機率論- PDF 免费下载

Laplace 在機率的解析論中, 為古典機率下了以下的定義: 設某隨機試驗之樣本空間Ω 有n 個元素, 且每一元素出現之機會均相等, 若A 為Ω 之一子集, ( 又稱A 為一隨機事件), 則 ... 機率論 SHARE HTML DOWNLOAD Size:px Startdisplayatpage: Download"機率論" Error: DownloadDocument 幼古 5yearsago Views: 1 2科學文化的提昇,不是一蹴可及,必須付出很大的心力,歷經很多年代,才能看出一些端倪;不是製造幾顆核彈,發表幾篇論文或者得到某些大獎就代表某個國家如何先進有二個因素是十分重要的,其一是按步就班全心投入;其二是針對當時的需要,集思廣益,努力解決台灣這些年來各方面的進步是有目共睹,就因為如此有很多人產生了更高期望,恨不能明天一早,我們就躋身列強之林,國民所得超過日本,科學技術趕上英美,文學藝術不輸德法蘇俄如果我們平心靜氣探討這些國家是如何達到今日的局面,我們不難看出,羅馬不是一天造成的,羅馬也不是天才的結晶,雖然你我都不是天縱奇才,但我們卻不應該放棄對國家社會的一分關愛和努力,這就是我寫這本書的動機在成大數學系教了十多年的機率論,用過一些英文教本,有的很深,有的容易,但嚴格說來,都不可一成不變的教下去,理由有二,其一我們的大學生所學的高中數學和大一微積分與美國大學生並不一致;其二是機率論經過二百多年的演進有不少新東西,這些新觀念不是一般理工大學生所能領必須有更進一步的工具才能登堂入室享受這些智識職是之故,機率論的教學就必須針對以上條件去搜集資料而編成教材;十多年來,本人的講義就在此一構想之下,每年增增改改,四年前又接下應數所的高等機率論課程,因此深深体認,大學機率論必須提昇到更高境界,否則訓練出來的學生將難以勝任研究所的課程如今,講義大致已經定型,乃決心付印,本書主要特點如下:一以公設化方法界定機率空間,這是機率的基礎,然後和古典機率銜接起來,一方面可以避免要的詭論,另一方面也不會過分空泛不著邊際;二以抽象積分方式界定期望值,一般初等機率論書籍,多半利用密度函數來界定期望值,但因許多分配並無密度函數,這種定義方法無異畫地自限我們在第五章中採用以抽象積分方法界定期望值,此一方法包含了傳統的定義,也可適應進一步的研究和發展;三介紹特徵函數,Laplace變換和Fourier變換在分析學中極具重要性,應用于機率論更屬不可或缺,但以前者所得之動差生成函數,往往有存在性問題,而以後者所得之特徵函數,在第六章中我們可以確認它並沒有不存在的道理,因此,其重要性遠非動差生成函數可以比擬;四跟隨機率發展史,介紹收斂理論,許多學過機率的人對於中央極限定理和大數定律,往往不能領略其意義和重要性,本書特別由歷史的角度探討這兩個主題以使讀者有全盤的認識2 3本書主要的對象為大學理工管理學院之學生,緊接初等微積分的步伐,以一貫嚴格旳數學精神寫成對於部分讀者或許會稍感深奧,其實,清楚的界定,邏輯的推演,才是學習數學最佳的途徑如有誤謬或未盡明白之處,歡迎來函賜正最後,本人要特別感謝成大數學系林宜禧陳珍漢以及李育嘉三位教授,在他們擔任系主任期間,給予我講授機率論這門課的機會當然更要感謝比利時魯汶大學數學所R.Ballieu教授,由於他,我才開始認識現代的機率論顏國勇1987年九月於成大數學系本書經過一再修訂,在1998年發行再版,由於機率論屬於較冷門課程,第一版發行以賠本收場,第二版則勉強打平但本於此書對於修課學生及其他機率入門者,或有些許幫助,當不計盈虧全力以赴不少人在退休之後,投身志工,回饋社會筆者退休數年,自認應以餘年對於社會略盡棉薄之力,乃決定重編此書,而成另類志工退休前之教學過程中,發現書中有若干錯誤或不週全之處,必須修改,然而原先以軟體CTEX編輯而成之檔案,先天上受限於只能在DOS環境工作,而發行CTEX之倚天公司無意將它升級為Window版,換言之,CTEX已無法再使用,筆者唯一的選擇乃改為以軟體cwtex排版系統重編此書此二編輯軟體,前者為PlainTEX,後者則為LaTEX,雖為近親,但語法差異頗大,古稀之年重新學習一種新語法,辛苦之程度可以想見,經過數個月的努力,克服困難,終於完工近年來,網際網路發展迅速,本書之修訂三版,不再以傳統印刷和大家見面,僅以網路電子書面貌問世,或可幫助更多各地使用中文之讀者尚望各界先進不吝指教顏國勇2011年九月於台灣台南3 4目錄序2本書之主要數學符號61機率概論隨機試驗機率論的歷史及古典機率σ域機率空間條件機率獨立性第一章習題隨機變數隨機變數隨機變數之分配函數隨機變數之分類常用離散型隨機變數常用連續型隨機變數奇異分配與混和型分配隨機變數變換之分配函數隨機變數變換之密度函數第二章習題隨機向量隨機向量及其分配常用隨機向量之分配隨機向量之分配函數邊際分配條件分配隨機向量之變換變換與捲積 5第三章習題期望值隨機變數之期望值期望值之性質及定理常用隨機變數之期望值及變異數Chebyshev不等式Cauchy-Schwarz不等式與協方差條件期望值及條件變異數第四章習題特徵函數複數隨機變數與其期望值隨機變數之特徵函數隨機向量之特徵函數第五章習題隨機變數之獨立性隨機獨立獨立性與特徵函數之關係第六章習題極限定理機率論發展初期的極限問題收斂性中央極限定理大數定律第七章習題參考資料226答案與提示227附錄234漢英名詞索引246英漢名詞索引2495 6本書之主要數學符號數系N:自然數系(不含0)Z:整數系Q:有理數系R:實數系R+:非負實數集合(含0)R=R\{0}R+:正實數集合C:複數集合機率符號(數字表首次出現之頁數)第一章E:隨機試驗8Ω:樣本空間9P(A):A之機率10#A:A之基數10P(Ω):Ω之冪集13A:A之餘集14F:域σ域16σ(c):包含C之最小σ域19(Ω,F):可測空間20B:一維Borel域20B2:二維Borel域20limsupan:{An}n之上極限21liminfan:{An}n之下極限21liman:{An}n之極限21(Ω,F,P):機率空間23A+B:互斥聯集23Aj:互斥聯集23P(AB):條件機率33AB:獨立38AB:對稱差43第二章X1:像原46IA:指標函數47X=Ya.s.:殆必相等48PX:機率分配函數48{Xa}:像原50X+:X之正部分50X:X之負部分50FX:累積分配函數53fX:密度函數56B(n,p):二項分配61P(λ):Poisson分配64H(m,n,r):超幾何分配66NB(r,p):負二項分配68N(µ,σ2):常態分配70G(α,β):Gamma分配71Γ(α):Gamma函數71χ2r:卡方分配72U(α,β):均勻分配75C(µ,σ2):Cauchy分配76Φ(x):標準常態分配86第三章X,Y:隨機向量97f(x1,,xk):聯合密度函數100f1:邊際密度函數109f(x1x2):條件密度函數111Jh1(y):Jacobian120第四章6 7E[X]:期望值129VarX=σ2(X):變異數132C(X,Y)=Cov(X,Y):協方差146ρ(x,y):相關係數146E(Yx):條件期望值150Var(Yx):條件變異數150第五章φX:特徵函數163MX:動差生成函數171ηX:階乘動差生成函數171XndX:分配收斂208LXrnX:Lr收斂208附錄一Hn,k:重複組合235Pn,k:排列235()nCn,k=:不重複組合(二項係數)235k()n:多項係數238n1,...,nr第六章X:樣本平均195第七章Xna.s.X:殆必收斂208XnPX:機率收斂2087 8Chapter1機率概論太陽下了山,我們確信它明朝依舊會爬上來;一棵落了葉的樹木,我們卻不能肯定它是否會在明年春天再度萌出新芽;同樣地,一駕嶄新的飛機也沒有人能保證它的處女航一定平安無事;我們可以繼續舉出更多的例子,其中除了很少數的情形之外,都充滿了不確定性,固然我們可以感嘆世事無常,但也可以進一步了解這種無常是否也具有一些常理,嶄新的飛機之處女航百分之九十九以上是安全的,一枚錢幣丟在桌上雖不一定是正面,但拋擲了一千次,總會有一半左右是正面,機率論是研究這類問題的一個十分重要之基礎工具.波蘭數學家M.Fisz說:機率論為數學的一支,其目的在於顯示及研究隨機事件之規則性.關於隨機事件一詞,我們將於隨後詳細說明.1.1隨機試驗所謂試驗(experiment)係指在某些固定條件,可重複施行的一種程序,而且可以由此觀察出某些結果者,試驗通常分為以下二類:第一類是命定試驗(deterministicexperiment),就是在固定條件下,我們所觀測之結果乃為確定者.例如,純水在溫度100C及氣壓760mmHg下,其結果乃為沸騰;又例如在地球上手持一石頭,手一鬆,則石頭運動之方向必定垂直於地面.第二類是隨機試驗(randomexperiment),就是在固定條件下,其觀測之結果不為唯一,且於試驗實施前不能肯定其結果者,(頂多知道可能結果之集合).有一種原子筆,在筆之上端一按,則筆尖伸出,再按則筆尖縮回,這種試驗雖有進與出二種結果,但每次試驗之前,即已知道結果,故為命定隨機試驗,而非隨機試驗,本課程雖以探討隨機試驗為主,但將必然性(即機率等於一)之情況排除在外,亦不適宜,採取較為寬廣之研究範圍實屬必要.以下我們將先舉一些隨機試驗之例,以加深讀者之印象,為方便計,我們將以E表示隨機試驗.ProbabilitytheoryisapartofMathematicswhichisusefullindiscoveringandinvestigatingtheregularfeaturesofrandomevents.8 91.2機率論的歷史及古典機率9E1:擲一骰子,而觀察其(頂面)出現之點數;E2:擲一錢幣,而觀察其出現為正面或反面;E3:擲一錢幣四次,而觀察其正反兩面之次序;E4:觀察某大醫院之產房,每位產婦生產之嬰兒為男或為女或其他(包括畸形或死胎);E5:某一日光燈工廠,隨機取出一支燈管點亮之,而觀察其壽命為若干小時;E6:觀察某一地點,每日最高及最低溫度;E7:在區間[0,1]中,隨機抽取一數.定義1.1對於某一隨機試驗E,所有可能結果(我們所欲觀察者)所成之集合稱為一樣本空間(samplespace),並以Ω表之.1.2機率論的歷史及古典機率談到機率論,我們很容易聯想到,它與骰子紙牌及硬幣等賭博遊戲有關,但它之所以能成為一門學問,其中因素之一固然賭博有關,然而如同許多學科一樣,其發展之原動力,經濟因素才是主因,不少學者深信乃是資本家渴望從學術上求得比占星術更為可靠的指導.儘管有人指出,在十五六世紀一些有關機率問題的計算曾出現在義大利數學家Cardano等的論著之中,但比較廣泛的機率問題解法,則出現在法國數學家B.Pascal與P.deFermat始於1654年著名的通信上.隨後,荷蘭數學家C.Huygens()發表了有關機率的第一本書DeRatiociniisinLudoAleae(機會遊戲之計算,1657),而真正使機率成為一門學問,則始於瑞士的JakobBernoulli(),在他死後才出版的ArsConjectandi(猜測的藝術,1713),以相當嚴格的數學寫出有關機率論中第一個極限定理大數定律(詳見第七章),由於Bernoulli所提出二項分配中,(nx)pxqnx的計算十分麻煩,法國數學家A.deMoivre()在MiscellaneaAnalyticaSupplementum(分析方法,1730)一)文中,首先嘗試以分析方法解決pxqnx,當p=1/2時,之近似值,這是中央極限定理之起(nx源.獨立條件機率及數學期望值都是deMoivre所創立的概念.法國數學大師P.-S.Laplace()綜合各家研究成果而完成ThéorieAnalytiquedesProbabilités(機率之解析論,1812)一書中,更將deMoivre的中央極限定理推廣而適用於一般的p值.此外,他也將機率方法應用於誤差理論之中.十九世紀的機率學者,多半關注於機率的極限理論之上,其中法國人S.D.Poisson()於1837發表了有關Poisson分配,以另外一種方法解決二項分英文名為JamesBernoulli,法文名為JaquesBernoulli. 101.2機率論的歷史及古典機率10配近似值之問題.德國數學家K.F.Gauss()則利用常態分配函數觀念開創了誤差理論研究的新方向及最小平方法的基礎.以法國數學家為中心的機率論研究,在十九世紀末葉開始轉移到俄國.P.L.Chebyshev(),A.A.Lyapunov()等致力於獨立隨機變數之和的極限問題,也就是所謂大數定律以及中央極限定理的研究.其中的Markov更創立了,近代機率論中十分重要的Markov鏈.微積分發明之後的數學界,很多數學家將分析學做了十分穩固的扎根工作,於是機率論便由有限個數的組合問題,推廣而為以線段之長短及面積之大小為基礎的幾何機率論,以分析的方法注入機率論的基礎,帶來這門學問更為嚴密的骨架,然而一些似是而非的矛盾說法,如Bertrand的詭論,卻不時困擾著這門學問,二十世紀初E.Borel()在測度論上的新理論,促使俄國大數學家A.Kolmogorov於1933年宣布以公設法做為機率論的基石,奠定了機率論的數學基礎年代以後,除了有些數家如P.Lévy及W.Feller在中央極限定理有很好的成果,A.Kolmogorov的強大數定律令人十分激賞之外,部分學者則以Markov鏈開創機率論研究的新方向,探討非獨立隨機變數之隨機過程.二次大戰之後由於純粹數學在賦範空間(normedspace)理論上的進展,機率學者開始將這門學問帶進抽象的領域.現在讓我們來看看什麼叫做機率.Laplace在機率的解析論中,為古典機率下了以下的定義:設某隨機試驗之樣本空間Ω有n個元素,且每一元素出現之機會均相等,若A為Ω之一子集,(又稱A為一隨機事件),則事件A發生之機率為:P(A)=#An=#A#Ω,內#A表A之基數(cardinalnumberofA).例1.一骰子連擲兩次,試問二次點數不同之機率為若干?解此一試驗之樣本空間為Ω={(a,b)a,b{1,2,3,4,5,6}}={(1,1),(1,2),,(6,6)}.顯然#Ω=36,而事件二次點數不同應為A={(a,b)Ωab}=Ω\{(1,1),(2,2),,(6,6)}.(如圖11)由於樣本空間Ω中每一序對出現之機會均為相等,故知二次點數不同之機率為P(A)=#A#Ω==56. 111.2機率論的歷史及古典機率11圖11例2.(deMéré的詭論)法國人deMéré在很多次賭博中,發現擲三個骰子得11點之機會較得12點為高,但11點之組成有(以下每一組括號視為一組合)(1-4-6),(1-5-5),(2-3-6),(2-4-5),(3-3-5),(3-4-4)等;而12點之組成有(1-5-6),(2-4-6),(2-5-5),(3-3-6),(3-4-5),(4-4-4)等,二者均有六種情形,機率應為相等,他將此一矛盾情形就教於B.Pascal.Pascal以排列的關念解釋說:(4-4-4)只有一種種可能就是第一第二及第三個骰子都出現4點,表為(4,4,4).但(3-4-5)則有以下六種可能(排列)(3,4,5),(3,5,4),(4,3,5),(4,5,3),(5,3,4),(5,4,3),因此,得11點之機率為P1=得12點之機率為P2=前者確較後者為大,此與實驗結果並無二致.=,=,註:以抽樣方式討論機率問題是古典機率十分常見的方法,我們知道排列組合共有四種:重複排列重複組合不重複排列不重複組合(後二種簡稱排列與組合,參見附錄一),其中重複組合通常不宜用以討論機率問題,最簡單的例子是丟二錢幣,若以重複組合視之,有二正一正一反二反三種情形,但其中出現二正或二反之機率皆為1/4,但出現一正一反之機率為1/2.deMéré以重複組合處理機率問題,擲三個骰子共有H6,3=()=56種情形,他提出的三骰共計11點和12點各有六種情形,其誤謬乃由於以重複組合解決此類問題所產生. 121.2機率論的歷史及古典機率12在Laplace的定義中,對於每一元素出現機會不完全相之情形並不適用,因此有人略加推廣而得以下定義:設某隨機試驗之樣本空間Ω={ω1,ω2,,ωn},若基本事件{ωj}發生之機率為pj,(p1+p2++pn=1).則事件A={ωj1,ωj2,,ωjk}(Ω)發生之機率為:P(A)=pj1+pj2++pjk.上述定義內,每一基本事件{ωj}之機率在事前既已確定,因此稱為事前機率或主觀機率(aprioriprobability).然而事前機率如何知悉卻為一大困難,解決此一問題,VonMises乃於1920年利用J.Bernoulli的相對頻率觀念,提出所謂試驗機率的觀念:設某一隨機試驗重覆了n次,而事件A發生之次數為k,則率(relativefrequency).如果相對頻率之極限率.klimn+n上述觀念,對於某些樣本空間為無限的情況,可加以利用,如:k稱為事A之相對頻n存在,則以此為事件A之機例3.從自然數中,隨機任取一數,試求取出之數為7之倍數之機率為若干?解此試驗之樣本空間為Ω=N,而事件取出之數為7之倍數為A={7nnN}={7,14,21,},先考慮自集合{1,2,,n}中隨機抽取一數,由餘數定理知,k(n){0,1,,n},r(n){0,1,2,3,4,5,6},使得n=7k(n)+r(n),內r為餘數.是以得數為7之倍數之相對頻率為則其極限顯然為k(n)n=nr(n)7nk(n)limn+n=limn+=(7(1r(n)n1r(n)n故從自然數中隨機任取一數而得7之倍數之機率為1/7.),)=17.多數的情形不像上例一樣,可經由n趨近於正無限大而求得A之發生之機率.當然,一般而言,當n越大,相對頻率與A發生之機率也越接近(參閱第七章大數定律),但究竟應大到什麼程度,實無一定法則可資遵循.由上述古典機率的觀念可獲得以下的性質: 131.2機率論的歷史及古典機率131機率乃樣本空間子集合之函數.意即P:P(Ω)R,內P(Ω)表Ω之冪集;2一事件(即Ω之子集)之機率不得為負,不得大於1;3整個樣本空間Ω發生之機率為1;4若A與B為Ω之二互斥子集,則P(AB)=P(A)+P(B).此外尚有其他很多性質,但均可由以上四項一一推導而得,於是我們可以公設化的方法規定(古典模式之)機率函數如下:設P:P(Ω)[0,1]滿足:(1)P(Ω)=1;(2)A,BΩ且AB=,則P(AB)=P(A)+P(B).則稱P為一機率測度,而P(A)則稱為事件A(發生)之機率.在上述定義中,Ω之任一子集必須對應介於0與1之間之一實數,為此子集之機率,但有時我們只關心樣本空間Ω中某些子集(而非每一子集)之機率.例如,從警方之肇事車禍統計資料顯示:(以下數字均為虛構)男性喝酒者(指酒精檢測值超過0.55)佔58%,女性喝酒者佔22%,男性不喝酒者佔13%,為方便計,令Ω=樣本空間=全部肇事車禍者集合,A=Ω中之男性喝酒者,B=Ω中之女性喝酒者,C=Ω中之男性不喝酒者,圖12則我們知道以下諸機率(比率):P(A)=0.58,P(B)=0.22,P(C)=0.13,P(AB)==0.80,(Ω中喝酒者之機率)P(AC)==0.71,(Ω中男性之機率)P(BC)==0.35,P(ABC)==0.93,P(Ω)=1. 141.2機率論的歷史及古典機率14雖然在原始資料中未曾列出D=Ω中之女性不喝酒者之機率,但因A,B,C,D為兩兩互斥且Ω=ABCD,故P(D)=1P(A)P(B)P(C)=此外,我們也很容易求出P(AD),P(BD),P(CD),P(ABD),P(BCD),P(ACD)等.就以上資料而言,我們不知道(也不關心)車禍者中會抽菸者之機率為多少.這正說明:機率測度P不需要也不能夠以Ω之冪集P(Ω)為其定義域,我們僅需以{,A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,Ω}做為P之定義域,由此看來做為P之定義域F須滿足以下條件:1FP(Ω);2F;3若AF,則AF,(其中A=Ω\A乃A之餘集,亦常寫為Ac);4A,BFABF;5A,BFABF;但條件5可由條件3及4蘊涵而得,因為A,BFA,BFABFAB=(AB)F.因此5可以省略,換言之,F對於差集聯集交集均有封閉性.我們規定如下:定義1.2設Ω為一非空集合,(暫不討論隨機試驗及其樣本空間),其冪集合P(Ω)之子集F若滿足以下三條件,則稱其為Ω之一域(field).(1)F;(2)AFAF;(3)A,BFABF.由於微積分的發明,機率中很早就引進了幾何機率的概念,幾何機率簡單的說:就是以線的長短,面積體積的大小來研究機率. 151.2機率論的歷史及古典機率15例4.自區間[0,1]中隨機取一數,試求所得之數出現下列集合之機率各若干?[A=0,1](1],B=22,1,C=[0,1]Q.解(1)由於樣本空間Ω=[0,1]之長度為1,而集合A乃為事件所得之數出現於區間[0,1]1,我們應以A之長度,即22,為其機率.(2)至於B,我們以二種不同方法考慮.法一:由於AB=,AB=Ω,故應有1=P(Ω)=P(A)+P(B)=12+P(B),是以P(B)==12.(1]法二:我們直接研究B之長度,由於區間2,1可視為序列[,1],之極限,而上述各閉區間之長度分別為[,1],,[n,1],,,,,n,,1此序列之極限顯然為2,1亦即我們可以做為B之長度,換言之,所得之數出現在21B之機率為2.(3)至於C=[0,1]Q,有人認為C之長度無法求出(或無長度可言),十九世紀末,法國數學家Lebesgue以較進步的觀念提出上述集合之測度(measure)觀念,(參閱Royden[16]).其中可證得零測度集合之可數聯集亦為零測度;已知單點集合為零測度,而C為可數,故C之長度為0,即抽得之數出現在集合C之機率為0.由上例中我們發現一集合序列{An}n,如果每一集合An皆有機率,則其可數聯集(及可數交集)亦應有機率,因此以域做為機率之定義域是不夠的.此外在Lebesgue的觀念裡,並非[0,1]之任一子集均為可測(measurable),也就是說有些集合並沒有長度可言,因此不能有機率的觀念,本世紀初E.Borel以區間之可數聯集可數交集差集等研究實數系R的可測集合(詳見第三節).根據此一構想,機率測度P之定義域顯然仍需加以修正;這正是Kolmogorov在1933年所提公設化機率論的數學基礎.在沒有介紹Kolmogorov公設化定義之前,我們先看看幾何機率中著名的詭論之一Bertrand的詭論.這個詭論乃是說明,解決幾何機率問題,以直觀概念已不足以應付,必須另行設法才行. 161.3σ域16例5.設一等邊三角形,邊長為a,外接一圓,於圓內隨機作一弦,試問弦長l大於a之機率為若干?(參閱圖13).解(1)平行法:令外接圓之半徑為r,並設所做之弦均平行於Y軸,若此弦之中點在X軸(上之區間r2,r)1,則弦長l大於a,故其機率為22.圖13(2)旋轉法:設弦之一端固定於原點O,若弦OP與X軸之夾角θ小於30時,則弦1長l大於a,故其機率為3.(3)中點法:做二同心圓,外圓半徑為r,內圓半徑為弦長l大於a,是以其機率為r2,若弦之中點落在內圓之內部,則14,(內圓面積為全部面積的1/4).以直觀方法探討本題之機率,得出以上三種不同之答案,皆言之有理,因此,對於機率論之研究,須另尋更為可靠之方法.1.3σ域在上節中我們業已發現以域做為機率之定義域是不夠的,必須加以調整,好使它對於集合之可數運算具封閉性,此乃本節之目的.定義1.3設Ω為一非空集合.冪集合P(Ω)之子集F若滿足以下條件,則稱其為Ω上一σ域(σ-field亦稱σ-ring或σ-algebra):(F1)F;(F2)若AF,則AF;(F3)若jN,AjF,則AjF;(即F對可數聯集具封閉性).jN我們將先探討有關σ域的一些性質,其次再舉些相關的範例. 171.3σ域17定理1.4設F為Ω上之一σ域,則(1),ΩF;nn(2)若A1,,AnF,則AjF,且AjF,(即F對於有限交集及有限聯集具封閉性);(3)若jN,AjF,則AjF,(即F對可數交集具封閉性);jN(4)若A,BF,則A\BF,(亦即F對差集具封閉性).證(1)由(F1)知F中必有元素,令AF.又由(F2)知AF,今令則由(F3)知,A1=A,A2=A3==A,Ω=AA=此外空集合乃Ω之餘集,是以F.(2)令An+1=An+2==,則由(F3)知其次nAj=++AjF.AjF,A1,,AnFA1,,AnFn(Aj)F,(由(1))(3)由DeMorgan定律知,n(n)Aj=(Aj)F,(DeMorgan定律.)jN仿(2)證明之後半部知其必屬於F.()Aj=(Aj),(4)因A\B=AB之故.jN 181.3σ域18例1.F={,Ω}乃為Ω上之一σ域.例2.F=P(Ω)亦為Ω上之一σ域.例3.若A為Ω之一非空真子集,則F={,A,A,Ω}亦為Ω上之一σ域.圖14例4.設Ω為一不可數集合,試證:為Ω上一σ域.F={AΩA為至多可數或A為至多可數}證因FP(Ω)且滿足(F1)F,此因顯為F之元素.(F2)若AF,則A為至多可數或A為至多可數,是以AF.(F3)設jN,AjF,1若每一Aj均為至多可數,則+Aj亦必為至多可數,故必屬於F.2若存在Ak不為至多可數,即不可數,則Ak必為至多可數,此時因()Aj=jNAjAk,(是以jNjNAj)必為至多可數,故AjF.jN以上四例均為σ域,當然亦為域;但非所有的域均為σ域.例5.設Ω為一可數集合,(例如Ω=N),則F={AΩA為有限或A為有限}為Ω上一域,但非σ域,(讀者自證之).至多可數(atmostdenumerable)係指有限或無限可數,有些學者稱其為countable. 191.3σ域19以下我們將研究如何將P(Ω)之一子集C產生一σ域.定理1.5設C為P(Ω)之一子集,則F={FjFj為Ω上之σ域且FjC}def為Ω上之一σ域,顯然F為包含C之最小σ域.證因為(F1)各Fj中均有及Ω二元素,故其交集F亦然,是以F.(F2)由於AF(j,AFj)(j,AFj)AjFj=F.(F3)由於A1,A2,,Ak,FA1,A2,,Ak,Fj,j+k=1AkFj,j+k=1akjFj=F.註:二個以上之σ域之聯集,則未必為一σ域.(習題).定義1.6設CP(Ω),則上述σ域F稱為C所產生之σ域(σ-fieldgeneratedbyC),並記為σ(c).例6.若A為Ω之一非空真子集,C={A},則C所產生之σ域為(參見例3).σ(c)=σ({a})={,A,A,Ω}. 201.3σ域20定義1.7設F為Ω上σ一域,則稱序對(Ω,F)為一可測空間(measurablespace).註:如果沒有特別聲明,當樣本空間為有限或可數時,我們將取P(Ω)為其σ域,當樣本空間為不可數時,則取較P(Ω)為小之σ域,但將予以說明.定義1.8設(Ω,F)為一可測空間,A為Ω之一非空子集,令FA={BABF},(顯然FA為集合A上一σ域),我們稱(A,FA)為(Ω,FA)之一子可測空間(measurablesub-space).重要之可測空間(1)一維Borel域設C0={II為R之子區間}P(R),則C0所產生之σ域σ(c0)稱為一維Borel域(one-dimensionalBorelfield),並以B表之.區間單元集合有限集合有限個區間之聯集可數個區間之聯集以上各集合之餘集等等均為B之元素,我們稱其為Borel可測集合,與Lebesgue可測集合有微小差別,此外B不等於P(R),(參閱附錄二).(2)二維Borel域設C0={IJI,J為R之子區間}P(R2),則C0所產生之σ域σ(c0)稱為二維Borel域(two-dimensionalBorelfield),並以B2表之.在實變函數論中,我們可以證明:R2之任一開集合,皆可表為可數個C0元素之聯集,因此,R2上之多邊形圓形開集合閉集合及其他各類平面圖(只要用筆畫得出來)之有限或可數聯集交集餘集等均為B2之元素.(3)k維Borel域設C0={I1I2IkI1,,Ik為R之子區間}P(Rk),則C0所產生之σ域σ(c0)稱為k維Borel域(k-dimensionalBorelfield),並以Bk表之.Wheeden&Zygmund,MeasureandIntegration.Theorem1.11 211.3σ域21定義1.9設{An}n為一集合序列,(1)我們稱集合n1knAk為序列{An}n之上極限(upperlimit),並且表為limsupan,或limn+An,(無誤解之可能時簡為limsupan);n+(2)我們稱集合Ak為序列{An}n之下極限(lowerlimit),並且表為n1knliminfAn,或limn+An,(亦可簡為liminfan);n+(3)若{An}n之上下極限相等,則稱{An}n之極限存在,並且稱此集合為{An}n之極限,而記為limn+An,或liman,亦即limAn=limsupn+n+An=liminfn+An.(4)若{An}n之上下極限不相等,則稱{An}n之極限不存在.對於實數序列{an}n,在微積分中,我們討論了它的極限觀念,而在高等微積分中,更進一步研究其上下極限:limsupn+an,liminfn+an.機率論中則是模仿分析學之觀念而有所謂集合之上下極限,對於機率之理論探討頗為重要.然而上述定義,對於初學者而言過份深奧難懂,有加以簡化之必要,以下定理除了幫助我們了解上下極限之意義外,尚可賴此解決一些問題.定理1.10設{An}n為一集合序列,則(1)limsupan={ωωAni.o.},(其中i.o.係infinitelyoften之縮寫,ωAni.o.表示ω屬於無限許多個An.)(2)liminfan={ωωAna.a.},(內a.a.係almostall之縮寫,ωAna.a.表示ω屬於每一個An除了有限個.)(3)liminfanlimsupan.221.3σ域22證(1)由定義知,ωlimsupanωn1knAknN,ωknaknN,kn,ωAkωAni.o.(2)由於,ωliminfanωn1knAknN,ωknaknN,kn,ωAkωAna.a.(3)由(1)及(2)立即可得.例7.設A1=A3==[0,2],A2=A4==[1,3],試求limsupan及liminfan.解利用定理由於x[0,3],xAni.o.,而當x[1,2],xAn,nN,但當x[0,3]\[1,2],xAna.a.顯然不真,是以limsupan=[0,3],liminfan=[1,2].圖15定理1.11(1)若{An}n為一單調遞增序列,即nN,AnAn+1,則liman=nNAn.(2)若{An}n為一單調遞減序列,即nN,An+1An,則liman=nNAn.231.4機率空間23證(1){An}n為一單調遞增序列Ak=k,Ak=Anknk1Aknk=n1knaAk,k=k1n1knan1Anlimsupan=k1Ak=n1An=liminfanliman=n1An.(2)仿(1),讀者自證之.定理1.12設(Ω,F)為一可測空間,若nN,AnF,則limsupan及liminfan均屬於F.證易明.1.4機率空間定義1.13設(Ω,F)為一可測空間,若P:F[0,1]滿足1P(Ω)=1,2P具σ加法性,即:若{Aj}jN為F之一互斥序列,則P(+Aj)=+P(Aj).(見下註)則稱P為(Ω,F)上之機率測度或機率(probability(measure)),此時(Ω,F,P)則稱其為一機率空間(probabilityspace);而F之元素稱為一(隨機)事件((random)event);若單元集合{ω}為一事件,則稱其為一基本事件(elementaryeventorsimpleevent).註:(1)若AB=,則規定A+B=AB;若AB,則A+B無意義;(2)若J為有限或可數集合,{Aj}jJ中兩兩互斥,則規定Aj=Aj;jJjJ(3)若存在ij使得AiAj,則Aj無意義.jJ我們稱這種聯集稱為互斥聯集(disjointunion).241.4機率空間24定理1.14P()=0.證設A1=A2==,則{Aj}jN為F之一互斥序列,由P之σ加法性知P()=P(+Aj)=+P(Aj)=+P(),若P()>0,則上述等式之右端等於+,顯然矛盾,是以P()=0.定理1.15設(Ω,F,P)為一機率空間,則(1)P具有限加法性,即:若A1,,An為兩兩互斥事件,則其互斥聯集之機率為(n)PAj=nP(Aj).(2)若AF,則P(A)=1P(A).(3)若A,BF且AB,則P(A)P(B).證(1)令An+1=An+2==,則{Aj}jN為一互斥序列,故(n)PAj=P(+(2)因為A與A為互斥,由(1)知,Aj)=+P(Aj)=nP(Aj).(3)若A,BF且AB,則1=P(Ω)=P(A+A)=P(A)+P(A).P(B)=P(A)+P(B\A)P(A).圖16註:即使A為B之真子集,亦未必有P(A)

0,則函數P(A):F[0,1]:P(BA)=P(BA)P(A)稱為給A後之條件機率(測度)(conditionalprobability(measure)givena),而P(BA)則稱為給A後,B之條件機率(conditionalprobabilityofBgivenA).性質:若A,B均為事件,且P(A)>0,則P(AB)=P(BA)P(A).定理1.19定義1.18中之函數P(A)為(Ω,F)上一機率測度.證顯然,BF,P(BA)[0,1],此乃說明函數P(A)為妥當定義(well-defined).此外,1P(ΩA)=P(ΩA)P(A)=1;2若{Aj}jN為一兩兩互斥事件序列,則((+)PA())+1AjPAjA==P(A)=(+)P1(AAj)P(A)+1P(AAj)+=P(AjA).P(A)定理1.20[乘法定理(multiplicationtheorem)](n1)設(Ω,F,P)為一機率空間,A1,A2,,AnF,且PAj>0,則(nPAj)=Pn1(An)AjPn2(An1Aj)P(A2A1)P(A1).341.5條件機率34證利用數學歸納法證明之.當n=1時,原敘述顯然為真,當n=2時,由定義1.18之後的性質知P(A1A2)=P(A2A1)P(A1)亦為真;假設n=k時原敘述為真,往證n=k+1時原敘述為真.(k+1P)((kAj=PAj)Ak+1)k)=P(Ak+1Ajk=P(Ak+1)AjP(kPAj)k1(AkAj)P(A2A1)P(A1).或許有人會問,為什麼定理1.16稱為加法定理,而定理1.20稱為乘法定理?因為集合論發展初期,有人稱二集合之聯集(union)為二集合之和(sum);而稱二集合之交集(intersection)為二集合之積(product);由於定理1.16恰為求事件A1,,An聯集之機率,故稱為加法定理,而定理1.20則為求事件A1,,An交集之機率,故稱為乘法定理.例2.一盒子中置12球:三藍四白五紅,今以隨機不放回方式抽取四球,試求:(1)第一球為藍,第二球為白,第三第四球均為紅之機率;(2)前三球為白,第四球不為白之機率.解設球之集合為則此試驗之樣本空間為(1)設T={藍1,藍2,藍3,白1,白2,白3,白4,紅1,紅2,紅3,紅4,紅5}.Ω={(a,b,c,d)a,b,c,d相異T}.B1=事件第一球為藍色={(a,b,c,d)Ωa為藍};W2=事件第二球為白色={(a,b,c,d)Ωb為白};R3=事件第三球為紅色={(a,b,c,d)Ωc為紅};R4=事件第四球為紅色={(a,b,c,d)Ωd為紅};則第一球為藍,第二球為白,第三第四球均為紅之機率為P(B1W2R3R4)=P(R4B1W2R3)P(R3B1W2)P(W2B1)P(B1)=49=351.5條件機率35(2)第四球不為白,即為藍或為紅,分別表為B4及R4,故所求機率為P(W1W2W3(B4R4))=P(B4R4W1W2W3)P(W3W1W2)P(W2W1)P(W1)=89=這一類問題若以樹圖(treediagram)加以說明,則一目了然.圖上圖中第一欄之分數12,412,5分別表第一球抽得藍白或紅之機率;第二欄之122表條件機率:第一球抽得藍球後,第二球再抽得藍球之條件機率,亦即11P(B2B1)=211,其餘同理.定理1.21[全機率定理(Totalprobabilitytheorem)]設(Ω,F,P)為一機率空間,{Aj}j為一至多可數互斥事件序列,且j,P(Aj)>0,若事件BjAj,則P(B)=jP(BAj)P(Aj).證由於B=BjAj=j(BAj),(參閱圖113),故P(B)=jP(BAj)=jP(BAj)P(Aj).361.5條件機率36圖113例3.(續例2)試求抽出之第二球為紅之機率為若干?解設B1,W1,R1分別表事件第一球為藍色白色紅色,R2表事件第二球為紅色,顯然B1+W1+R1=ΩR2,由全機率定理知P(R2)=P(R2B1)P(B1)+P(R2W1)P(W1)+P(R2R1)P(R1)===,(參考例2之樹圖)提醒讀者注意,此一機率與P(R1)相等.當然我們可以繼續追下去,第三球為紅之機率是否仍是5/12呢?計算稍為麻煩一點,留給讀者自行思考.定理1.22[Bayes公式]設(Ω,F,P)為一機率空間,{Aj}j為一至多可數互斥事件序列,且j,P(Aj)>0,若事件BjAj,且P(B)>0,則P(AkB)=P(BAk)p(ak)jP(BAj)p(aj),內Ak為{Aj}j中之任一事件.證利用全機率定理,P(AkB)=P(AkB)P(B)=P(BAk)p(ak)jP(BAj)p(aj).本定理的用意是:如果諸條件機率P(BAj)已經知道[亦稱為事前機率(aprioriprobability)],則諸P(AkB)均可一一求出,[稱為事後機率(aposterioriprobability)].例4.甲乙丙三人在靶場射擊,已知甲每射擊50發子彈時,乙可射53發,丙可射60發.但命中靶心率卻為:甲0.75,乙0.72,丙0.7.今三人同時對同一靶射擊,試問371.6獨立性37(1)某子彈射中靶心之機率為若干?(2)其中一發命中靶心之子彈為乙所射擊之機率為若干?解設A1=事件某子彈為甲所射擊,A2=事件某子彈為乙所射擊,A3=事件某子彈為丙所射擊,B=事件某子彈射中靶心.(1)某子彈射中靶心之機率為P(B)=3P(BAj)P(Aj)==(2)其中一發命中靶心之子彈為乙所射擊之機率為P(A2B)=P(BA2)P(A2)3P(BAj)P(Aj)==獨立性條件機率的概念啟示我們:某一事件A之發生,可能導致我們重新估另一事件B之機率,亦即B發生之機率與給A後B之條件機率可能不同;但也可能事件A之發生並不影響B之機率,即P(B)=P(BA).例如在第五節例1中,戴眼鏡者之機率為P(G)=0.3,而女生中戴眼鏡之機率為P(GF)=0.24,二者並不相等,今假設該校女生中有300人戴眼鏡(而非240人),則P(GF)=#(FG)#F=300=0.3=P(G)此時P(GM)=#(MG)#M==0.3=P(G).4000381.6獨立性38亦即,男生中戴眼鏡之機率與全校戴眼鏡之機率亦為相同.此乃說明,戴眼鏡者之機率與性別無關(independent).由此一觀念,我們將界定二事件之獨立性.首先,當P(BA)=P(B)時,我們稱事件A與B為獨立,但如此定義有點小問題,1當A=Ω,B=時,顯然P(BA)=0=P(B),2當A=,B=Ω時,則P(BA)無意義,但P(B)=1.由1我們說A與B為獨立,即Ω與為獨立;但由2我們卻說B與A不為獨立,即與Ω不為獨立.為解決此一缺點,我們將P(BA)=P(B)改寫為P(AB)P(A)=P(B),移項之,得P(AB)=P(A)P(B),而以之為獨立之定義,則因為A與B之地位平等,不致產生A與B為獨立而B與A不為獨立之困擾.因此,我們規定:定義1.23事件A與事件B稱為(隨機)獨立((stochastically)independent),並記為AB,如果P(AB)=P(A)P(B).二事件若不滿足上述條件,則稱其為相依事件(dependentevents).定理1.24若事件A與B為獨立,則A與B,A與B,A與B均為獨立.證我們只證A與B為獨立,其餘同理.由於A=(AB)+(A\B),即有P(AB)+P(A\B)=P(A),是以P(AB)=P(A\B)=P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B),(AB)=P(A)(1P(B))=P(A)P(B).圖114391.6獨立性39初學機率之讀者,往往希望能自圖形以了解獨立之概念,我們在舉以下範例之前,先聲明:能以圖形表達之情況相對較少,最佳方法仍是以定義去處理有關獨立之問題.例1.一骰子連擲兩次,若A表事件第一次點數大於3,B表事件第二次得1或2點,即Ω={(a,b)a,b{1,2,3,4,5,6}}={(1,1),(1,2),,(6,6)},A={(a,b)Ωa>3},B={(a,b)Ωb{1,2}}.則AB={(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2)},顯然圖115P(AB)=636==P(A)P(B).圖形如右.由二事件之獨立性,自然會聯想到三個事件AB與C之獨立性.除了應具有兩兩獨立之性質:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),之外,AB與C,AB與C,A\B與C,B\A與C,等均應為獨立,如果以此為定義,顯然過於龐雜,應用起來十分不便,必須加以精簡.精簡之道,不在於捨棄某些條件,而應找到最少之條件,使能與原意相對等者.我們發現P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),等四條件,即可證明事件C與下列諸事件均為獨立:A,B,AB,AB,A\B,B\A.401.6獨立性40當然事件A與BC諸集合運算亦為獨立,事件B與AC諸集合之運算亦為獨立,因此,我們們正式界定如下:定義1.25我們稱事件A,B,C為獨立,如果滿足以下四條件:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C).我們知道,當P(AB)=P(A)P(B)時,A與B為獨立,因此有人希望上述四條件能精簡到只有P(ABC)=P(A)P(B)P(C),這是錯誤的,因為此一條件不能蘊涵A與B為獨立,反例如下:例2.設Ω={1,2,3,4,5},F=P(Ω),P{1}=13,P{2}=P{3}=P{4}=816,P{5}=若A={1,2,3},B={1,2,4},C={1,3,4},則雖有P(ABC)=P{1}=18,P(A)P(B)P(C)=()316=18=P(ABC).但是P(AB)=P{1,2}=516,(1P(A)P(B)=)21=164,二者不等,說明A與B並不為獨立,因此A,B,C亦不為獨立.圖116411.6獨立性41定義1.26(1)設A1,,An為n個事件,若此n個事件中任何二個以上事件交集之機率等於各事件機率之積,則稱A1,,An為獨立.更精確地說,A1,A2,,An應滿足k{2,3,,n},j1,,jk相異{1,,n},P(Aj1Ajk)=P(Aj1)P(Ajk).(2)設{An}nN為一事件序列,若n2,A1,,An為獨立,則稱事件序列A1,,An,為獨立.如果我們討論二個以上隨機試驗之結合,我們可以借用獨立性觀念而建造出一個新的試驗,因而得一個新的機率空間.此一討論可自二個機率空間開始推廣至n個乃至可數個,最後到任意個機率空間之積,Loève[11]1有很精彩的討論,但對初學者並不很容易.σ域是公設化機率論的重要基石.關於獨立的觀念,我們第六章中還要加以討論,到時我們不再限於事件之間的獨立性.42第一章習題42第一章習題隨機試驗1-1試問以下諸試驗,何者為命定,何者為隨機?若為隨機,則寫出其樣本空間.(1)觀察某一十字路口之一紅綠燈,當紅燈亮時,有多少人闖越;(2)觀察收到的信件上有無郵票;(3)觀察農曆每月十五日有月亮的夜晚是否必為月圓;(4)觀察每一列火車自台北至台南所費之時間;(5)觀察每次等公車之時間;(6)觀察每本書是否編上頁數.1-2試舉出兩個命定試驗(須非出自本書).1-3擲一錢幣,若出現正面則再擲一次,若為反面則擲一骰子.試寫出此一試驗之樣本空間及每一基本事件之機率.1-4某甲在其上班公司之一份年度報告中稱:該公司60名新進人員中,會游泳的35人,會開汽車24人,會使用電腦的25人,會游泳又會開車的12人,會游泳又會使用電腦的10人,會開車又會使用電腦的8人,三者皆會的7人.這份報告呈上後,某甲即被上司判定工作不力,為何?1-5區間[0,3]中隨機抽取二數.(1)寫出此試驗之樣本空間;(2)試求此二數之距離小於1之機率為若干?σ域1-6設Ω={1,2,3,4}.試列出Ω上三個不同之σ域.1-7設A,B,C為Ω之三子集.C={A,AB,AC}.試求σ(c)=?1-8若F1及F2為Ω上二σ域,試問:F1F2,F1F2是否均為Ω上之σ域?證明或反證之.43第一章習題設CDP(Ω),Dσ(c).試證:σ(c)=σ(d)設C={(,x]xR},試證:(1)aR,(,a)σ(c);(2)σ(c)=B,(提示:利用1-9題)設An={xR00且αj=1,試證:αjPj亦為(Ω,F)上一機率測度;(2)若正項級數+n=1αn之和為1,試證:1-20試將Bertrand之詭論表為三個機率空間設A1,,An,均為機率空間(Ω,F,P)之事件,試證:(n)n(1)PAjP(Aj);n=1(2)P(A1A2)1P(A1)P(A2);(+(3)PAj)+P(Aj).αnPn亦為(Ω,F)上一機率測度設A1,,Aj,均為機率空間(Ω,F,P)之事件,且P(Aj)=1,jN,試證:P(+條件機率與獨立Aj)=有一副紙牌52張,隨機不放回抽取三張.試問:(1)第二張為紅心之機率為若干?(2)第二張及第三張均為紅心之機率為若干?1-24某工廠有四部機器生產相同產品,已知甲機器產量為乙機器之二倍,乙為丙之二倍,丙為丁之二倍,且甲乙丙及丁各有5%,4%,3%,2%之不良品,今隨機抽取一件,發現其為不良品,試問此一產品為甲機器所生產之機率為若干?1-25擲二骰,設A表第一骰出現奇數,B表第二骰出現偶數,C表二骰之和為偶數.證明:AB,BC,CA,但A,B,C不為獨立擲二骰,設A表第一骰出現偶數,B表二骰之和為4,C表二骰點數之差小於3,證明:P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但A,B,C不為獨立設A1,,An均為獨立之事件,證明:(n)PAj=1(1P(A1))(1P(An))設事件A1,A2分別與事件B為獨立.(1)若A1與A2為互斥,證明:A1A2與B為獨立;(2)若A1與A2不為互斥,證明:A1A2與B未必為獨立.45Chapter2隨機變數2.1隨機變數公設化之機率空間定義的主要目的,乃利用嚴格的數學形成來探討隨機事件的規則性.由於樣本空間內之元素通常僅以一可以識別之符號(如a,b,c等),很少將該元素之全部屬性均予表出,因此,我們很難迅速加以分類整理,進行分析其中存在之規則.是以有必要加以簡化,針對我們所欲了解的性質加以分類,其中最常用的分類乃是數量性的(quantitative).數量性資料除了有序數性之外,尚有基數性,數與數之間可以比較大小,也可以施行四則運算,增加我們對於事件規則的了解.例如一錢幣連擲十次,則其樣本空間為Ω={(a1,,a10)j{1,2,,10},aj{H,T}}.Ω內共有210=1024個元素,我們若僅希望了解每一結果(a1,,a10)內正面出現之次數及其機率,而不十分關心到底H與T是如何排列,則可設函數X:ΩR:X(a1,,a10)=(a1,,a10)中H出現之次數.此時,顯然X之值域為A={0,1,,10}(又稱為X之樣本空間).至於A中各元素之機率,我們將於稍後詳細討論.這種自樣本空間映至實數系的函數,通常乃為表示各元素之某一項特徵(characteristic),我們稱其為一隨機變數.為避免可能的困擾,我們將採取嚴格的數學形式做為隨機變數之正式定義.圖462.1隨機變數46定義2.1(1)設(Ω,F,P)為一機率空間,B為一維Borel域.我們稱X為Ω上一隨機變數(randomvariable),簡為r.v.,如果{X:ΩR,且BB,X1(B)F;此時X之值域X(Ω)稱為X之樣本空間.(2)設(Ω,F),(Ω,F)皆為可測空間,我們稱X為(F,F)可測(measurable),如果{X:ΩΩ,且BF,X1(B)F.隨機變數的原始意義,只是將非數量性集合Ω,轉換為數量性集合R,並不需其他條件,但在上述定義中我們增加了一個很強的條件:BB,X1(B)F,它究竟有何用意?在系2.4之後,我們再詳細說明.如果讀者細心一點,不難發現上述定義中的(1)是(2)的特例,更清楚地說:所謂隨機變數只是自Ω映至R的(F,B)可測函數.隨機變數在機率論中之重要性正如實值實變函數在微積分中之份量.在機率論中我們常需涉及集合論中之像原觀念,在此不妨稍加回顧.合設f:AB為一函數,若TB,則集f1(T)={xAf(x)T}稱為T之f像原(inverseimage),例如:f:RR:f(x)=x2,則f1[1,2]={xRx2[1,2]}=[2,1][1,2].如右圖所示.圖22關於像原,以下性質常被引用,利用像原之定義,不難證得.以下諸集合S,T,Tj皆為B之子集,J為足碼集合,有限或無限皆可.(1)f1(ST)=f1(S)f1(T);(2)f1(ST)=f1(S)f1(T);(3)f1(S\T)=f1(S)\f1(T);472.1隨機變數47()(4)f1Tj=jJf1(Tj);jJ()(5)f1Tj=f1(Tj);jJjJ()(6)f1Tj=jJf1(Tj).jJ例1.設(Ω,F,P)為一機率空間,則常數隨機變數X:ΩR:X(ω)=c乃一隨機變數.證對於BB,若cB,則X1(B)=Ω.若cB,則X1(B)=.例2.設(Ω,F,P)為一機率空間,若A為一事件,則函數{1,若ωA,X=IA:ΩR:IA(ω)=0,否則.乃一隨機變數.[在微積分中我們稱IA為A之指標函數(indicatorfunction)]圖23證對於BB,1若0B,1B,則(IA)1(B)=A;2若1B,0B,則(IA)1(B)=A;3若0,1B,則(IA)1(B)=Ω;4若0,1B,則(IA)1(B)=.有些學者稱IA為A之特徵函數,但機率論中特徵函數一詞另有所指,詳見第五章.482.1隨機變數48關於二隨機變數之間的對等關係,我們將採取更機率的規定,我們稱二隨機變數X與Y為殆必相等(almostsurelyequal),如果存在一機率為零之事件N使得ωΩ\N,X(ω)=Y(ω),並記為X=Ya.s.或X=a.s.Y,同理,我們亦可規定殆必小於X 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