點到直線的距離公式 - 科學Online - 國立臺灣大學

不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。

本文中提出幾個在99課綱中無須調動 ... Sunday7thAugust2022 7-Aug-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 點到直線的距離公式(TheFormulaofthedistancefromapointtoaline) 臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師 99課綱中將圓與直線的單元放在平面向量之前，進而討論圓與直線的關係時，特別強調運用圓與直線的聯立方程式之解的形態(相等實根、兩相異實根，及沒有實根)的「代數判定」方法。

儘管此法的使用具有一般性，但計算通常較為繁雜。

因此，老師通常還會介紹點到直線的距離公式，利用圓心與直線的距離來判斷兩者的關係。

然而，此距離公式的介紹常借助向量方法進行證明，使得許多老師倡議將圓與直線與平面向量兩個單元互換。

不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。

本文中提出幾個在99課綱中無須調動次序，也可達到證明點到直線的距離公式之目標的證法。

證法一：(過\(P\)點作直線\(L\)的垂線，找垂足\(H\)) 如右圖，作\(\overline{PH}\) 垂直\(L\) 於\(H\)， 則直線\(PH\) 方程式為\(bx-ay=bx_0-ay_0\) 解聯立方程式\(\left\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\bx–ay=b{x_0}–a{y_0}\end{array}\right.\)， 即得\(\displaystyleH(\frac{{{b^2}{x_0}–ab{y_0}–ac}}{{{a^2}+{b^2}}},\frac{{–ab{x_0}+{a^2}{y_0}–bc}}{{{a^2}+{b^2}}})\) 進而\(\begin{array}{ll}d(P,L)&=\displaystyle\overline{PH}=\sqrt{{{({x_0}–\frac{{{b^2}{x_0}–ab{y_0}–ac}}{{{a^2}+{b^2}}})}^2}+{{({y_0}–\frac{{–ab{x_0}+{a^2}{y_0}–bc}}{{{a^2}+{b^2}}})}^2}}\\&=\displaystyle\sqrt{\frac{{{{(a{x_0}+b{y_0}+c)}^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\left|{a{x_0}+b{y_0}+c}\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\end{array}\) 此法概念簡單，直接硬算，但整體過程不算複雜，可鼓勵學生嘗試。

  證法二：(若\(A\) 為直線\(L\) 上任一點，則\(\overline{AP}\) 的最小值\(=\)點\(P\) 到直線\(L\) 的距離) 令\(A(x,y)\) 為直線\(L\) 上任一點，則 \(ax+by+c=0\Rightarrowy=\frac{{–1}}{b}(ax+c)\) \(\begin{array}{ll}\displaystyle{\overline{AP}^2}&=\displaystyle{(x–{x_0})^2}+{(y–{y_0})^2}={(x–{x_0})^2}+\frac{1}{{{b^2}}}{(ax+c–{y_0})^2}\\&=\displaystyle\frac{1}{{{b^2}}}[({a^2}+{b^2}){x^2}+2(–{b^2}{x_0}+ab{y_0}+ac)x+{b^2}{x_0}^2+{(b{y_0}+c)^2}]\end{array}\) 利用二次函數的性質，當 \(\displaystylex=\frac{{{b^2}{x_0}–ab{y_0}–ac}}{{{a^2}+{b^2}}}\) 時，有最小值。

此時，\(\displaystylex=\frac{{{b^2}{x_0}–ab{y_0}–ac}}{{{a^2}+{b^2}}}\) 故 \(\begin{array}{ll}d(P,L)&=\displaystyle\sqrt{{{(\frac{{{b^2}{x_0}–ab{y_0}–ac}}{{{a^2}+{b^2}}}–{x_0})}^2}+{{(\frac{{–ab{x_0}+{a^2}{y_0}–bc}}{{{a^2}+{b^2}}}–{y_0})}^2}}\\&=\displaystyle\sqrt{\frac{{{{(a{x_0}+b{y_0}+c)}^2}}}{{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\left|{a{x_0}+b{y_0}+c}\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\end{array}\) 事實上，發生最小值的\(A\)點即為證法一所求出的垂足\(H\)。

利用兩點距離的最小值來求點到直線距離的作法具有一般性，也是空間中解決點到直線距離的主要方法。

證法三：(利用三角形面積) 如右圖，過點\(P(x_0,y_0)\) 分別作鉛直線和水平線交直線\(L\) 於\(A({x_0},–\frac{{a{x_0}+c}}{b})\)、\(B(-\frac{{b{y_0}+c}}{a},{y_0})\) \(\DeltaAPB\text{的面積}=\frac{1}{2}\overline{PA}\times\overline{PB}=\frac{1}{2}\overline{AB}\times\overline{PH}\) 又 \(\overline{PA}\displaystyle=\left|{{y_0}–(–\frac{{a{x_0}+c}}{b})}\right|=\left|{\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{b}}\right|\\\overline{PB}\displaystyle=\left|{{x_0}–(–\frac{{b{y_0}+c}}{a})}\right|=\left|{\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{a}}\right|\\\overline{AB}=\displaystyle\sqrt{{{({x_0}+\frac{{b{y_0}+c}}{a})}^2}+{{({y_0}+\frac{{a{x_0}+c}}{b})}^2}}=\sqrt{{a^2}+{b^2}}\left|{\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{ab}}}\right|\) 因此，\(d(P,L)=\displaystyle\overline{PH}=\frac{\overline{PA}\times\overline{PB}}{\overline{AB}}=\frac{{\left|{a{x_0}+b{y_0}+c}\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\) 利用三角形面積的高來求距離，也是另一種常見的作法。

證法四：(利用三角函數) 如右圖，過點\(P(x_0,y_0)\)作水平線交直線\(L\)於 \(\displaystyleB(–\frac{{b{y_0}+c}}{a},{y_0})\)且\(L\)與\(x\)軸的正向夾角為\(\theta\)。

直線\(L:ax+by+c=0\)的斜率\(m=-\frac{a}{b}=\tan\theta\) 則\(\displaystyle\sin\theta=\sin(\pi-\theta)=\frac{{\left|a\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\) 則\(\begin{array}{ll}\displaystyle\overline{PH}&=\displaystyle\overline{PB}\sin\theta\\&=\displaystyle\left|{\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{a}}\right|\frac{{\left|a\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\\&=\displaystyle\frac{{\left|{a{x_0}+b{y_0}+c}\right|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}\end{array}\) 此一證法運用學生剛學過的三角函數，也說明了正切函數\((\tan\theta)\)與斜率之間的關係，用來證明點到直線的距離恰到能呼應99課綱的安排，此法最早見於內壢高中林協億老師寫於數學學科中心電子報第60期〈九九課綱中，點到直線距離公式的詮釋〉一文。

上述所提四種證法都能避開向量的使用，同時，所運用的證明概念也具有一般性，老師們在介紹點到直線的距離公式時或可一試！ 參考資料： 林協億，〈九九課綱中，點到直線距離公式的詮釋〉，數學學科中心電子報第60期(http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=60)。

郭慶章，〈也談點與直線的距離公式〉。

Tags:圓與直線,點到直線的距離公式 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 Thereis1commentforthisarticle 太棒了 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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