教學活動3 - 育成專案國小數學

活動3：質因數分解法求兩數的最小公倍數. 1. 12＝2×2×3，20＝2×2×5，[12、20]＝？ 說說看，你怎樣算出答案？ 小明：12和20的乘積(12×20＝240)一定是12 ... KWSLEARN首頁三年級數學四年級數學五年級數學六年級數學團隊成員 教學活動3 活動3：質因數分解法求兩數的最小公倍數 1.12＝2×2×3，20＝2×2×5，[12、20]＝？ 說說看，你怎樣算出答案？ 小明：12和20的乘積(12×20＝240)一定是12和20的公倍數，因此只要找240以內的數就可以得到12和20的最小公倍數。

12的倍數：12，24，36，48，60，72，84，96，108，120，132，144，156， 168，180，192，204，216，228，240。

20的倍數：20，40，60，80，100，120，140，160，180，200，220，240。

12和20的公倍數：60，120，180。

12和20的最小公倍數：60 小華：我先由小到大依序寫出12的倍數，再判斷它們是否為20的倍數，就可以得到12和20的最小公倍數。

12的2倍是24，24不是20的倍數，12的3倍是36，36不是20的倍數，12的4倍是48，48不是20的倍數，12的5倍是60，60是20的倍數，所以60是12和20的最小公倍數。

小英：因為20比12大，所以我先由小到大依序寫出20的倍數，再判斷它們是否為12的倍數，就可以更快的得到12和20的最小公倍數。

    20的2倍是40，40不是12的倍數，20的3倍是60，60是12的倍數，所以60是20和12的最小公倍數。

  你同意他們的說法嗎？為什麼？  &教學錦囊： 12＝2×2×3 20＝2×2 ×5 l   將質因數分解算式中相同的質因數排在一起，看著上面質因數分解的算式，我就知道最小公倍數是2×2×3×5。

l   判斷『2×2×3』的幾倍會是20的倍數，『2×2×3』最少再乘以『5』就會是20的倍數， 所以12和20的最小公倍數是『2×2×3×5』。

我也可以判斷『2×2×5』的幾倍會是12的倍數，『2×2×5』最少再乘以『3』就會是12的 倍數，所以12和20的最小公倍數是『2×2×5×3』。

這種求最小公倍數的方法，數學上稱之為質因數分解法。

    2.18＝2×3×3 30＝2×3 ×5 看著上面質因數分解的算式，你能直接寫出18和30的最小公倍數嗎？ 說說看，你怎麼知道你的答案是正確的？     小明：我判斷「2×3×3」的幾倍會是30的倍數，「2×3×3」最少再乘以「5」就會是30的倍數，所以18和30的最小公倍數是『2×3×3×5』。

小華：我判斷「2×3×5」的幾倍會是18的倍數，「2×3×5」最少再乘以「3」就會是18的倍數，所以18和30的最小公倍數是『2×3×5×3』。

你同意他們的說法嗎？為什麼？     3.  a＝2×2×3×5 b＝ 2×3×5×7×11 看著上面質因數分解的算式，你能直接寫出a和b的最小公倍數嗎？ 說說看，你怎麼知道你的答案是正確的？     小明：我判斷「2×2×3×5」的幾倍會是b的倍數，「2×2×3×5」最少再乘以「7×11」就會是b的倍數，所以a和b的最小公倍數是『2×2×3×5×7×11』。

小華：我判斷「2×3×5×7×11」的幾倍會是a的倍數，「2×3×5×7×11」最少再乘以「2」就會是a的倍數，所以a和b的最小公倍數是『2×3×5×7×11×2』。

你同意他們的說法嗎？為什麼？ &教學錦囊： a＝2×2×3×5                  b＝ 2×3×5×7×11                         l   將質因數分解算式中相同的質因數排在一起，看著上面質因數分解的算式，我就知道最小公倍數是2×3×5×2×7×11。

l   將質因數分解算式中相同的質因數乘積2×3×5排在一起。

2×2×3×5再乘7×11就是a 和b的最小公倍數，我將最小公倍數整理成2×3×5×2×7×11，發現最小公倍數就是共同 質因數的乘積2×3×5再乘以a中剩下的質因數2及b中剩下的質因數7和11。

所以a、b的最小公倍數是共同質因數的乘積2×3×5，再乘上不是共同質因數的乘積 2×7×11，也就是2×3×5×2×7×11。

    4.使用質因數分解法算算看： [72，48]＝？   A:144 [60，150]＝？  A:300     5.[18，30]＝？ 沒有寫出30和24質因數的連乘積，                                                         2）18 30 直接用右邊的方法算出答案，                                                                          3）9 15 你能看懂這個算法嗎？                                                                                                           3  5   :（3和5互質）  最小公倍數：2×3×3×5   6.比對看看，下面這兩種算法，有那些地方相同，有那些地方不相同？ 18＝2×3×3                     2）18 30            30＝2×3 ×5                     3）9 15    [18、30]＝2×3×3×5                        3  5 `:（3和5互質）                                                     [18、30]＝2×3×3×5 為什麼這兩種方法算出來的答案都一樣？ 你喜歡那一種算法？為什麼？       &教學錦囊： l   左邊的方法是把18和30分別做質因數分解，先找出共同質因數的乘積2×3，再乘上不是共同的質因數3和5，得到最小公倍數是2×3×3×5。

l   右邊的算法是先找出18和30共同的質因數2，再找出18和30共同的質因數3，最後發現3和5互質，其中的3是18中剩下的質因數，5是30中剩下的質因數，也就是18和30沒有其它共同的質因數了，所以共同質因數的乘積2×3，再乘上不是共同質因數的乘積5×7就是18和30的最小公倍數。

所以最小公倍數是2×3×3×5。

l   數學上稱右邊求最小公倍數的方法為短除法。

      7.比對看看，下面這兩種算法，有那些地方相同，有那些地方不相同？                    2）18 30                              6）18 30 3）9 15                                        3  5 `:（3和5互質）3   5 ]（3和5互質）           最小公倍數：6(2×3)×3×5        最小公倍數：2×3×3×5 為什麼這兩種方法算出來的答案都一樣？ 你喜歡那一種算法？為什麼？       &教學錦囊： l   左邊是小明的算法，小明分別找出18和30的共同的質因數2和3，以及18中不是共同質因數3及30中不是共同質因數5，算出2×3×3×5就是18和30的最小公倍數。

l   右邊是小華的算法，小華找的6不是18和30的質因數，為什麼小華也能算出正確的答案？       8.比對看看，下面這兩種算法，有那些地方相同，有那些地方不相同？                    2）18 30                                                         6）18 30 3）9 15                                               3  5 ：(3和5互質）         3  5 ：（3和5互質）        最小公倍數：6(2×3)×3×5       最小公倍數：2×3×3×5 為什麼這兩種方法算出來的答案都一樣？ 你喜歡那一種算法？為什麼？ &教學錦囊： l   小明(左邊)的算法是先找出18和30共同的質因數2，再找出30和24共同的質因數3，發現5和4互質後，得到2×3×3×5是18和30的最小公倍數。

l   小華(右邊)知道2×3＝6，也知道6是18和30的公因數，因此把找出共同的質因數2和找出共同的質因數3的兩個步驟，摘要的記成一個算式。

也就是說，小華找出的因數6，是先找出質因數2，再找出質因數3，再算出2×3＝6的意思。

    9.用質因數分解法和短除法算算看，[420，198]＝？  說說看，你怎麼知道你的答案是正確的？   質因數分解法：                         短除法 420＝2×2×3 ×5×72)420 198          198＝ 2×3×3   ×11                                                     3)210  99         [420，198]＝2×3×2×3×5×7×11                               70  33 ： 70和33互質                                                                                                         [420，198]＝2×3×70×33 左邊的算法是質因數分解法，求出的最小公倍數是「2×3×2×3×5×7×11」。

右邊的算法是短除法，求出的最小公倍數是「2×3×70×33」。

說說看，它們的答案相同嗎？為什麼它們答案的算式不相同？ 你喜歡哪一種算法？為什麼？  &教學錦囊： l   這兩種算法的答案相同。

l   短除法中的2×3是420和198共同質因數的乘積，短除法中的70是420中不是共同質因數的乘積，33是198中不是共同質因數的乘積，差別在質因數分解法將70質因數分解為2×5×7，33質因數分解為3×11，而短除法沒有將70及33質因數分解。

    10.用短除法算算看： [36，48]＝？  A:144 [72，90]＝？  A:360         11.24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3，56＝2×2×2×7，[24，36，56]＝？ 說說看，你怎樣算出答案？           12. 24＝2×2×2×3 36＝ 2×2×3×3 56＝2×2×2   ×7 小明：24＝2×2×2×3最少要乘『3×7』才會同時是36及56的倍數， 所以[24，36，56]＝2×2×2×3×3×7 小華：36＝2×2×3×3最少要乘『2×7』才會同時是24及56的倍數， 所以[24，36，56]＝2×2×3×3×2×7 小英：56＝2×2×2×7最少要乘『3×3』才會同時是24及36的倍數， 所以[24，36，56]＝2×2×3×3×2×7 你同意他們的說法嗎？為什麼？   &教學錦囊： 24＝2×2×2×3 36＝ 2×2×3×3 56＝2×2×2   ×7 l   我將質因數分解算式中相同的質因數排在一起，看著上面質因數分解的算式，我就知道24，36，56的最小公倍數是2×2×2×3×3×7。

  24＝2×2×2×3 36＝        2×2×3×3 56＝2×2×2             ×7 　            2×2×2×3×3×7： 24，36，56的最小公倍數 l   將質因數分解算式中相同的質因數排在一起，三個數共有的質因數，我只拿出1個質因數來相乘(2×2)，二個數共有的質因數，我也只拿出1個質因數來相乘(2×3)，最後再乘上不是共有的質因數(3×7)，就可以得到[24，36，56]＝2×2×2×3×3×7     13.比對看看，下面這兩種算法，有那些地方相同，有那些地方不相同？ 24＝2×2×2×3                2)24 36 56 36＝   2×2×3×3            2)12 18 28 56＝2×2×2       ×7         2)6  9 14 h   h  h h  h h          3)3  9  7      2×2×2×3×3×7           1  3  7 [24，36，5]＝2×2×2×3×3×7         [24，36，5]＝2×2×2×3×3×7 為什麼這兩種方法算出來的答案都一樣？ 你喜歡那一種算法？為什麼？  &教學錦囊： l   左邊的方法是將質因數分解算式中相同的質因數排在一起，三個數共有的質因數，只拿出1個質因數來相乘(2×2)，二個數共有的質因數，也只拿出1個質因數來相乘(2×3)，最後再乘上不是共有的質因數(3×7)，就可以得到[24，36，56]＝2×2×2×3×3×7 l   右邊第一次及第二次找的2都是三個數共有的質因數，第三次找的2是24和56共有的質因數，第四次找的3是24和36共有的質因數，剩下的3和7不是共有的質因數，所以右邊的算法和左邊的算法相同。

數學上稱右邊求最小公倍數的方法為短除法。

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