、2、5、4、12、7 我们可以估计标准差的值。

但当我们用样本作为总体的估计，标准差的公式变成这样： 样本标准差公式： 重要的改变是除以"N-1"，而不除以"N"（这叫"贝塞尔无偏估计校正系数"）。

我们也改变了符号，以显示数据是样本而不是总体： 平均变成x（代表样本平均），而不是μ（总体平均）， 答案是s（样本标准差），而不是σ。

但算法是一样的，不过用N-1而不用N。

  我们来计算样本标准差： 一、求数值的平均 例2：用样本值9、2、5、4、12、7 平均是(9+2+5+4+12+7)/6=39/6=6.5 所以： x=6.5   二、从每一个数值减去平均，然后求差的平方 例2（续）： (9-6.5)2=(2.5)2=6.25 (2-6.5)2=(-4.5)2=20.25 (5-6.5)2=(-1.5)2=2.25 (4-6.5)2=(-2.5)2=6.25 (12-6.5)2=(5.5)2=30.25 (7-6.5)2=(0.5)2=0.25   三、求结果的平均。

求平均，把所有的数值加起来，然后除以数值的个数。

慢着……我们是在计算样本标准差，所以我们不除以个数（N），而除以N-1 例2（续）： 和=6.25+20.25+2.25+6.25+30.25+0.25=65.5 除以N-1:(1/5)×65.5=13.1 （这叫"样本方差"）   四、取平方根： 例2（续）： s=√(13.1)=3.619…… 好了！ 比较 用总体来计算，结果是：平均=7，标准差=2.983…… 用样本，结果是：样本平均=6.5，样本标准差=3.619…… 样本平均的误差是7%，样本标准差的误差是21%. 为什么要用样本？ 主要是因为比较容易和便宜。

想象你想知道所有国民的想法……你不可能问上亿的人，所以你只问1,000个人。

有句名言（相传是英国文人塞缪尔·约翰逊讲的）： "你不需要吃掉整条牛来知道它的肉是韧的。

"  这就是取样本的精髓。

我们不需要看总体来知道它的资料（例如平均和标准差），我们只需要看样本。

可是，当我们取样本时，精确度便会降低。

  总结 总体标准差：   样本标准差：       平均准度和精度标准差计算器概率与统计学 版权所有©2017MathsIsFun.com