代數幾何- 維基百科，自由的百科全書

代數幾何（英語：algebraic geometry）是數學的一個分支，經典代數幾何研究多項式方程的零點。

現代代數幾何將抽象代數，尤其是交換代數，同幾何學的語言和問題結合起來 ... 代數幾何 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目需要擴充。

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陶里亞蒂曲面是一個五階代數曲面。

上圖代表曲面的其中一個實軌跡。

幾何學一個球面投射到一個平面。

綱要（英語：Outlineofgeometry）歷史（英語：Historyofgeometry） 分支（英語：Listofgeometrytopics） 歐幾里得 非歐幾里得 橢圓 球面 雙曲 射影 仿射 合成（英語：Syntheticgeometry） 解析 代數 算術幾何 微分 黎曼 辛幾何 離散微分（英語：Discretedifferentialgeometry） 有限 重合 概念特性維度 尺規作圖 角度 曲線 對角線 平行 垂直 頂點 全等 相似 對稱 零 /一維 點 直線 線段 射線 長度 二維 平面 面積 多邊形 三角形 Altitude 斜邊 邊長 勾股定理 平行四邊形 正方形 三角形 菱形 平行四邊形 四邊形 梯形 等腰梯形 箏形 圓形 直徑 周長 面積 三維 空間 多面體 體積 表面積 正多面體 凸正多面體 六面體 立方體 長方體 四角柱 平行六面體 幾何體 稜錐 圓錐體 稜柱 圓柱體 球體 直徑 體積與表面積 球缺 四維- /其他維度 多胞形 四維凸正多胞體 四維超正方體 超球體 幾何學家 按照姓名 會田安明 阿耶波多 Ahmes 海什木 阿波羅尼奧斯 阿基米德 阿蒂亞 Baudhayana 鮑耶 Brahmagupta Cartan Descartes 歐幾里得 歐拉 高斯 格羅莫夫 希爾伯特 Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám 克萊因 羅巴切夫斯基 Manava 閔可夫斯基 明安圖 帕斯卡 畢達哥拉斯 Parameshvara 龐加萊 黎曼 Sakabe Sijzi 圖西 維布倫 Virasena 楊輝 al-Yasamin 張衡 幾何學家列表 按照時期 公元前 Ahmes Baudhayana Manava 畢達哥拉斯 歐幾里得 阿基米德 阿波羅尼奧斯 1–1400年代 張衡 Kātyāyana 阿耶波多 Brahmagupta Virasena 海什木 Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi 楊輝 Parameshvara 1400–1700年代 Jyeṣṭhadeva Descartes 帕斯卡 明安圖 歐拉 Sakabe 會田安明 1700–1900年代 高斯 羅巴切夫斯基 鮑耶 黎曼 克萊因 龐加萊 希爾伯特 閔可夫斯基 Cartan 維布倫 現代 阿蒂亞 格羅莫夫 幾何學主題閱論編 代數幾何（英語：algebraicgeometry）是數學的一個分支，經典代數幾何研究多項式方程的零點。

現代代數幾何將抽象代數，尤其是交換代數，同幾何學的語言和問題結合起來。

代數幾何的基本研究對象為代數簇。

代數簇是由空間坐標的若干代數方程的零點集。

常見的例子有平面代數曲線，比如直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線、三次曲線（非奇異情形稱作橢圓曲線）、四次曲線（如雙紐線，以及卵形線）、以及一般n次曲線。

代數幾何的基本問題涉及對代數簇的分類，比如考慮在雙有理等價意義下的分類，即雙有理幾何，以及模空間問題，等等。

代數幾何在現代數學占中心地位，與多複變函數論、微分幾何、拓撲學和數論等不同領域均有交叉。

始於對代數方程組的研究，代數幾何延續解方程未竟之事；與其求出方程實在的解，代數幾何嘗試理解方程組的解的幾何性質。

代數幾何的概念和技巧都催生了某些最深奧的數學的分支。

進入20世紀，代數幾何的研究又衍生出幾個分支： 研究代數簇中，坐標在有理數域或代數數域里的點；這一分支發展成算術幾何（更經典地，丟番圖幾何），屬於代數數論的分支。

研究代數簇的實點，即實代數幾何。

奇點理論的一大部分致力於研究代數簇中的奇異點，及關於奇異點的解消的存在性和方法。

代數簇的上同調理論，如晶體上同調、平展上同調、以及Motive（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）上同調。

幾何不變量理論，起始於戴維·芒福德在二十世紀六十年代的研究，其思想起源於大衛·希爾伯特的古典不變量理論。

隨著計算機的興起，計算代數幾何作為代數幾何與符號運算兩支的交叉而嶄露頭角。

這一分支本質上包含開發算法和軟體與尋找顯代數簇的性質這兩項工作。

20世紀以來，代數幾何主流的許多進展都在抽象代數的框架內進行，越發強調代數簇「內蘊的」性質，即那些不取決於代數簇在射影空間的具體嵌入方式的性質，與拓撲學、微分幾何及復幾何等學科的發展相應。

抽象代數幾何的一大關鍵成就是格羅滕迪克的概形論；概形論允許人們應用層論研究代數簇，某種意義上與應用層論研究微分流形與解析流形是否相似。

概形論延伸了點的概念。

在經典代數幾何中，根據希爾伯特零點定理，一個仿射代數簇的一點對應於坐標環上的一個極大理想，仿射概形上的子簇則對應於坐標環的素理想。

而在概型論中，概型的點集包含了經典情況代數簇的點集，以及所有子簇的信息。

這種方法使得經典代數幾何（主要涉及閉點）同時聯繫起了微分幾何、數論等主流分支的問題研究。

目次 1基本概念 1.1聯立多項式的零點 1.2仿射簇 2與拓撲場論的關係 3主要研究者 4註解 5參見 6參考書目 基本概念[編輯] 聯立多項式的零點[編輯] 球和傾斜的圓周 在古典代數幾何中，主要的研究對象是一組多項式的公共零點集，即同時滿足一個或多個多項式方程的所有點組成的集合。

例如，在三維歐幾里德空間 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 中的單位球面被定義為滿足方程 x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 {\displaystylex^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0} 的所有點 ( x , y , z ) {\displaystyle(x,y,z)} 的集合。

一個"傾斜的"圓周在三維歐幾里德空間 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 中可以被定義為同時滿足如下兩個方程 x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 {\displaystylex^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0} ， x + y + z = 0 {\displaystylex+y+z=0} 的所有點 ( x , y , z ) {\displaystyle(x,y,z)} 的集合。

仿射簇[編輯] 主條目：代數簇 現在我們開始進入稍微抽象的領域。

考慮一個數域 k {\displaystylek} ，在古典代數幾何中這個域通常是複數域 C {\displaystyle\mathbf{C}} ，現在我們把它推廣為一個代數封閉的數域。

我們定義數域 k {\displaystylek} 上的 n {\displaystylen} 維仿射空間 A k n {\displaystyle{\mathbb{A}}_{k}^{n}} ，簡單講來，它只是一些點的集合，以下為方便我們簡記為 A n {\displaystyle{\mathbb{A}}^{n}} 。

如果函數 f : A n → A 1 {\displaystylef:{\mathbb{A}}^{n}\to{\mathbb{A}}^{1}} 可以被寫為多項式，即如果有多項式 p {\displaystylep} 在 k [ x 1 , ⋯ , x n ] {\displaystylek[x_{1},\cdots,x_{n}]} 上， 使得對 A n {\displaystyle{\mathbb{A}}^{n}} 上的每個點 ( t 1 , ⋯ , t n ) {\displaystyle(t_{1},\cdots,t_{n})} 都有 f ( t 1 , ⋯ , t n ) = p ( t 1 , ⋯ , t n ) {\displaystylef(t_{1},\cdots,t_{n})=p(t_{1},\cdots,t_{n})} ，定義這個函數是正則的。

n {\displaystylen} 維仿射空間的正則函數正是數域 k {\displaystylek} 上 n {\displaystylen} 個變量的多項式。

我們將 A n {\displaystyle{\mathbb{A}}^{n}} 上的正則函數記為 k [ A n ] {\displaystylek[{\mathbb{A}}^{n}]} 。

與拓撲場論的關係[編輯] 拓撲場論是數學物理中對sigma模型（英語：Sigmamodel）的場做路徑積分量子化的理論。

sigma模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射，再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。

其中映射部份被稱爲玻色場（英語：bononicfield），截面部份被稱爲費米場。

該理論的主要目的是通過路徑積分計算配分函數。

在一些特殊情況下，可以用局部化方法把配分函數原在無限維空間的積分化簡爲在有限維空間的積分。

對不同的作用量而言，這個過程給出了代數幾何的幾種計數理論，包括： GromovWitten不變量（即IIA型弦論） 辛流形裡的全純曲線計數 SeibergWitten不變量 ChernSimon數規範場 IIB型弦論則利用了Hodge結構的形變來計算。

主要研究者[編輯] 亞歷山大·格羅滕迪克 讓-皮埃爾·塞爾 奧斯卡·扎里斯基 安德烈·韋伊 米高·弗朗西斯·阿蒂亞 愛德華·威滕 小平邦彥 森重文 廣中平祐 梅村浩 飯高茂 斎藤秀司 周煒良 註解[編輯] 參見[編輯] 微分幾何 幾何代數（英語：Geometricalgebra） 代數拓樸 微分拓樸 參考書目[編輯] 經典教科書，先於概形: W.V.D.Hodge;DanielPedoe.MethodsofAlgebraicGeometry:Volume1.CambridgeUniversityPress.1994.ISBN978-0-521-46900-5. 引文使用過時參數coauthors(幫助) Hodge,W.V.D.;Pedoe,Daniel.MethodsofAlgebraicGeometry:Volume2.CambridgeUniversityPress.1994.ISBN978-0-521-46901-2. 引文使用過時參數coauthors(幫助) Hodge,W.V.D.;Pedoe,Daniel.MethodsofAlgebraicGeometry:Volume3.CambridgeUniversityPress.1994.ISBN978-0-521-46775-9. 引文使用過時參數coauthors(幫助) 不使用概形的語言的現代教科書: PhillipGriffiths;JoeHarris.PrinciplesofAlgebraicGeometry.Wiley-Interscience.1994.ISBN978-0-471-05059-9. 引文使用過時參數coauthors(幫助) JoeHarris.AlgebraicGeometry:AFirstCourse.Springer-Verlag.1995.ISBN978-0-387-97716-4.  DavidMumford.AlgebraicGeometryI:ComplexProjectiveVarieties2nded.Springer-Verlag.1995.ISBN978-3-540-58657-9. 引文格式1維護：冗餘文本(link) MilesReid.UndergraduateAlgebraicGeometry.CambridgeUniversityPress.1988.ISBN978-0-521-35662-6.  IgorShafarevich.BasicAlgebraicGeometryI:VarietiesinProjectiveSpace2nded.Springer-Verlag.1995.ISBN978-0-387-54812-8. 引文格式1維護：冗餘文本(link) 關於概形的教科書和參考書: DavidEisenbud;JoeHarris.TheGeometryofSchemes.Springer-Verlag.1998.ISBN978-0-387-98637-1. 引文使用過時參數coauthors(幫助) 亞歷山大·格羅滕迪克.代数几何基础.Publicationsmathématiquesdel'IHÉS.1960.  亞歷山大·格羅滕迪克.代数几何基础12nded.Springer-Verlag.1971.ISBN978-3-540-05113-8. 引文格式1維護：冗餘文本(link) RobinHartshorne.AlgebraicGeometry.Springer-Verlag.1997.ISBN978-0-387-90244-9.  DavidMumford.TheRedBookofVarietiesandSchemes:IncludestheMichiganLectures(1974)onCurvesandTheirJacobians2nded.Springer-Verlag.1999.ISBN978-3-540-63293-1. 引文格式1維護：冗餘文本(link) IgorShafarevich.BasicAlgebraicGeometryII:SchemesandComplexManifolds.Springer-Verlag.1995.ISBN978-0-387-54812-8.  網際網路上的資料: KevinR.Coombes:AlgebraicGeometry:ATotalHypertextOnlineSystem AlgebraicgeometryentryonPlanetMath（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） AlgebraicEquationsandSystemsofAlgebraicEquations（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）atEqWorld:TheWorldofMathematicalEquations 閱論編幾何學術語點 頂點 交點 中點 角 極值點 最值點 臨界點 駐點 鞍點 直線和曲線 線段 射線 直線 切線 （主）法線 副法線 曲線 圓錐曲線 雙曲線 拋物線 正弦曲線 螺線（阿基米德螺線、等角螺線……） 擺線（最速降線問題） 懸鏈線 曳物線 漸開線 漸屈線 漸近線 測地線 邊 周界 弦 弧 垂直平分線 二次曲線 代數曲線 橢圓曲線 超橢圓 星形線 三尖瓣線 方圓形 勒洛三角形 平面圖形 圓（廣義圓） 橢圓 扇形 弓形 環形 多邊形 三角形 四邊形 五邊形 六邊形 多邊形 正多邊形 梯形 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 鷂形 卵形線 梭形 星形 五角星 六角星 立體圖形 多面體 正多面體 四面體 長方體 立方體 平行六面體 稜柱 反稜柱 稜錐 稜台 圓柱體 圓錐 圓台 橢球（長球體、扁球體） 球體 球缺 球冠 球檯 準線 母線 曲面 二次曲面 旋轉曲面 拋物面 雙曲面 馬鞍面 球面 橢球面 類球面 環面 莫比烏斯帶 流形 黎曼曲面 高維空間 超平面 超面 超曲面 胞 多胞形 超球體 超方形 超立方體 克萊因瓶 四維柱體柱 圖形關係 相似 全等 對稱 平行 垂直 相交 相切 相離 鏡像 旋轉 反演 截面 縮放 三角形關係 相似三角形 全等三角形 量 距離 長度 周長 弧長 高度 面積 表面積 體積 容積 角度 曲率 撓率 離心率 凹凸性 有向曲面 可展曲面 直紋曲面 作圖 尺 直尺 三角尺 圓規 尺規作圖 二刻尺作圖 分支 平面幾何 立體幾何 三角學 解析幾何 微分幾何 拓撲學 圖論 摺紙數學 歐幾里得幾何 非歐幾里得幾何（雙曲幾何、球面幾何……） 分形 理論 定理 公理 定義 數學證明 分類 主題 共享資源 專題 閱論編數學（數學領域） 歷史 綱要（英語：Outlineofmathematics） 符號表 數學基礎 範疇論 集合論 數理邏輯 數學哲學 代數 抽象代數 初等代數 線性代數 多重線性代數 泛代數 數學分析 微積分 實變函數 複變函數 微分方程 泛函分析 調和分析 離散數學 組合數學 圖論 序理論 博弈論 幾何學 代數幾何 解析幾何 微分幾何 離散幾何學 歐幾里得幾何 非歐幾里得幾何 有限幾何學 數論 算術 代數數論 解析數論 幾何數論 算術幾何 丟番圖幾何 拓撲學 代數拓撲 微分拓撲 幾何拓撲 統計學 測度與概率 數理統計學 數據科學 統計推斷 迴歸分析 統計學習理論 機器學習 人工智慧 資料結構與算法 計算數學 計算機科學 計算理論 數值分析 最優化 計算機代數 應用數學 控制論 資訊理論 計算化學 數理生物學 數理經濟學 計量經濟學 數理金融學 數學心理學 數學物理學 生物統計學 其它 數學史 娛樂數學 數學與藝術（英語：Mathematicsandart） 數學教育 注釋 數學的領域也可根據「MSC分類標準」或「中國學科分類國家標準」進行分類。

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