歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common ...

Posted on 2011/03/31 in 坐標幾何（平面與空間）, 幾何, 數學 with 歐幾里 ... 同時，由於這些設準的目的，並非構建某些幾何學基本概念的存在性或意義，因此，它們亦 ... Friday23rdSeptember2022 23-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（PostulatesandcommonnotionsinEuclid’sElements） 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 設準與公理之別已經不見於今日數學，不過，釐清它們將可大大地幫助我們進入歐幾里得的幾何世界之中。

  現代數學的公設主義源自古希臘歐幾里得的《幾何原本》。

因此，吾人若有意體會數學公設系統之精神，那麼，好好地研讀這一本流傳僅次於《聖經》的經典作品，向歐幾里得大師學習，的確是不二法門。

《幾何原本》以下列五個設準（postulate）作為基礎：設定下面敘述成為準則： 從任何一點到任何一點可畫一直線。

且一條有限直線可以持續地延長。

且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。

且凡直角都相等。

且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後(ifproducedindefinitely)，會在內角小於兩直角的那一側相交。

設準II到IV的第一個字「且」，是連接「設定下面敘述成為準則」(Letitbepostulated)這個省略的句子)。

事實上，這也是很多讀者（含數學家或科普作者）經常忽略的一句話，因為如此一來，他們顯然無法理解設準與公理（或共有概念）之區別，連帶地，第V設準與非歐幾何（non-Euclideangeometry）之古希臘聯繫，也變得比較不可思議。

再看設準的內容。

設準I說明了任一個點，可透過所謂的線段與任何其它的點連接。

設準II指的是，任一個線段可以不斷地延長。

而此延長的結果，也代表可生成較長的線段。

再根據相同的設準，此一較長的直線仍可重複地延長。

我們知道設準之中「直線」一詞所對應的，是現代所謂的「線段」之概念，而「直線」這個概念所意指的無限直線之概念，並未在設準出現，但它的存在性卻隱含在設準II之中。

按現代的術語改寫，設準I與設準II的內容可綜合如下：過任意兩點可畫一直線，任一條直線都是無限長的。

設準III所敘述的，是圓的存在性，並且，一個圓是由給定的圓心與半徑所決定。

我們將設準I到設準III與亞里斯多德的「特殊概念」（specialnotion）作一比較。

根據亞里斯多德的看法，基本概念的存在性必需利用特殊概念來設定。

設準I至設準III可視為說明線段、直線與圓(現代的概念)等基本概念存在性的特殊概念。

雖然點的存在性並沒有明確地敘述，但歐幾里得顯然接受它的存在性。

設準VI與V的形式明顯與前三個設準大不相同，歐幾里得為什麼要將這五個設準放在一起之相關問題，也引發了討論。

設準I至設準III皆是說明存在性的設準，因此，它們符合亞里斯多德關於特殊概念的想法。

但這並不適用於設準IV與設準V。

在設準IV之中，他並未說明直角的存在性，然而，我們卻被要求假設所有的直角都會相等。

在設準V之中，我們也被要求必須接受滿足某些條件的兩條直線，會有一個交點。

就設準IV與設準V而言，它們並不屬於「共有概念」（commonnotion），因為它們完全屬於幾何學的範疇。

同時，由於這些設準的目的，並非構建某些幾何學基本概念的存在性或意義，因此，它們亦不是特殊概念。

如果歐幾里得完全依循亞里斯多德的觀點，他將必須屏除設準IV與設準V。

令人費解的是，他又為何執意加入這兩個設準呢？答案很簡單，若不接受設準IV與設準V，吾人將無從建立起他的平面幾何系統。

另一方面，則是由於他找不到適當的證明方法，來論證設準IV與設準V這兩個幾何事實為真。

所以，他別無選擇地接受它們為真。

又因為它們是不經證明即被接受的特定幾何學性質(並且不被用應到幾何學以外)，因此，將它們並列於其它設準之中，也是合理的。

因此，我們可以將歐幾里得所列舉的設準分為兩類： 存在性設準，其中假設了某種基本概念的存在性（I到III）； 用來假設幾何圖形具有某種特定性質的相關設準（IV和V）。

另一方面，我們再回顧亞里斯多德有關演繹科學（inductivescience）之要件：他認為除了設準之外，一個演繹科學應該奠基於共有概念(commonnotions)或公理(axioms)。

正如同我們所熟知，這些共有概念，並不單只是底蘊在某個特別科學而已，而是構成所有演繹思維的基礎。

為了呼應亞里斯多德，歐幾里得也以共有概念作為出發點，如下所列： 等於同量的量彼此相等。

等量加等量，其和相等。

等量減等量，其差相等。

能重合的物，彼此相等。

全體大於部份。

從上述的基礎開始，歐幾里得建立了《幾何原本》的幾何結構。

為此，他試著滿足亞里斯多德的要求：1.每個新的敘述句必需被證明；2.每個新的概念都必需被定義，更進一步地，其存在性也必需被證明。

為了理解歐幾里得的苦心造詣，讀者不妨試著研讀《幾何原本》第I冊的四十八個命題，其中主要處理了三角形的全等、平行線與面積，最終以畢氏定理和其逆定理為本冊作結。

有關共有概念或公理，還有一件事值得特別在此提醒。

由於這些假設為所有亞里斯多德的演繹科學所「共有」，不能為幾何學所專擅，因此，讀者應該可以讀出其中所使用術語或名詞如同量、等量、重合的物、全體以及部分等等，都不是幾何名詞，甚至都不是數學名詞（mathematicalterm）。

無怪乎現代數學家希爾伯特（DavidHilbert）不會將這些納入他的《幾何學基礎》（FoundationofGeometry,1899）的公理系統之中。

數學知識離不開社會文化脈絡，歐幾里得刻意區別設準與共有概念之進路，為我們現代人提供了最好的見證！ 參考書目： Bunt,LucasN.H.,PhillipS.Jones,JackD.Bedient(1988).TheHistoricalRootsofElementaryMathematics.NewYork:DoverPublications,INC. Heath,ThomasL.(1956).ThirteenBooksofEuclid’sElements.NewYork:DoverPublications,INC 比爾‧柏林霍夫/佛南度‧辜維亞(2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。

Tags:公理,幾何原本,歐幾里得,設準 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

必要欄位標記為*迴響名稱* 電子郵件* 個人網站 驗證問題* 8+=12 熱門文章 細胞膜運輸物質的方式 點到直線的距離公式 母體變異數v.s.樣本變異數 細胞膜的構造 理想氣體方程式 測微器 同素異形體（Allotropes） 道耳吞(Dalton)的原子論 次數分配與其圖表 無偏性、有效性及一致性 總點閱排行 點到直線的距離公式 細胞膜運輸物質的方式 比爾定律與吸收度 混成軌域 準確度和精確度 腎素-血管收縮素-醛固酮系統 穿透式電子顯微鏡 好站鏈接 科學online粉絲專頁 Insertmathas Block Inline Additionalsettings Formulacolor Textcolor #333333 FormulaID Formulaclasses TypemathusingLaTeX Preview \({}\) Nothingtopreview Insert