數學改變生活——現代科技中的幾何學 - 今天頭條

幾何學自古以來都是和實際生活緊密相關的數學，在當代科技中，以黎曼幾何為代表的 ... 今天我們就以新興的3D技術為例，介紹一下幾何學原理的應用。

首頁 數學掃地僧 數學改變生活——現代科技中的幾何學 2019-06-11  數學掃地僧 可能有很多人認為高深的數學理論往往是空中樓閣一般的存在，和我們實際的生活不會有多大的聯繫。

當然，這樣的想法肯定是不對的，即使曾經被英國著名數學家哈代認為沒有任何實際用處的數論如今也在多個領域(如密碼學)發揮著巨大的作用。

近現代幾何學自黎曼幾何創立以來，面貌煥然一新，但由於黎曼幾何學思想超前，在幾十年之內竟被束之高閣，鮮有人問津，直到在愛因斯坦的相對論理論中發揮建設性作用之後才開始被廣泛重視和發展，到如今已經發展成為了一套成熟的數學體系。

幾何學自古以來都是和實際生活緊密相關的數學，在當代科技中，以黎曼幾何為代表的現代幾何學充分發揮了自身理論的巨大威力，促進了一系列技術的發展。

今天我們就以新興的3D技術為例，介紹一下幾何學原理的應用。

共形幾何處理三維圖像時所需的一個重要工具是微分幾何中的共形幾何，而所謂共形幾何，形象一點來說，就是在幾何變換下保持向量夾角不變的幾何學，類似於圖形的相似變換。

這對圖像的處理來說，很多時候是很關鍵的，例如照相機成像，起碼我們得保證得到的圖像形狀和原來是一樣的。

那麼，為什麼要進行共形變換？它的優點在什麼地方？首先根據共形幾何的理論，任何一個三維圖形都具有唯一的共形結構，也就是說，兩個「不一樣」的幾何對象是無法通過共形映射建立一一對應。

這其中就涉及到共形幾何的單值化理論，還要涉及到黎曼曲面的理論。

我們知道，對一個複函數進行開根，可能會得到一個多值函數，怎樣處理這些多值函數在數學上實際上很關鍵，為此，黎曼在差不多150年前提出了黎曼曲面的概念，統一處理了單值化的問題。

這樣操作之後，一個複雜的圖像就可以共形映射到一個相對簡單的圖形，例如球面，平面或雙曲面。

在這樣的變換過程中，一些著名的定理也發揮了作用，例如龐加萊單值化定理：任何緊緻的二維度量曲面一定可以共形映射到二維常曲率曲面上。

利用這些理論，複雜的問題就可以轉化為相對簡單的情況，也就方便處理了。

一個不是平展的二維平面，例如人臉，是不能直接展開鋪在普通平面上的，但通過一個非線性的共形映射，就可以做到這一點，而且圖形的平面形狀再加之這個共形映射，是可以完全確定原來的圖形。

通過共形映射降低維度，也可以大大減少信息量和複雜程度，同時也不會損失有用的信息。

這些都是如今進行照相機成像，人臉識別等圖像處理的最基本原理。

沒有建立在這些理論基礎上的技術和算法，那麼很難得到高質量的照片，而照片正是要把三維的圖像以二維的方式來呈現。

幾何逼近同時，構造良好的三角剖分也是處理圖像的一個重要過程，這就涉及到幾何逼近的理論。

進行人臉識別或3D列印時，我們所得到的數據不過是一些點集，怎樣從這些點集去還原原始圖像信息是核心問題。

一個自然的想法是將這些點連接起來，得到很多基本三角形區域，也就是三角剖分。

進行三角剖分的方法很多，但好的三角剖分才能儘可能少的損失信息，這裡的一個基本要點是要使得三角剖分後的平均曲率收斂。

同時，怎樣有效控制圖像上的奇點也是關鍵，例如人臉上的鼻子，嘴角等地方。

進行這樣的處理甚至會用到Ricci流的理論，而Ricci流理論正是證明百年難題龐加萊猜想時用到的高深數學理論。

有時候，可能還需要建立一些保持面積不變的映射，例如檢測大腦皮層病變時，一個區域面積的變化是判斷某些疾病的一大標準。

但對於大腦皮層這樣極度複雜的曲面，想要實現這一點，所利用的幾何原理也是多種多樣的。

離散幾何最近幾十年，隨著計算機和網絡的飛速發展，幾何學在其中也發揮了意想不到的作用。

傳統的幾何學處理的都是連續甚至光滑的數學對象，但正如上面所說，很多時候，我們採集得到的數據只是一些離散的點集，在利用傳統幾何和拓撲理論處理這些問題的推動下，催生了離散幾何這樣的全新數學分支，一些幾何概念，例如曲率，測地線等，又得到了推廣。

例如網絡整體結構所組成的幾何對象，它們的狀態完全可以通過幾何學的方法來決定，負曲率的點是主幹，而正曲率的點則是它連接起來的局部簇。

在網絡擁擠的地方，這些點具有負曲率，但負曲率區域的測地線比較穩定，因而結構也比較穩定，可以承受一定強度的擁擠。

處理這些複雜的信息需要非常多的數學理論，但如何把這些理論運用到實際也是個很大的問題。

現在有個很時髦的詞叫「算法」，就像華為曾經說過的，華為的世界一流拍照技術實際上就是靠數學家算出來的，所以不難想像為什麼數學家會成為很多科技公司的核心。

發展科技必須建立在可靠的理論基礎上，就像建築的地基一樣。

如果不能深入了解，研究和掌握基礎原理，那麼就很難創造出原創和領先的技術。

當然，今天所說的這些幾何學原理連冰山一角都算不上，只不過算是管中窺豹，感受一下數學所發揮的巨大作用。

文章來源:https://twgreatdaily.com/eu8AGWwBmyVoG_1ZF4jQ.html 最終被計算機所證明的百年數學難題——四色定理 2020-02-12 緬懷數學大師路易斯·尼倫伯格 2020-01-31 短小精悍的數學名著 2020-01-28 數學中那些磚頭一樣厚的教材 2020-01-23 偉大的俄羅斯無冕數學女王——拉德任斯卡婭 2019-12-12 從新晉最年輕院士孫斌勇淺談數學研究 2019-11-29 數學傳奇——龐特里亞金 2019-11-27 高斯絕妙定理——從高斯曲率說起 2019-11-15 數學專業的碩博連讀和直博有什麼區別？ 2019-10-29 基礎數學方向的研究生到底要學些什麼？ 2019-10-20 數學家也能得諾貝爾獎？——納什小傳 2019-10-14 從國際奧數金牌到數學最高獎——越南數學家吳寶珠 2019-09-09 伽羅瓦理論到底有多偉大？千年數學難題直接淪為簡單推論 2019-08-26 「數學三大獎」之一的阿貝爾獎：榮譽的背後為何有爭議？ 2019-08-22 二十世紀的新興數學學科——泛函分析 2019-07-28 從神童到數學大師——「控制論之父」維納 2019-07-26 業餘數學之王——費馬 2019-07-23 數學家伯克霍夫與美國數學的發展 2019-07-16 從零到無窮——美國數學的崛起之路 2019-07-08 天才中的天才—馮·諾依曼簡介 2019-06-30 微積分是如何傳入中國的？ 2019-06-29 數學中函數的演變簡史 2019-06-24 承前啟後的數學巨人——大數學家柯西 2019-06-20 數學改變生活——現代科技中的幾何學 2019-06-11