西洋人不信孫子只是一人，故稱韓信點兵學問是中國剩餘定理 ...

「韓信點兵」的重要數學問題。

當洋人了解中國人在十幾世紀前的貢獻，一致歡喜讚嘆，而把這個問題的解法命名為「中國剩餘定理」(Chinese Remainder ... 創易分享 跳到主文 創易分享:歡迎光臨Charles200710在痞客邦的小天地 部落格全站分類：生活綜合 相簿 部落格 留言 名片 Dec15Sun201307:52 西洋人不信孫子只是一人，故稱韓信點兵學問是中國剩餘定理 三國那個時代，有名東山隱者 1 結廬於深山，逃避戰亂、專心著述。

一日，雨過天晴，陽光普照，東山隱者捧著剛寫成的《孫子算經》欣喜地坐在青山下，凝神遐想。

布衣荊釵的東山隱姜提著一籃蕨薇，涉溪而來。

「夫子大功告成了罷?!」隱姜問道。

「大功告成了。

但願這本《孫子算經》能流傳後世。

自從《周髀算經》、《九章算術》問世以後，這幾百年民間傳誦發揚的算術道理，從來沒有人整理編輯。

希望這本書能在這方面盡些力氣。

隱姜，你說我為什麼偽托孫子？」隱者問道。

「喲！幾十年來，難道我還不明白你的心思嗎？自從東漢以後，重名不重實，又加上戰亂，只有清談玄理、陰謀詭詐的人才算高明。

何況你雖遊遍天下，可是一不交結巨公顯宦，又不到處吹噓隱者之名，一輩子也成不了名動天下的「大隱(?)」所以，如果你不偽托孫子，那麼這本書一定湮沒失傳，幾百年來多少人的心血也會成空。

此其一。

」 「其二呢？」隱者點頭微笑問道。

「那更容易。

還不是介子推老夫子的那句話「貪天之功，以為己力」，孔丘老夫子的那句「述而不作」。

必須積累無數人力與時間去摸索與探測，才能逐漸了解及發現真理。

總括大成者，怎能攘為己有，作此盜名欺世之事。

」 「真吾妻也！真吾妻也！」隱者哈哈大笑。

「數百年來流傳的韓信點兵問題，在這本書裡，也有一個較好的解法了。

」 「那太好了，就請你指點吧。

」隱姜說。

A.「原題是『三數剩二，五數剩三，七數剩二』。

  高中代數解法:      X = 3*k +2         X = 5*l+3             X = 7*m+2      (X-2)=21*k m  ==>X=23,23=3*7+2同時23=7*3+2 ,km=1      X -3 = 5*l   ==>X=23-3=20=5*4         (X-2)(X-3)=105*n  ==>目視21*20=420=105* 4      X²-5X+6=105*n==>  X²-5X-414=0;(X-23)(X+18)=0,X=23 現在我們先求『三數剩一，五數不剩，七數不剩』的解答。

我們可以從三十五的倍數中，找『三數剩一』的數目，譬如說，七十就是一個解答。

再求『三數不剩，五數剩一，七數不剩』的解答。

在二十一的倍數中，二十一本身就是一解。

另外求『三數不剩，五數不剩，七數剩一』的解答。

在十五的倍數中，十五本身適合『七數剩一』。

     70=5*7*2=3*23+1      21 =3*7 =5*4+1      15 =3*5 =7*2 +1         70*2=3*23*2+2=5*7*4          21*3=5*4*3+3 =3*7*3         15*2=7*2*2 +2=3*5*2  七十，二十一，十五這三個數是解答這個問題的關鍵。

這類數目可以定名為『用數』。

把這三個用數分別乘剩數，二，三，二，然後相加。

七十乘二得一百四十，二十一乘三得六十三，十五乘二得三十。

一百四十，六十三，三十，三數相加得二百三十三。

這就是原題的一個解答。

另外用三乘五再乘七得一百零五，二百三十三加減一百零五的倍數就可以得到所有解答了。

所以算出二十三，一百二十八等等都是解答。

」 「這樣說來，終於求得『韓信點兵問題』的公式了。

嗯，韓信手下可能祇有二十三名兵卒，竟然驚走漢高祖劉邦，可見算術的神奇莫測！」隱姜讚許道。

隱者談鋒很健，又繼續發揮道： 「天象周期循環不息，比如說，月的盈虧現象，五星（當時知道的辰星、太白、熒惑、鎮星、歲星，也就是現在水星、金星、火星、土星、木星）運行現象，日夜循環現象，四季輪替現象等等。

凡是周期現象都孕含剩數的道理。

普通計時用的月份、日期、時辰都是運用剩數觀念。

剩數觀念源遠流長，以後一定蔚為大宗。

可是那要等到天下太平民物鼎盛的時代了。

到那時算術才能蓬勃發展，剩數的精深觀念，才能得到闡揚啊!那才真正夠得上『神鬼不測之機』。

」 隱者與隱姜坐在青山下，出神遙想千年萬載後的中國。

故事講完了，現在讓我們一起研究一下孫子定理──或者中國剩餘定理。

「韓信點兵」的重要數學問題。

當洋人了解中國人在十幾世紀前的貢獻，一致歡喜讚嘆，而把這個問題的解法命名為「中國剩餘定理」(ChineseRemainderTheorem)以紀念中國人的偉大貢獻。

現代中國人追思《孫子算經》的無名作者，而把這個定理命名為「孫子定理」。

孫子定理──或者中國剩餘定理──成為近代代數，數論以及代數幾何中最重要的定理之一，它的光芒四射，照耀了無數角落。

數學的發展和數字的寫法以及公式的表達法有密切的關係。

中國古代盛行代數，是受了中國優良的記數法的影響。

到了近代，由於人類發明＝,－,＋,×,，以及用抽象符號x,y,a,b代表數字，使得代數成為易懂的數學。

對於「剩餘」這個概念，我們也要引進一種符號來幫助了解，記憶。

首先「三數剩二」是什麼意思呢？那不過說某一個數x被3除剩餘2；換句話，x-2被3整除。

我們用下式表示「三數剩二」    定義1：已知a-b被m整除，我們說「a、b對模m同餘」。

用下式（同餘式）表示。

  反之，  表示「a,b對模m不同餘」；換句話a-b不是m的倍數。

例1： 例2： 表示a是一個奇數。

例3： 表示a是一個偶數。

例4：「物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二」可用同餘式表示如下。

   「韓信點兵問題」就是求一組同餘式的公解。

「」與等式「＝」有同樣的運算法則，那就是說： 定理1：已知 ，，那麼，，，，，。

證明：我們先證 ，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘公式。

根據「」的定義，我們知道a-b=sm，c-d=tm所以 (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=sm+tm=(s+t)m  那就是說，證完。

在推演孫子定理（中國剩餘定理）的過程中，我們須要一個應用兩數互質（兩數的最大公約數是1）的定理，那就是： 定理2：已知m,n適合下式，am+bn=1，那麼m,n互質，反過來說，如果m,n互質，我們可以找到a,b，使得 am+bn=1 證明：因為m,n的最大公約數可以整除am+bn，而am+bn=1，所以m,n的最大公約數是1，換句話，m,n互質。

反過來說，如果己知m,n互質，讀者可以應用輾轉相除法，求得a,b使得am+bn=1，證完。

應用定理2，我們可以解答漂母數布匹的問題了，那就是下面的定理3: 定理3：己知m,n互質，那麼下列一組同餘式：  有公解。

證明：根據定理2，我們可以找到a,b使得am+bn=1，所以bn=1-am，那麼，，換句話，bn是我們所求的一組公解，證完。

 系1：己知m1與m2，m1與m3，…m1與mt都互質，那麼下列一組同餘式  有公解。

證明：根據已知條件，我們推論m1與 互質。

在應用定理3，我們知道  有公解。

顯然上面那組同餘式的公解就是   的公解，證完。

 定理4：己知m1,m2,…,mt兩兩互質，並且求出a1是 ，，…，的一個公解，a2是 ，，，…，的一個公解，以此類推，求出a3,…,at。

那 就是下列一組同餘式    的一個公解。

 證明：我們先證明 ，讀者可以仿照我們的證法，去證明其餘同餘式。

根據己知條件，我們知道 ， ，…，，應用定理1，我們得出 ，並且已知 ，所以應用定理1，我們得出 ，再應用一次定理1，我們證明    證完。

上面的定理4事實上就是孫子算經裡的解法。

a1,a2,…,at也就是孫子算經裡面提到的「用數」。

定理4再加上下面的定理5就合成了數論中的孫子定理。

 定理5：己知m1,m2,…,mt兩兩互質。

並且求出a,b是下列一組同餘式    的兩個公解。

那麼a-b一定是 的倍數。

反過來說，也是那一組同餘式的公解。

 證明：因為 ，，應用定理1，我們得到 ，換句話，a-b被m1整除。

同樣道理m2,…,mt都可以整除a-b。

根據已知條件，m1,m2,…,mt兩兩互質，所以a-b一定被 整除，那就是說，a-b是 的倍數。

反過來說，應用定理1，自然也是一個公解。

證完。

上面所談的都是數論的內容。

如果我們把上面的定義，定理，系以及證明中的整數 m,n,a,b,m1,n1,…，等等都換成一元多項式m(x),n(x),a(x),b(x),m1(x),n1(x),…等等。

我們就得到方程式論中的孫子定理了。

例如定理3可以改寫成： 定理3：已知m(x),n(x)互質，那麼下列一組同餘式，  有公解。

在許多抽象數學的領域中，也有孫子定理。

不過，因為牽涉的入門知識太多，這兒也就一言表過不提了。

關於孫子定理，現代數學家已有廣泛透徹的研究。

讀者如果有興趣，可以參看一點數論及近代代數的書籍。

這篇淺文的主要目的，也就是引起讀者對數學的興趣而已。

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