【大宇宙小故事】12 歐幾里得故事集

話說兩千多年前，有個名叫歐幾里得的作家編了一本書，收錄將近五百則民間故事。

由於古代社會沒有著作權的觀念，歐氏在書中未曾提及這些故事的來源或 ... 大宇宙小故事  2017年03月15日2018年07月29日 CASEPRESS 作圖題,平行公設,幾何原本,歐幾里得,畢氏定理 撰文｜葉李華 話說兩千多年前，有個名叫歐幾里得的作家編了一本書，收錄將近五百則民間故事。

由於古代社會沒有著作權的觀念，歐氏在書中未曾提及這些故事的來源或出處。

整本書從頭到尾，只有他一個人的名字，因而造成後世讀者不少誤會。

他將這本書分成十三卷，每卷收錄的故事有多有少。

最少的(第二卷)只有十四個故事，最多的(第十卷)超過一百個。

這些故事發生在同一個虛擬世界，彼此有著千絲萬縷的關聯。

那個世界裡只有少數生存法則，除此之外沒有任何誡律或禁忌。

在第一卷中，歐氏首先介紹二十三個經常出現的角色，再條列出主宰這個世界的十項生存法則，然後一口氣講述了四十八個故事。

這些故事一律沒有題目，只有編號(I.01至I.48)。

既然那十項法則適用於整本書，其餘各卷就不必再重複。

但若有新角色出現，照例會在講故事前先介紹一番。

或許是為了讓讀者更有參與感，歐氏發明了一種說故事的特殊法門：先寫出開頭和結尾，再回過頭來詳述中間過程，事實證明這個大膽嘗試非常成功。

讓我們拿I.47這個故事當例子(它是整本書最有名的一篇)： 開頭：很久很久以前，有三條線段a,b,c，他們聚在一起時，會構成一個直角三角形。

結尾：終於確定他們之間有著a2+b2=c2這個關係，從此他們過著幸福快樂的日子。

過程：……(因為字數太多，僅附上歐氏手繪的插圖。

) (圖像來源：維基百科) 這個故事實在太有名，讀過的人不計其數。

有些讀者在看完後，對那個過程並不滿意(有人覺得不夠簡潔，也有人覺得不夠曲折)，於是他們採用相同的頭尾，自己構思中間的情節。

累積至今，已有大約四百種不同的版本，遙遙領先第二名。

此外，這個故事還有另一項世界紀錄，讀者為它取的名字特別多，而且每個名字都頗為耐人尋味。

畢氏定理：因為據說這個故事是畢氏原創的(並非事實)。

百牛定理：因為據說畢氏寫出這個故事之後，宰了一百頭牛祭神(並非事實)。

陳子定理：因為據說這個故事是中國古代的陳子原創的(不一定是事實)。

商高定理：因為據說中國古代的商高最先發現一個特例──邊長3:4:5的直角三角形(不一定是事實)。

風車定理：因為它的插圖頗像具有三個葉片的風車(有點道理)。

雙角定理：因為上面兩個葉片看起來像一對犄角(也算有道理)。

孔雀(尾)定理：因為有人獨具慧眼，把風車看成一隻美麗的孔雀(令人自嘆不如)。

新娘椅定理：基於一個眾說紛紜、莫衷一是的原因。

勾股弦定理、勾股定理、弦定理：因為直角三角形的三個邊，中文分別稱為勾、股、弦。

在這麼多名字當中，相信大家都會同意「勾股定理」堪稱首選。

可惜英文將「勾、股」都稱為「直角邊」(cathetus)，所以在英語文獻中，最佳的選擇是「弦定理」(Hypotenusetheorem)。

  註一(名詞對照)： 《故事集》→《(幾何)原本》 生存法則→公設與公理 角色介紹→定義 故事→命題 (故事的)開頭、結尾、過程→(命題的)前提、結論、證明 註二：《原本》共有五項公設與五項公理，詳細內容如下。

但從現代數學的觀點，公設與公理並無明顯區分，故可統稱為十項公理。

五項公設： 1.任意兩點之間都能畫出一條直線。

2.一個線段的兩端可以延伸任意長度。

3.使用任何圓心、任何半徑都能畫出一個圓。

4.所有的直角彼此都相等。

5.如果一條直線與另外兩條直線相交，所產生的兩對內角其中一對之和小於兩個直角，那麼上述兩條直線在無限延伸後必定相交於內角和較小的那一側。

說明：最後這項就是「平行公設」的原始版本，內容複雜且不易理解。

目前通用的版本是如下的等價敘述：「在平面上有一條直線，以及線外一點，你剛好能畫出一條通過那個點且平行那條線的直線。

」 五項公理： 1.分別等於某量的兩個量彼此相等。

2.相等的兩個量各加上同一個量結果仍相等。

3.相等的兩個量各減去同一個量結果仍相等。

4.能重合的物件就是相等的物件。

5.整體大於局部。

說明：上述的五項公設顯然和幾何都有直接關係；而在五項公理中，只有第四項(能重合的物件就是相等的物件)是幾何問題的專利，其餘各項則是幾何與代數皆適用。

註三：用今天的說法，《原本》中的命題分為兩大類，一是「幾何定理」，二是「幾何作圖題」。

不過嚴格說來，後者只是前者的特例，換言之也是定理。

例如《原本》中的第一個命題就是作圖題，仍可將它寫成如下的故事： 開頭：很久很久以前，某人要執行一件艱難的任務，能使用的工具只有一把圓規和一支沒有刻度的直尺。

結尾：他終於設法根據給定的長度畫出一個等邊三角形，從此過著幸福快樂的日子。

過程：…… 註四：在歐氏幾何中，作圖題只能使用圓規和沒有刻度的直尺，因此留下所謂的「三大難題」： 1.給你一個任何角度的夾角，請你將它等分成三個角。

2.給你一個立方體，請你將它的邊長延伸，做出一個體積剛好是兩倍的立方體。

3.給你一個圓，請你畫出一個正方形，使得方圓的面積相等。

以現代眼光來看，這三個題目都是不可能的任務，換言之，數學家能夠嚴格證明它們根本無解。

或許正因為如此，這三題並未收錄於《原本》中。

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