高中物理(二上): 一些繩子的張力問題：由Paul Chow 發表於

的確在題目中，若只討論單獨在水平方向或垂直方向拉動一條繩子時，此時繩子是有質量的（不管題目給你質量了沒有），所以若兩端拉力不同，繩子各點的張力皆 ... 高中物理(二上) 登入 科學園->高中物理(二上)->疑難雜症討論區Ch.3：本章試題->一些繩子的張力問題：由PaulChow發表於-2009/11/14(六)3:57:19PM 0/0一些繩子的張力問題：由PaulChow發表於-2009/11/14(六)3:57:19PM由李偉發表於-2009/11/28(Sat)18:55:54 一些繩子的張力問題： 1.繩子的張力是否為「內力」（老師啊，內力是系統內一部分與另一部份之相互作用力，又隨外力而生滅應該是沒錯吧，只是他這個張力在端點處也會作用到系統外，這樣也是內力嗎？） 2.張力方向「恆指向截面外方」之敘述是否即等價於「只有伸長量才有張力」？又若惟有伸長量時方有張力，則壓縮時因為繩子是軟的無法成「緊張狀態（相當於繩子伸長）」故無張力產生，那麼壓繩時繩子的內部即無作用力了嗎？ 3.一條粗繩水平放置桌面上靜止，則必有重力與桌面正向力兩相背離之外力作用於此繩上，此時繩子內部會有所謂的張力嗎？ 4.關於質量不計的繩子「不可能兩端施力不等」之敘述，我想了好久，作出理解如下，煩請老師檢驗一下有無錯謬： (理解1)：兩端施力不等$\Rightarrow\quad\Sigma\,F\;=\;F_2\;-\;F_1\;\neq\;0$而$\Sigma\,F\;=\;ma\;=\;0\;\times\;a\;=\;0$。

此處因為m=0（老師啊，這裡寫等於0，我覺得很奇怪，因為質量不計的意思該是指其質量「極小」，而不該是「他的質量是0」，所以我覺得在理解上寫成「$rightarrow$」趨近於，不知是否較合理些）故應寫成$ma\;\rightarrow\;0$與等式左邊矛盾。

(理解2)：因為$\Sigma\,F\;=\;ma$，而$m\;\rightarrow\;0$，知必$\Sigma\,F\;\rightarrow\;0$即$F_2\;-\;F_1\;\rightarrow\;0$，視為$F_2\;=\;F_1$，即繩質量不計時兩端施力必相等  (理解3)：如果單純是討論繩子的張力，那麼整個「系統」就只有繩子一物，其質量沒有忽視的道理（老師啊，我覺得這個理解稍有問題，因為有的時候我們指的忽略其質量是因為與所連接之物體相較繩子質量太小而略去其影響，但有時若是單討論繩子本身時，我們也確實可以把它的質量視為「極小而趨於0」該是沒有問題的，不然照這樣說，豈非欲討論繩子張力時都得顧慮質量了） 5.繩子的加速度$a\;=\;0\quad\Rightarrow$兩端拉力相等，但是「兩端拉力相等$\Rightarrow\quada\;=\;0$」？因為如果我們說繩子質量不計，那麼由$\Sigma\,F\;=\;ma$應該可以推知當$a\;\neq\;0$因為$m\;\rightarrow\;0$故$\Sigma\,F\;\rightarrow0$得$F_2\;=\;F_1$，兩端拉力可以一樣而繩子可以加速，我指的就是當繩子連接物體而作加速度的情況，老師啊，這樣理解不知是否合理（若不這樣說則兩端施力相同豈能加速）？ 6.垂掛繩的問題：設有一粗繩懸掛而靜止，而底端位置為原點，全長$ell$，則各點之張力與位置的函數關係，我以下列兩種觀點解之，也請老師檢驗有無謬誤： (Sol.1)自底端往上x做隔離自由體，則此系統只有受兩外力，一為重力，一為上段繩子的張力，由靜止知$T\;=\;\frac{x}{\ell}\,mg$。

(Sol.2)繩子底端受力為0，而頂端有支撐力$F\;=\;mg$，由底端往上x做隔離自由體，則只兩端有力，一為底端的0，一為上端的T，則因為兩端力要產生加速度$a\;=\;g$與重力加速度平衡，故代入兩端施力不等而加速的關係式   $T\;=\;F_1\;+\;\frac{x}{\ell}\,(F_2\;-\;F_1)$得$T\;=\;0\;+\; \frac{x}{\ell}\,(mg\;-\;0)\;=\;\frac{x}{\ell}\,mg$ 7.定滑輪計摩擦時（如圖，因為是硬找網路的圖故圖說與我的問題不干），是否右端施力（即右半圓與繩切點之張力）$F\;=\;f_r\;+\;G'$（$f_r$是滑輪於繩的摩擦力，而$G'$是即左半圓與繩切點之張力），但是倘若$G'\;=\;G$（$G$物重），則因為「不計繩重」而使得物體所受繩力為$G'\;=\;G$，物體當不動，然而滑輪因為$F\;>\;G'$當轉動，此豈不矛盾？不知問題安在？ （圖） 表列回應內容,早先張貼在前表列回應內容,最新張貼在前回應訊息以樹狀結構呈現回應訊息將往右縮排 0/0回應:一些繩子的張力問題：由PaulChow發表於-2009/11/14(六)3:57:19PM由李偉發表於-2009/11/28(Sat)19:12:19 一些繩子的張力問題： 1.繩子的張力是否為「內力」（老師啊，內力是系統內一部分與另一部份之相互作用力，又隨外力而生滅應該是沒錯吧，只是他這個張力在端點處也會作用到系統外，這樣也是內力嗎？） 【解說】(1)內力是系統內一部分與另一部份之相互作用力→對；隨外力而生滅→錯（不一定） (2)內力是系統內的某一物體與另一物體間的相互作用力；外力是系統外的物體對系統內的某一部份或全體的作用力。

所謂系統是與外界有一個邊界加以分隔的，穿過這個邊界的作用力才是外力。

例如：車廂內甲乙兩人打架，這是內力；車外的丙丟石頭進來打到甲，這是外力→此時內力與外力無關；車外的丙丟石頭進來撞到甲，甲受到撞擊力又撞向乙，此時的內力因外力而起，這時的內力與外力是有關的。

(3)繩上的張力算不算內力，要看你選擇的系統而定，選好之後，若是外力，則在列出運動方程式時要列入；若是內力，則不應列在運動方程式之中（因為ΣF只計算外力，內力成對出現會相互抵銷掉） 例如：若選整條繩子為系統，繩中的張力T為內力，列式時不需要列出，所以可以如上圖，根本不需要畫出來；或如下圖，即使畫出來，列式時也會因為方向相反而相互抵銷。

可是假如選繩子左段為系統時，T為外力（因為是繩子右段給左段的外力） （圖）  2.張力方向「恆指向截面外方」之敘述是否即等價於「只有伸長量才有張力」？又若惟有伸長量時方有張力，則壓縮時因為繩子是軟的無法成「緊張狀態（相當於繩子伸長）」故無張力產生，那麼壓繩時繩子的內部即無作用力了嗎？ 【解說】(1)繩子要繃緊（不考慮伸長量；若要考慮伸長量，那是彈性材料，要談的是彈簧的回復力而不是張力），才會呈現張力；鬆弛時即沒有張力。

(2)若向內壓繩子，繩子會彎掉，不可能繃緊。

(3)以上的討論是理想情況，與現實生活中的現象略有區別。

3.一條粗繩水平放置桌面上靜止，則必有重力與桌面正向力兩相背離之外力作用於此繩上，此時繩子內部會有所謂的張力嗎？ 【解說】(1)繩子上下兩端有向外的作用力嗎？能使繩子垂直方向有繃緊的感覺嗎？ 4.關於質量不計的繩子「不可能兩端施力不等」之敘述，我想了好久，作出理解如下，煩請老師檢驗一下有無錯謬： (理解1)：兩端施力不等$\Rightarrow\quad\Sigma\,F\;=\;F_2\;-\;F_1\;\neq\;0$而$\Sigma\,F\;=\;ma\;=\;0\;\times\;a\;=\;0$。

此處因為m=0（老師啊，這裡寫等於0，我覺得很奇怪，因為質量不計的意思該是指其質量「極小」，而不該是「他的質量是0」，所以我覺得在理解上寫成「$rightarrow$」趨近於，不知是否較合理些）故應寫成$ma\;\rightarrow\;0$與等式左邊矛盾。

【解說】你的想法很好。

通常在數學中趨近於零，是不等於零的；(1)可是物理是實証的科學，在實驗中藉觀察測量來驗證理論，所以測不出來的趨近於，通常我們會取其極限值（即0）來處理。

(2)或是在文章中的前後文交代，增加文字敘述，在列式時才會採用趨近於的觀念。

(理解2)：因為$\Sigma\,F\;=\;ma$，而$m\;\rightarrow\;0$，知必$\Sigma\,F\;\rightarrow\;0$即$F_2\;-\;F_1\;\rightarrow\;0$，視為$F_2\;=\;F_1$，即繩質量不計時兩端施力必相等 【解說】(1)你說的很好。

(2)修正一下：$F_2\;-\;F_1\;\rightarrow\;0$，則$F_2\;\doteq\;F_1$，視為$F_2\;=\;F_1$ (理解3)：如果單純是討論繩子的張力，那麼整個「系統」就只有繩子一物，其質量沒有忽視的道理（老師啊，我覺得這個理解稍有問題，因為有的時候我們指的忽略其質量是因為與所連接之物體相較繩子質量太小而略去其影響，但有時若是單討論繩子本身時，我們也確實可以把它的質量視為「極小而趨於0」該是沒有問題的，不然照這樣說，豈非欲討論繩子張力時都得顧慮質量了） 【解說】的確在題目中，若只討論單獨在水平方向或垂直方向拉動一條繩子時，此時繩子是有質量的（不管題目給你質量了沒有），所以若兩端拉力不同，繩子各點的張力皆不相同。

5.繩子的加速度$a\;=\;0\quad\Rightarrow$兩端拉力相等，但是「兩端拉力相等$\Rightarrow\quada\;=\;0$」？因為如果我們說繩子質量不計，那麼由$\Sigma\,F\;=\;ma$應該可以推知當$a\;\neq\;0$因為$m\;\rightarrow\;0$故$\Sigma\,F\;\rightarrow0$得$F_2\;=\;F_1$，兩端拉力可以一樣而繩子可以加速，我指的就是當繩子連接物體而作加速度的情況，老師啊，這樣理解不知是否合理（若不這樣說則兩端施力相同豈能加速）？ 【解說】(1)兩端拉力相等時，若繩子有質量，則$\Sigma\,F\;=\;ma$中，式子左邊為零，右邊m不為零，故a必須為零。

(2)兩端拉力相等時，若繩子沒有質量，則$\Sigma\,F\;=\;ma$中，式子左邊為零，右邊m為零，則牛頓運動方程式仍能成立。

6.垂掛繩的問題：設有一粗繩懸掛而靜止，而底端位置為原點，全長$ell$，則各點之張力與位置的函數關係，我以下列兩種觀點解之，也請老師檢驗有無謬誤： (Sol.1)自底端往上x做隔離自由體，則此系統只有受兩外力，一為重力，一為上段繩子的張力，由靜止知$T\;=\;\frac{x}{\ell}\,mg$。

(Sol.2)繩子底端受力為0，而頂端有支撐力$F\;=\;mg$，由底端往上x做隔離自由體，則只兩端有力，一為底端的0，一為上端的T，則因為兩端力要產生加速度$a\;=\;g$與重力加速度平衡，故代入兩端施力不等而加速的關係式$T\;=\;F_1\;+\;\frac{x}{\ell}\,(F_2\;-\;F_1)$得$T\;=\;0\;+\;\frac{x}{\ell}\,(mg\;-\;0)\;=\;\frac{x}{\ell}\,mg$ 【解說】(Sol.1)的解法正確； (Sol.2)的解法有點問題，「因為兩端力要產生加速度$a\;=\;g$與重力加速度平衡，故代入兩端施力不等而加速的關係式」，看不懂這句話的意思。

除了這句話的意思外，解法前半與(Sol.1)相同；列式就是內插法的應用。

7.定滑輪計摩擦時（如圖，因為是硬找網路的圖故圖說與我的問題不干），是否右端施力（即右半圓與繩切點之張力）$F\;=\;f_r\;+\;G'$（$f_r$是滑輪於繩的摩擦力，而$G'$是即左半圓與繩切點之張力），但是倘若$G'\;=\;G$（$G$物重），則因為「不計繩重」而使得物體所受繩力為$G'\;=\;G$，物體當不動，然而滑輪因為$F\;>\;G'$當轉動，此豈不矛盾？不知問題安在？ （圖） 【解說】(1)繩子與滑輪接觸的整段均有摩擦力的作用，摩擦力不是作用在某一點上。

(2)滑輪為光滑時，也就是說繩子與滑輪間沒有摩擦力，繩子拉動時，滑輪應該是不會轉動的，這就是我們一般做題目時的情況。

(3)若繩子與滑輪間有摩擦時，僅考慮摩擦力的作用，此時假設滑輪並不轉動，繩子就像是在桌邊滑過一樣。

列式應為： 　右端施力F–整段接觸滑輪的繩子的摩擦力fr–物體的重量G=G的質量×加速度a (4)若繩子與滑輪間有摩擦時，考慮摩擦力作用使滑輪轉動（高二下轉動那章會講到），列式應為： 　右端施力F×力臂（即滑輪半徑R）–左端繩上張力T×力臂（即滑輪半徑R）=滑輪的轉動慣量I×轉動時的角加速度α 　左端繩上張力T-物體的重量G=G的質量×向上的加速度a 尚未登入.(登入) since2011/06/2018:23