42102 我在幾何分析的個人經驗 - 中央研究院

我當時決定了未來的研究方向, 將嘗試結合非線性偏微分方程與幾何。

這說來容易, 實際執行就難了。

當時大多數幾何學家都非常滿意地進行局部代數計算, 但我不滿意 ... 42102我在幾何分析的個人經驗 數學傳播 傳播數學知識．促進數學教育 切換 首頁 歷年季刊 季刊公告▾ 稿約 訂閱資訊 勘誤 詩歌散文 數播線上 專訪 聯絡我們 Search 我在幾何分析的個人經驗 丘成桐,　 2018年3月(165) PDF 丘成桐 演講 幾何分析 微分幾何 極小曲面 三維拓樸 複幾何 單值化(Uniformization) 廣義相對論 黎曼幾何 Calabi-Yau流形 拓樸 曲率 Ricci曲率 數學物理 規範場論 CharlesMorrey JohnMilnor 蕭蔭堂 StephanSmale ShigefumiMori(森重文) EdwardWitten MikhailL.Gromov NigelHitchin WilliamThurston RichardSchoen KarenUhlenbeck SimonDonaldson KunihikoKodaira(小平邦彥) 消沒定理 Ricciflow RichardHamilton 非線性Monge-Ampére方程 CliffordTaubes FrancescoSeveri Calabi猜想 譚聯輝 ErichKähler 代數幾何 Diophantus RichardPalais Ricci流 RobertOsserman 鄭紹遠 IsadoreSinger 演講者:丘成桐院士 時間:民國106年8月1日 地點:天文數學館一樓國際會議廳 整理:編輯室 我的演講是理論科學中心成立二十週年的一項活動。

回溯22年前我和劉(兆玄)教授做過的討論,當時他是國科會主委。

自1991年他擔任新竹清華大學校長以來,我們一直是好朋友。

那年,我帶家人在台灣休假一年。

本來我的主要目的是要教兩個兒子中文,並且讓他們更了解斯土斯民。

但是,在那一年的講學中,我交了很多好朋友。

我很欣賞劉教授在清華大學校長任內展現的驚人行政能力。

他卸任清華大學校長職務後,擔任過交通部長及國科會主委。

他在國科學會主委任內,曾問我台灣是否應該向韓國某中心投資五十萬美元,該中心在楊振寧教授主導下甫成立。

我告訴他,就數學而言,我在台灣的同事至少和韓國的同事一樣好,而每年五十萬美元是項巨大金額(至少在當時)。

我建議他考慮在台灣設立一個中心,而不是向韓國捐款。

劉教授立即同意。

另一方面,劉教授認為,為了不讓楊教授覺得不安,中心應該有一個理論物理分部。

因此,NCTS有數學和物理兩個分部。

Berkeley,1969 NCTS創設於20年前。

創設中心並不容易。

多年來,數學的許多領域都在中心發展起來。

兩個值得注意的領域是幾何分析和數論。

前者由林長壽主導,後者由于靖和李文卿(WinnieLi)主導。

這次會議中KenRibet將主講數論,因此我的演講主題是幾何分析。

林長壽在這個領域做了很多有創意的工作。

但我將談談自己過去五十年的經歷。

我在離開香港抵達柏克萊後的第一年,寫了第一篇期刊論文。

那時EvansHall還沒蓋好,數學系在CampbellHall。

當時有一百多名教授,助理教授和訪問學者被安排在EvansHall前面的臨時木造建築物； 研究生沒有辦公室,但研究氣氛非常好。

我選了很多課。

但是我經常把我的書放在CampbellHall一樓圖書館的書桌上。

我常在圖書館附近出沒,瀏覽所有的書籍和期刊。

那個年代,期刊不多,因此可以翻閱大部分的期刊,雖然我對論文的細節不甚了解。

而在聖誕節的前一天,四下無人之際,我發現Milnor發表在JournalofDifferentialGeometry 的一篇論文,將局部幾何(由曲率描述)連結上大域幾何(由基本群(fundamentalgroup)描述)。

我對這篇廣為人知的論文很著迷,閱讀了論文的細節,並開始思考: 放鬆一些曲率條件會發生什麼。

閱讀Milnor推薦的參考文獻後,我成功地證明了一些有趣的東西； 我使用了無限群的一些理論。

該論文發表在AnnalsofMathematics。

始自這第一篇論文,我有強烈動機要了解大域幾何如何受到局部幾何影響。

JohnMilnor(1931$\sim$) 我在研究所一年級時,選了CharlesMorrey的課,研讀他剛完成的新書:MultipleIntegralsintheCalculusofVariations(變分法中的重積分)。

CharlesMorrey(1907$\sim$1984) 我所有的同學都抱怨Morrey的教學風格。

他們對Smale和Palais的大域分析研討會更感興趣。

他們的班級擠滿了人。

那對我來說也很有趣； 但是很快地,我意識到,總體來說,他們試圖藉由一些稱為條件C的假設,來避開關鍵的估計問題。

Smale(1930$\sim$) Palais(1931$\sim$) 我從Morrey的課堂了解為非線性偏微分方程建立估計的重要性。

非線性方程中的良好估計端賴熟練操作分析中的論證。

一旦發現最後的論證,它們往往看起來很簡單。

大多數學生認為這只是微積分,並不令人興奮。

他們不知道作者需要花費多少精力去弄清這些估計,而它們對非線性方程所約束的現象提供了深入的洞察。

不久之後,我意識到這些估計搭起了從局部訊息到大域訊息的橋樑。

它們可以經由最大值原理(maximumprinciple)或部分積分發現。

我跟著Morrey學了三個學期後,對非線性偏微分方程有了一些感覺。

在春季班,轟炸柬埔寨引發美國各地的巨大示威遊行, 大多數課程被取消。

我是Morrey班上唯一的學生。

課堂搬到他的辦公室,我們享受很多有趣的對話。

Morrey喜歡我,並建議我跟著他攻讀博士學位。

我相信他一生中只有一個博士生。

如果那時我跟了Morrey,研究生涯可能會有所不同。

但當時我已經寫了兩篇幾何的論文,不太願意從幾何轉換到非線性偏微分方程。

Minimalsurface 但是,Morrey對我的研究生涯有極為深刻的影響。

我當時決定了未來的研究方向,將嘗試結合非線性偏微分方程與幾何。

這說來容易,實際執行就難了。

當時大多數幾何學家都非常滿意地進行局部代數計算,但我不滿意。

我對Morrey的工作非常著迷,因為他為一般的黎曼流形解決了古典的Plateau問題,且對黎曼曲面的二維單值化(uniformization)定理提出了證明。

這是兩項雙變數非線性橢圓方程最具影響力的工作。

HasslerWhitney(1907$\sim$1989) 兩年後,我在普林斯頓IAS時,遇到了Whitney,他是當代微分拓樸的奠基者。

他告訴我,他在1940年代末開始研究封閉曲線的浸入(immersion)分類理論,以回應他的同學Morrey關於 Plateau問題的挑戰。

Whitney的理論被StephanSmale和MorrisHirsch推廣到更高維的流形。

Smale將球內部外翻的著名工作是這種浸入理論的一個特例。

不久之後,Gromov研究了淹沒(submersion)問題,並將其進一步推廣,稱之為h-原則。

雖然Douglas和Rado為歐氏空間解決了Plateau問題,且Morrey為一般黎曼流形解決了該問題,但仍有許多等待解答的問題。

一個重要的問題是:考慮Plateau問題的最小曲面解,其奇異點(singularity)可能具有什麼性質？ Courant起初認為該曲面可能會有分支點(branchpoint),但Osserman證明曲面其實是一個浸入。

這顯示了Plateau問題與浸入理論的相關性。

Courant(1888$\sim$1972)　　　　　　　　　　Osserman(1926$\sim$2011) WilliamThurston(1946$\sim$2012) 如果邊界曲線位於凸體(convexbody)的邊界上,Douglas-Morrey解是否為嵌入？ 這是一個懸而未決的問題。

Meeks和我在1977年使用拓樸工具解決了這個問題,而該工具源自Dehn'sLemma在三維拓樸中的解。

反過來,我們也可以使用最小曲面來解決3維流形拓樸中的重要問題。

結合Thurston的工作,Meeks-Yau的結果為三維球體上之有限群作用(finitegroupactions)解決了著名的Smith猜想(它們與線性作用共軛)。

雖然拓樸學家不時使用與最小曲面相關的方法,但是他們往往忘記那是我們草創的。

無論如何,我對單值化定理的興趣一直持續到現在。

第一個重要的問題是:何種情況下會有完備的拋物型流形？ 與陳省身(1911$\sim$2004)、鄭紹遠 因此,我花了很多時間嘗試證明Liouville定理:在Ricci曲率非負的條件下,流形不允許不為常數的正調和函數。

我花了大約兩年的時間找到梯度估計來完成證明。

梯度估計對我在幾何和分析的工作起著重要的作用。

它引導出我與鄭紹遠(Shiu-YuenCheng)關於特徵函數的工作,而我與李偉光(PeterLi)關於拋物型方程Li-Yau不等式的工作也源於此。

TedFrankel(1929$\sim$2017) 單值化定理的更高維推廣是我在研究所時期的研究重點。

我還是研究生時,TedFrankel已提出一個著名的猜想,推測雙截面曲率(bisectionalcurvature) 為正的緊緻Kähler流形與複投影空間(complexprojectivespace)是雙向全純同構(bi-holomorphic)的。

這個優美的猜想在Kobayashi和Ochiai的研討會上已進行了深入的討論。

但是我覺得整體情況應該包括以下兩個猜想: 雙截面曲率為正的完備非緊緻Kähler流形必定雙向全純同構於複歐氏空間${\BbbC}^n$, 曲率為負的緊緻Kähler流形必定被一個有界域($\Omega\subset{\BbbC}^n$)覆蓋。

與陳省身、Kobayashi(1932$\sim$2012)在日本 具强負曲率的單連通完備Kähler流形應有開浸入(openimmersion)將之映成到有界域。

我在柏克萊的第二年,完成了這個方案。

我先證明Ricci曲率非負的完備Kähler流形不容許不為常數的有界全純函數(boundedholomorphicfunctions),進而藉此結果取得一些進展。

在1975年多複變的Williamstown會議上,我針對這個方案給了演講。

與蕭蔭堂(1943$\sim$)、陸啟鏗(1927$\sim$2015) 我因此首次與蕭蔭堂(Yum-TongSiu)見面,他立即對這個方案感興趣。

我們開始處理簡單的情況,假設曲率衰減(decayofthecurvature)。

雖然結果不如我預期的那麼強,但它給出了一些構建峰值函數(peakfunctions)的方法。

我們使用最小曲面技巧,提出了Frenkel猜想的證明。

這裡我們需要使用高維曲面的第二變分(secondvariation)公式。

我們的處置是基於下述事實:黎曼曲面上的任何複向量叢(complexvectorbundle)都可以轉變成全純叢 (holomorphicbundle)。

其後MarioMicallef和JohnMoore將我們的方法用到其他問題上。

關於雙向全純同構於複歐氏空間之流形,我的猜想已接近完全解決。

諸如 ShigetoshiBando、 曹懷東(H.D.Cao)、WanxiongShi、AlbertChau、 譚聯輝(L.F.Tam)、 朱熹平(X.P.Zhu),陳兵龍(Bing-LongChen)和GangLiu等幾何學家都做出了重要貢獻。

假設流形的體積增長達到最大可能,GangLiu根據許多已經發展的結果,解決了這個猜想。

對於曲率為負的流形,實際上沒有任何進展,因為我們沒有辦法構建有界全純函數。

KunihikoKodaria(1915$\sim$1997) 我對單值化問題感興趣的原因是基於幾何分析的基本哲學: 幾何結構取決於由自身構造出的一些方程式的解。

因此,這種解的存在和參數化,對於了解基礎幾何結構起著重要的作用。

與黎曼幾何的情況相似,重要的是藉由拼接局部解來構建大域解。

這種建構的可能性,通常藉由一些障礙群(obstructiongroups)來描述。

使用基礎幾何結構所具有的曲率使障礙群消失,通常與Bochner和Kodaira提出的消沒定理(vanishingtheorem)的概念相關。

但是,Bochner-Kodaira的消沒定理與平方可積解所在的Hilbert空間更相關。

曲率為負的Kähler 流形之所以難於了解,在於從中難以藉由這些解構造有界解。

目前較高維度之單值化工作大部分依賴Hamilton的Kähler-Ricci流。

遺憾的是,除了黎曼曲面之外,Kähler-Ricci流不能很好地處理曲率為負的度量。

ShigefumiMori(1951$\sim$) 在上述的單值化方案中,我使用了截面曲率的概念。

在許多情況下,代數幾何會出現一個平行的「正」或「負」的概念。

例如,Mori能夠在代數幾何範疇證明Frenkel推測； 在代數幾何中,他用代數幾何學意義下的「正」切叢(positivityoftangentbundle)觀念來代替「正」曲率 (這被稱為Hartshore猜想)。

「負」雙截面曲率應由「負」切叢取代。

但是「雙截面曲率為負」似乎比「切叢為負」來得強。

BunWong做出例子,其中很多單連通的代數流形具有負切叢。

但迄今我們沒有任何例子是單連通、具負雙截面曲率的流形。

不難將這些問題推廣,以「非負」取代「正」,並用「Hermitian空間」取代「流形」。

一種門路是利用Hamilton關於Ricci流的工作。

RichardHamilton(1943$\sim$) 1971年,在我考慮用截面曲率處理複流形的單值化的同時,也有興趣用Ricci曲率代替截面曲率。

這是令人著迷的,因為代數流形的種類更豐富,潛在而最有趣的代數流形可以由它們構建出來。

當時我學了廣義相對論,對廣義相對論中Ricci曲率的意義印象深刻； 對於賴以建模的宇宙,Ricci曲率可以根據愛因斯坦方程提供物質張量。

而微分幾何學家已長期研究黎曼(有曲率的)環境中的愛因斯坦方程; 基於同樣神秘的原因,黎曼環境中的愛因斯坦方程,似乎比Lorentz環境提供更多平滑解。

自然地,我們也有三個重要的情況,取決於純量曲率的符號。

尋找Ricci曲率為零的緊緻流形的結構,讓我非常著迷。

我是研究生時,唯一已知例子的曲率張量為零。

我決心找到不涵蓋於歐氏空間的不尋常(non-trivial)例子。

我們試圖構建這樣的例子,最引人注目的空間是K3曲面。

1982與Atiyah(1929$\sim$),Hitchin(1946$\sim$)在Durham 有很長一段時間,我們很想知道K3曲面是否允許任何Ricci曲率為零的黎曼度量,而這只是下述問題的特殊情況:哪個Kähler流形容許Kähler-Einstein度量？ K3曲面非常特別,因為Hitchin觀察到,K3上純量曲率非負的度量必定是Ricci平坦及Kähler。

K3曲面是很好的測試流形,可用以回答Calabi猜想:在任何Kähler類裡,Kähler流形上的任何體積形式(volumeform),是否可以是某Kähler 度量的體積形式(的常數倍)？ 這可以轉化成複(complex)Monge-Ampère方程的求解問題,而這個方程可回溯至Kähler。

以Ricci曲率描述的代數流形單值化理論令人著迷,因為它們可被轉化為某非線性Monge-Ampère方程的求解問題。

與Calabi(1923$\sim$) Kähler(1906$\sim$2000) 實際上,Calabi的一部分觀察,是Kähler在第一篇關於Kähler幾何的著作(1932年)中做出的,在其中Kähler描述了Kähler-Einstein 度量如何可能滿足複Monge-Ampère方程。

實際上,Kähler注意到:Ricci張量定義了一個閉合的$(1,1)$形式(closed(1,1)-form)； 它是不變量,取決於流形的複結構。

這就是流形的第一陳氏類(firstChernclass)。

Kähler-Einstein度量的存在意味著:第一陳氏類必須與Kähler類成正比。

這為Kähler-Einstein度量的存在提供了一個重要的可積條件。

我在1970年冬天看到這個問題,當時沒有人認為這可能是對的,幾乎沒有幾何學家清楚知道如何在流形上證明存在定理。

大多數幾何學家都試圖給出Calabi猜想的反例,因為認為它太好了以致不像是對的。

上述Calabi猜想意味著,對於第一陳氏類為零的緊緻Kähler流形,在每個Kähler類中恰存在一個Ricci曲率為零的Kähler度量。

Calabi的問題讓我感到非常興奮, 不僅是因它符合我將單值化理論推廣到高維度Kähler流形的強烈企圖心,也源於我對廣義相對論裡愛因斯坦方程某個現象的極大興趣: 重力必定是由流形的拓樸結構所造成,而未必源自物質分布。

Calabi-YauManifold 後來,Candelas、Horowitz、Strominger和Witten將Ricci曲率為零的Kähler流形命名為Calabi-Yau流形。

最簡單的Calabi-Yau流形是橢圓曲線、abelian多樣體(varieties)和K3曲面。

數論學者和代數幾何學家已長期研究這些流形。

Calabi-Yau流形是這些流形的自然推廣。

之後,弦理論的發展,大大豐富了Calabi-Yau流形的整個課題,是運用古典手法無法預料到的。

FrancescoSeveri(1879$\sim$1961) 但在Calabi-Yau流形得到物理學家的關注之前,我已經能夠利用Kähler-Einstein流形的性質來解決代數幾何中的幾個重要問題。

一個非常重要的成果就是證明Severi猜測:在投影平面(projectiveplane)上只有一個複結構。

我差不多花了六年解決Calabi猜想(在我相信它是正確的之後)。

為了解決這個問題,我花了三年時間準備技術性的估計。

鄭紹遠和我發展了流形上的非線性分析。

我們把重點放在與實(real)Minkowski問題及仿射幾何(affinegeometry)相關的實(real)Monge-Ampère方程。

我相信這是一個轉捩點,幾何分析開始受到數學界關注。

在非常短的時間內,藉由非線性偏微分方程,解決了幾何中的幾個重要問題； 它們應該被視為幾何分析的主要發展。

顯著的進展是Sacks-Uhlenbeck關於最小二維球(minimaltwo-spheres)存在性的工作,Schoen-Yau 的正質量猜想的證明,Meeks-Yau對Dehn'sLemma的幾何版本的證明,Siu-Yau對Frenkel猜想的證明,及RichardHamilton對Ricci 流令人讚歎的工作。

所有這些工作基本上都在1970年代完成。

1980年代,由於Uhlenbeck,Taubes和Donaldson的工作,規範場論(gaugetheory) 在一般流形上的基本特性引起了關注。

Donaldson-Uhlenbeck-Yau證明了HermitianYang-Millsconnection在斜率穩定的(slope-stable)全純叢的的存在性。

Donaldson使用反自對偶(anti-self-dual)connections的模空間,為四維流形建立新的拓樸不變量。

Uhlenbeck(1942$\sim$) Taubes(1954$\sim$) Donaldson(1957$\sim$) 在1980和1990年代,當然有更多幾何分析方面的活動,特別是那些由物理和應用數學的想法啟發的工作。

一個顯著的發展是Witten在Morse理論的工作,激發了Floer,Fukaya等人的工作。

而Seiberg-Witten的工作已成為幾何和拓樸非常有威力的工具； 這工作部分奠基於CliffTaubes關於偽全純曲線(psudo-holomorphiccurves)的存在性結果。

流形的單值化理論一如既往令人興奮。

如果我們不假設度量為Kähler,則存在性理論變得困難,因為我們須處理非線性偏微分方程組。

愛因斯坦度量的大多數存在定理,或者可簡化為Kähler幾何,或者利用對稱約化(symmetryreduction),或者結合這兩種想法。

而CliffTaubes和DominicJoyce使用奇異擾動(singularperturbation)來構造有趣的度量。

但是,大多數以這種方式構建的愛因斯坦度量,具有非負純量曲率。

長期以來,不清楚是否有拓樸障礙,使Ricci曲率為負的度量存在,直到ZhiyongGao和我在三維球體上構造Ricci曲率為負的度量。

一下子,我們可以大量構造這些流形,因此我們認為我們已經對負Ricci曲率流形有根本的暸解,同時我認為維數大過2的任何流形都應該有 Ricci曲率為負的度量。

後面這個命題由Lochkamp證明了。

雖然有許多不同的曲率弱於Ricci曲率,但純量曲率是其中最重要的。

兩個最重要的研究方向是: Yamabe和Trudinger提出的Yamabe問題,已由Aubin和Schoen解決。

正純量曲率流形的分類很重要,但不完整。

這些與正質量猜想有關,依賴兩個重要工具: Lromnerowicz以旋量(spinor)做論證,Gromov-Lawson延續之。

另一個是Schoen-Yau奠基於穩定最小曲面的論證。

另外,基於$SU(2)$群作用,Lawson-Yau構建了純量曲率為正的度量。

1978年,在解決正質量猜測的過程中,Schoen-Yau觀察到:純量曲率為正的兩個流形的連通和(connectedsum),仍然允許純量曲率為正的度量。

緊接著,Schoen-Yau發現,在一個曲率為正的流形中,對餘維(codimension)為3的子流形進行手術(surgery)後,仍然允許如此的度量。

隨後,Gromov-Lawson聲稱同樣的結果； 而StephanStolz觀察到,在許多情況下,基於手術的拓樸結果,對正純量曲率流形的分類大有助益。

純量曲率為正的度量與廣義相對論之初始數據集合密切相關。

這關係是Schoen-Yau因解決Jiang方程而找到的。

初始數據集的完整參數化,對於理解愛因斯坦方程的相位空間,將是非常重要的。

RobertBartnik邁出非常重要的一步,但是仍然有很多等待進行的工作。

AdS/CFT(亦即anti-de-Sitter/conformalfieldtheories)的理論中也出現了純量曲率為正的度量。

我與Witten的論文中解釋了這類度量的重要性,是在漸近雙曲型的愛因斯坦流形之共形邊界(conformalboundary)討論。

這方向的大部分理論仍有待建構。

我簡要概述了:一部分的幾何分析,在發展過程中,如何與幾何、非線性偏微分方程及數學物理互動。

我個人的經驗是,這是一個極具深度的優美主題,幾乎涉及數學的所有分支。

---演講者丘成桐為哈佛大學講座教授--- fiber_new 近期簡介  前期簡介  歷年季刊 ✏ 稿約  訂閱及編者訊息