希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（Formalism and David ...

希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（Formalism and David Hilbert's Foundations of Geometry） · 在本書中，一個給定的公設系統之相互獨立性(mutual ... Friday23rdSeptember2022 23-Sep-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（FormalismandDavidHilbert’sFoundationsofGeometry） 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯 一般人若對於數學哲學流派中的形式主義（formalism）感興趣，那麼，最值得參考的經典文獻，莫過於希爾伯特（DavidHilbert,1862-1943）的《幾何學基礎》（TheFoundationsofGeometry）。

這本書源自哥廷根大學1898-1899年冬季班有關歐氏幾何課程的教材。

在英譯本的前言中，譯者E.J.Townsend指出本書有下列五個特點： 在本書中，一個給定的公設系統之相互獨立性(mutualindependence)與相容性（compatibility）藉助於新幾何系統之引進，而得以完全地討論。

歐氏幾何的最重要命題在本書中被演示，以致於可精確地顯現其中底蘊的公設以及此一演示（demonstration）如何可能。

在本書中，全等公設（axiomsofcongruence）被引進而成為幾何位移（geometricdisplacement）的定義之基礎。

在歐氏幾何的發展中，許多最重要的公設和定理之意義被清楚地顯現，例如，本書證明整個歐氏幾何學不須運用連續性公設（axiomofcontinuity）也可以發展起來；又如笛沙格定理（Desargues’stheorem）作為給定平面幾何可被視為空間幾何一部份的一個條件之意義，也被凸顯出來等等。

在本書中，線段的好幾種代數（avarietyofalgebrasofsegments）以符合算術律的方式被引進。

如果不深入研讀本書，上述這五點恐怕很難體會。

不過，正如前述，要想認識或體會形式主義，則本書第1章第1節實在非常「經典」(classical)，值得引述如下： §I.THEELEMENTSOFGEOMETRYANDTHEFIVEGROUPSOFAXIOMS. Letusconsiderthreedistinctsystemsofthings.Thethingscomposingthefirstsystem,wewillcallpointsanddesignatethembythelettersA,B,C,.…;thoseofthesecond,wewillcallstraightlinesanddesignatethembythelettersa,b,c,.…;designatethembytheGreeklettersα,β,γ,.…Thepointsarecalledtheelementsoflineargeometry;thepointsandstraightlines,theelementsofplanegeometry;andthepoints,lines,andplanes,theelementsofthegeometryofspaceortheelementsofspace.Wethinkofthesepoints,straightlines,andplanesashavingcertainmutualrelations,whichweindicatebymeansofsuchwordsas“aresituated,”“between,”“parallel,”“congruent,”“continuous,”etc.Thecompleteandexactdescriptionoftheserelationsfollowsasconsequenceoftheaxiomsofgeometry.Theseaxiomsmaybearrangedinfivegroups.Eachofthesegroupsexpresses,byitself,certainrelatedfundamentalfactsofourintuition.Wewillnamethesegroupsasfollows: 1-7.Axiomsofconnection. 1-5.Axiomsoforder. Axiomofparallels(Euclid’saxiom). 1-6.Axiomofcongruence. Axiomofcontinuity(Archimedesaxiom). 在上述引文中，希爾伯特所考慮的「事物」（thing）的三個相異系統，後來被他分別稱為點、直線和平面。

這些事物如點(point)、直線(straightline)、平面(plane)，隨即被希爾伯特稱為幾何學的元素(element)。

然後，他又接著指出說：「我們認為這些點、直線和平面，具有某些相互關係，而我們是藉由有如下列『位於』、『在（兩者）之間』、『平行的』、『全等的』、『連續的』等文字來指出。

至於這些關係的一個完備的、確當的描述，則是幾何公設推演的結果。

」 正如上引，希爾伯特將這些公理分為五群，各自表示了「我們直觀的某些基本事實。

」所謂「事物」的提法，令人想出歐幾里得在他的《幾何原本》（TheElements）中「共有概念」（或公理）（commonnotions）中的「事物」(thing)： Thingswhichareequaltothesamethingarealsoequaltooneanother. Ifequalsbeaddedtoequals,thewholesareequal. Ifequalsbesubtractedfromequals,theremaindersareequal. Thingswhichcoincidewithoneanotherareequaltooneanother. Thewholeisgreaterthanthepart. 不過，這些並非希爾伯特的關注興趣所在。

因為他所指的歐幾里得平行公理是：(Euclid’saxiom)：“InaplaneαtherecanbedrawnthroughanypointA,lyingoutsideofastraightlinea,oneandonlyonestraightlinewhichdoesnotintersectthelinea.ThisstraightlineiscalledtheparalleltoathroughthegivenpointA.” 這一公理當然與歐幾里得《幾何原本》中的第五設準(postulate)等價：「同平面內任一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩側內角的和小於兩個直角，這兩條線經任意(indefinitely)延長後在這一側相交。

」(That,ifastraightlinefallingontwostraightlinesmaketheinterioranglesonthesamesidelessthantworightangles,thetwostraightlines,ifproducedindefinitely,meetonthatsideonwhicharetheangleslessthanthetworightangles.) 同時，我們也不應該忘記：在這五條設準之前，有共同的一句話：「令下列被假設成立」(Letthefollowingbepostulated)－其實，這也解釋了英文版的第五設準前何以出現英文字“That”。

相反地，在「共有概念」之前，就無此規範了。

可見，對於歐幾里得而言，共有概念與設準是不一樣的公設或公理。

但是，對於現代數學而言，那五個共有概念已經沒有意義了。

至於所謂的「事物」是否存在，當然不須「操煩」，因為形式主義原來就主張數學不過是一種沒有意義的符號遊戲罷了(Mathematicsisasymbolicgamewithoutmeaning.)。

既然如此，學習數學本身又如何賦予意義呢？這是形式主義的永恆困境，當然無法解決。

希爾伯特原來滿心期待他可以解決完備性（completeness）問題，以便至少在結構上對數學知識本質賦予意義，不幸，由於哥德爾(Godel)的不完備定理(incompletenesstheorem)，而讓他功敗垂成。

參考書目： 比爾‧柏林霍夫、佛南度‧辜維亞(2008).《溫柔數學史》(MaththroughAges:AGentleHistoryforTeachersandOthers)，台北：博雅書屋。

莫理斯‧克萊因(2004).《數學：確定性的失落》(Mathematics:TheLossofCertainty)，台北：台灣商務印書館。

哈爾‧赫爾曼(2009).《數學恩仇錄》(GreatFeudsinMathematics:TenoftheLiveliestDisputesEver)，台北：博雅書屋。

阿波斯托羅斯等(2010).《數學邏輯奇幻之旅》(Logicomix:AnEpicSearchforTruth)，台北：繁星多媒體公司。

高瑞夫、哈托許(2009).《爺爺的證明題》(ACertainAmbiguity:AMathematicalNovel)，台北：博雅書屋。

Euclid(1956).TheThirteenBooksofTheElementsVol.1(translatedwithintroductionandcommentarybySirThomasL.Heath).NewYork:DoverPublications,INC. Hilbert,David(1902/1965).TheFoundationsofGeometry(translatedbyE.J.Townsend).TheOpenCourtPublishingCo. Tags:不完備定理,哥德爾,希爾伯特,幾何學基礎,形式主義,歐氏幾何 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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