質因數- 維基百科，自由的百科全書

質因數（或稱質因子）在數論裡是指能整除給定正整數的質數。

根據算術基本定理，不考慮置換順序的情況下，每個正整數都能夠以唯一的方式表示成它的質因數的乘積。

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質因數（或稱質因子）在數論裡是指能整除給定正整數的質數。

根據算術基本定理，不考慮置換順序的情況下，每個正整數都能夠以唯一的方式表示成它的質因數的乘積。

兩個沒有共同質因子的正整數稱為互質。

因為1沒有質因子，1與任何正整數（包括1本身）都是互質。

只有一個質因子的正整數為質數。

將一個正整數表示成質因數乘積的過程和得到的表示結果叫做質因數分解。

顯示質因數分解結果時，如果其中某個質因數出現了不止一次，可以用冪次的形式表示。

例如360的質因數分解是： 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 3 × 3 2 × 5 {\displaystyle360=2\times2\times2\times3\times3\times5=2^{3}\times3^{2}\times5} 其中的質因數2、3、5在360的質因數分解中的冪次分別是3，2，1。

數論中的不少函數與正整數的質因子有關，比如取值為n的質因數個數的函數和取值為n的質因數之和的函數。

它們都是加性函數，但並非完全加性函數。

目次 1例子 2完全平方數 3互質關係 4Ω函數 5參見 6參考來源 例子[編輯] 1沒有質因子。

5只有1個質因子，5本身。

（5是質數。

） 6的質因子是2和3。

(6=2 × 3) 2、4、8、16等只有1個質因子：2（2是質數，4=22，8=23，如此類推。

） 100有2個質因子：2和5。

(100=22 × 52) 完全平方數[編輯] 主條目：完全平方數 完全平方數是指等於某個正整數的平方的數。

比如225=152是完全平方數，而226不是。

完全平方數的質因數分解中，每個質因數的冪次都是偶數，這是因為假設完全平方數 M = n 2 {\displaystyleM=n^{2}} ，則它的質因數分解可以從n的質因數分解推出[1]。

假設n的質因數分解是： n = p 1 α 1 × p 2 α 2 × ⋯ × p r α r , {\displaystylen=p_{1}^{\alpha_{1}}\timesp_{2}^{\alpha_{2}}\times\cdots\timesp_{r}^{\alpha_{r}},} 那麼M的質因數分解就是： M = n 2 = p 1 2 α 1 × p 2 2 α 2 × ⋯ × p r 2 α r , {\displaystyleM=n^{2}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\timesp_{2}^{2\alpha_{2}}\times\cdots\timesp_{r}^{2\alpha_{r}},} 所以每個質因子的冪次都是 2 α i {\displaystyle2\alpha_{i}} 的形式，是偶數。

舉例來說，144是一個完全平方數：144=122，它的質因數分解是： 144 = 12 2 = ( 2 2 × 3 ) 2 = 2 2 × 2 × 3 2 × 1 = 2 4 × 3 2 . {\displaystyle144=12^{2}=(2^{2}\times3)^{2}=2^{2\times2}\times3^{2\times1}=2^{4}\times3^{2}.} 類似地可以證明，如果某個正整數是完全立方數或某個正整數的冪次： M = n d {\displaystyleM=n^{d}} ，那麼它的所有質因子的冪次都是d的倍數。

互質關係[編輯] 主條目：互質 互質是兩個正整數之間的一種關係。

如果兩個正整數a和b沒有共同的質因子，就稱這兩個正整數互質。

一般來說兩個正整數的最大公因數是指能夠同時整除兩者的正整數之中最大的一個。

如果a和b有公共的質因子p，那麼它們的最大公因數gcd(a,b)就是p的倍數。

a和b互質則說明最大公因數是1. Ω函數[編輯] 數論函數中與質因數有關的函數包括Ω函數和ω函數。

ω函數定義為正整數n的不同質因子的個數，而Ω函數定義為計算每個質因數的冪次後正整數n的不同質因子的個數。

n = ∏ i = 1 ω ( n ) p i α i , Ω ( n ) = ∑ i = 1 ω ( n ) α i . {\displaystylen=\prod_{i=1}^{\omega(n)}p_{i}^{\alpha_{i}},\qquad\quad\Omega(n)=\sum_{i=1}^{\omega(n)}\alpha_{i}.} 例如420的質因數分解是： 420 = 2 2 × 3 × 5 × 7 , {\displaystyle420=2^{2}\times3\times5\times7,} 所以ω(420) = {\displaystyle=} 4，而Ω(420) = {\displaystyle=} 2×1+1+1+1 = {\displaystyle=} 5.因為420的質因數分解中2的冪次是2而其餘質因子的冪次是1. 參見[編輯] 因數 最大公因數 最小公倍數 質數 約數 質因數表 參考來源[編輯] ^SinhaNishitK.DemystifyingNumberSystem:(PracticalConceptsandTheirApplications)fortheCATandOtherMBAExams.PearsonEducationIndia.ISBN 9788131754436（英語）. p.205 閱論編和因數有關的整數分類簡介 質因數分解 因數 元因數 除數函數 質因數 算術基本定理 依因數分解分類 質數 合數 半質數 普洛尼克數 楔形數 無平方數因數的數 冪數 質數冪 平方數 立方數 次方數 阿喀琉斯數 光滑數 正規數 粗糙數 不尋常數 依因數和分類 完全數 殆完全數 准完全數 多重完全數 Hemiperfect數 Hyperperfectnumber（英語：Hyperperfectnumber） 超完全數 元完全數 半完全數 本原半完全數 實際數 有許多因數 過剩數 本原過剩數 高過剩數 超過剩數 可羅薩里過剩數 高合成數 Superiorhighlycompositenumber（英語：Superiorhighlycompositenumber） 奇異數 和真因子和數列有關 不可及數 相親數 交際數 婚約數 其他 虧數 友誼數 孤獨數 卓越數 歐爾調和數 佩服數 節儉數 等數位數 奢侈數 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=質因數&oldid=68517015」 分類：​素數隱藏分類：​CS1英語來源(en)自2013年9月需補充來源的條目拒絕當選首頁新條目推薦欄目的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 AfrikaansCatalàDeutschEnglishEsperantoEspañolSuomiMagyarItaliano日本語LietuviųLatviešuNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнська粵語 編輯連結