常態分佈

常態分佈(normal distribution)又稱高斯分佈(Gaussian distribution)。

德國的10馬克紙幣, 以高斯(Gauss, 1777-1855)為人像, 人像左側有一常態分佈之p.d.f.及其圖形。

常態分佈 常態分佈(normaldistribution)又稱高斯分佈(Gaussiandistribution)。

德國的10馬克紙幣, 以高斯(Gauss,1777-1855)為人像,人像左側有一常態分佈之p.d.f.及其圖形。

  高斯在數學上有諸多貢獻,但在10馬克的紙幣,挑出來與他相隨的,是常態分佈。

可見常態分佈不只在統計上,在數學上亦很重要。

不過高斯倒不是第一位提出此分佈者。

法國數學家棣美弗(Abraham DeMoivre,1667-1754)早於他寫出此分佈。

甚至一般認為丹尼爾‧伯努力(DanielBernoulli,1700-1782)更早就發現了。

有人稱這種現象為誤稱定律(Law ofMisnomer)。

要知數學上的命名,往往並非以實際發現者。

常態分佈之所以重要,原因很多,我們給出三個主要的原因:首先是常態分佈在分析上較易處理。

其次是常態分佈之p.d.f.的圖形為鐘形曲線(bell-shapedcurve),再加上對稱性,使得很適合當做不少母體之機率模式。

當然底下我們會看到鐘形且具對稱的分佈也有不少, 但通常不像常態分佈,在分析上如此容易駕馭。

第三個原因是由於在中央極限定理(CentralLimitTheorem),使得在不太強的條件下, 常態分佈可當做不少大樣本的近似分佈。

常態分佈有二參數μ及, , σ>0,以表此分佈, p.d.f.為 μ稱為位置參數(locationparameter),此因μ影響圖形的位置,σ則為尺度參數,σ愈大表圖形散的愈開。

底下給出三個有相同的μ, 但不同之p.d.f.的圖形, 以做比較。

在 分佈裡,二參數μ,, 分別為期望值與變異數,即 若X有分佈, 則 有分佈, 稱為標準常態(standardnormal)分佈。

其p.d.f.為 由X至Z的一變換稱為將X標準化,分佈經標準化後, 便成為分佈。

而標準常態分佈之期望值為0, 變異數為1。