丘成桐院士演講：現代幾何的發展

陳省身也引進了Chern class 討論曲率與拓樸性之間的關聯，而Rauch 則是討論距離、曲率、拓樸性三者之間的關係。

基本上而言，微分幾何是一門在物理，工程等各方面都是應用 ...     首頁|搜尋 ．原載於數學傳播第十六卷第四期 ．作者當時任教於HarvardUniversity   丘成桐院士演講：現代幾何的發展 丘成桐 記錄：林信安（師大數研所一年級）     今天我要講講幾何的發展，當然這其中有些是我個人的觀點，不一定每個人會同意。

談到幾何的對象與方法可分為動態與靜態兩方面，靜態就是幾何圖形， 動態是指幾何圖形經過運動而成為另一個幾何圖形的過程，目前尚未了解很多。

幾何的研究與自然現象是很貼近的，亦與基本物理、工程有著密切的關係，自然界的現象可分為抽象美的幾何、基本物理、工程，幾何就是從這三方面推導出來的，而幾何的研究也會影響這三方面的研究，總而言之，這三方面對幾何的影響是互相的。

從前埃及時代主要研究平面、立體幾何，這當然是因為有工程上的需要，順著科學的發展，到了牛頓力學發展後，平面幾何已不夠去描述運動現象，於是有微積分的產生，有了微積分，就可以討論曲線、曲面；另一方面，Euler、Lagrange為了應用積分到流體，因而有了變分法的發展。

18世紀變分法引進幾何， 是幾何上重大的發展，這影響到了後來微分幾何的研究。

18世紀微分幾何的問題是集中在研究曲線（直線與平面的關係），另一方面也開始研究一個嵌入R3的曲面 ，這是從Gauss開始的，Gauss對微分幾何主要的貢獻是研究Gauss曲率與內在幾何間的關係。

內在性是指只與度量有關而與曲面在空間中寫法無關，例如一張紙曲率K=0，將其捲起來，intrinsicgeometry，不變曲率K=0，但extrinsicgeometry有變化，而Gauss就是證明了Gauss曲率為intrinsicgeometry的不變量。

另一方面ComplexAnalysis的引進，對微分幾何的研究有很深的影響，ComplexAnalysis的引進，對微分幾何的研究有很大的影響，ComplexAnalysis是為了研究流體力學，而發展出來的；Lobatchevsky研究曲率K=-1的雙曲空間，這個研究與平行公理有很大的關係，這是幾何發展的重要里程碑。

19世紀G.B.黎曼繼承Gauss的思想，將2維的曲面之研究，推廣到高維空間上，而形成了黎曼空間，這個空間形成之後，為幾何的研究開啟了新的一頁。

(M1,d1)(M2,d2)何時可以將他們看成同一空間，即何時可找到 使距離沒有變化，i.e. ，例如將捲起來的紙攤平 這是幾何上一個很重要的問題，是唯一性的問題。

一般而言，曲率K是一個重要的invariant。

例如，一張平坦的紙K=0無論如何不能"相等"於球面K=1，後來又引進了連絡(connection)，這是微分的推廣，主要是Christoffel，Ricci，Levi-Civita等人的貢獻， 它們不是在平坦的空間中研究微分的問題，發現一般平坦的空間 ， ， 但是在不平坦的曲面上 與曲面的曲率有關。

19世紀末期，FlexKlein認為大部分的微分幾何可用李群（或離散群）去解釋，很多幾何對象可看成homogeneousspace，當初很多人認為很多微分幾何的現象不能看成變換群，到了E.Cartan對李群的分類有很大的影響，他引進了活動標架法，20世紀初期，Cartan、FlexKlein對幾何的看法與Gauss、黎曼的幾何方法結合，才得出一種新的方法-活動標架法。

Poincaré考慮變分法在微分幾何上的應用，他是考慮測地線(geodesic)的問題：在R3上的封閉曲面上， 找一條封閉的測地線，例如 在球上的大圓 Morse則將此問題考慮到高維度上，如何去找封閉測地線，有關測地線的問題尚有，在二維的封閉曲面上至少有3條不相交的封閉測地線，這是很有名的問題，直到最近才有較詳細的證明。

Morse理論在微分幾何，工程上有很大的貢獻，開始了微分幾何上大範圍的幾何研究。

測地線的問題在高維度上的推廣是最小曲面(minimalsurface)的問題，最初是Weierstrass引進ComplexAnalysis的方法，這是ComplexAnalysis影響微分幾何的一個例子。

從測地線，最小曲面的研究，微分方程開始對微分幾何的研究產生影響，近十年來，這方面的發展尤其神速，但對非線性拋物型偏微分方程我們尚不明瞭，因此對於動態的幾何並不清楚。

例如Rauch考慮固定兩點的測地線，研究不是最短距離的測物線，而考慮index理論經過擾動(Perturbation)後的情形，而index理論是由O.D.E中的Sturm-Liouville來的，Rauch發現曲率與拓樸性間有密切的關係，這是從Morse理論得到的。

在大域幾何方面，Gauss-Bonnet定理 ，（其中M為定向二維緊緻曲面）是一個代表，陳省身先生將這個公式推廣到高維度的情形。

陳省身也引進了Chernclass討論曲率與拓樸性之間的關聯，而Rauch則是討論距離、曲率、拓樸性三者之間的關係。

基本上而言，微分幾何是一門在物理，工程等各方面都是應用極廣的學問，當然也是這些方面上的重要工具。

謝謝！   對外搜尋關鍵字：．Euler．Lagrange．變分法．Gauss．Lobatchevsky．黎曼．Christoffel．Ricci．Levi-Civita．Klein．李群．E.Cartan．Poincare．Weierstrass．陳省身   （若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。

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