母體變異數vs樣本變異數 - 科學Online

第4章-資料集中趨勢及變異性的測度。

江振東、政治大學統計系｜淺談自由度（樣本標準差公式中的分母為什麼要採用n-1） ... Monday11thApril2022 11-Apr-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 母體變異數(\(\sigma^2\))v.s.樣本變異數(\(s^2\)) 國立臺灣大學農藝學系吳博雅 一、前言 每當收集完一筆資料後，可能會非常零亂、複雜，很難看出該筆資料的特性，那我們又如何整理這些資料呢？常常會畫圖表示資料的分布情形，也會計算其平均數(mean)、中位數(median)、眾數(mode)…等來看該筆資料的中心位置，同時，還會計算全距(range)、變異數(variance)…等，來看該筆資料的分散程度，如此一來，資料收集者可以簡單敘述該資料的特性，讓有興趣者可以快速了解，取得所需的資訊，而這類的數據分析可統稱為敘述統計學(DescriptiveStatistics)。

今天我們要特別談論變異數，變異數在高中課本裡表示成： \(\sigma^2=\displaystyle\sum_{i=i}^{N}\frac{(x_i-\mu)^2}{N}~~~~~~~~~(1.1)\) 其中\(x_i\) 為各觀測值(一共\(N\)個觀測值，亦即族群中一共有\(N\)個觀測值)；\(\mu\)(讀作mu)為族群平均數，可表示成： \(\mu=\displaystyle\frac{1}{N}(x_1+x_2+\cdots+x_N)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i~~~~~~~~~(1.2)\) 上述所提及的變異數為母體變異數，事實上還有樣本變異數，公式表示成： \(s^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}~~~~~~~~~(1.3)\) 其中\(x_i\) 為各觀測值(共\(n\)個觀測值)；\(\bar{x}\)為樣本平均數。

\(\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i~~~~~~~~~(1.4)\) 二、母體變異數v.s.樣本變異數 大家或許會很疑惑，為什麼會有母體變異數與樣本變異數呢？他們彼此間存在哪些差異呢？ 往往我們欲關注的族群資料量很大甚至是無限大，而且族群的平均數(\(\mu\))實際上常常無法知道，為了減少調查成本與增加效率，常常會藉由抽樣(sampling)取得樣本資料，希望能藉由樣本資料，獲得樣本平均數與樣本變異數，利用樣本平均數(\(\bar{x}\))來估計族群平均數(\(\mu\))，與利用樣本變異數(\(s^2\))來估計母體變異數(\(\sigma^2\))，進而了解整個族群的狀況(圖一)。

至於怎樣才是好的抽樣，才能準確估計族群，請詳見其他章節，在此不加以著墨。

圖一族群與樣本的關係(本文作者吳博雅製） 而以樣本資料求其變異數，稱之樣本變異數，又可稱為均方(meansquare)，如式子1.3。

均方公式中在分子部分，我們稱之為平方和(sumofsquares)，將每一個觀測值與樣本平均數之差予以平方再加總起來；均方在分母部分是\(n-1\)而不是\(n\)，其原因為如果以\(n\)取代\(n-1\)會造成當以樣本變異數來估計母群體變異數時，會發生低估(underestimate)的現象註一，而這裡的\(n-1\)在統計學上稱之自由度(degreeoffreedom)註二。

在數理統計上可以證明以自由度作為除數所計算出來的均方，才是族群的無偏估值註三，亦即\(s^2\) 才是\(\sigma^2\) 的良好估值。

註一：由於 \(\begin{array}{ll}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2&\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2\\&=\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2-n(\bar{x}-\mu)^2\end{array}\) \(\rightarrow\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\le\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\) 若以\(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2/n\)作為樣本的變異數，由上式可知會發生低估的現象。

註二：自由度是指樣本內獨立，且能夠自由變動的離均差\((x_i-\bar{x})\)之個數。

例如：樣本中有四個觀測值，樣本平均為6，其中三個觀測值為4、8與10，最後一個觀測值一定是6*4-(4+8+10)=2。

因此，當樣本大小為4(=n)時，只有3(=n-1)個離均差可以自由變動，此時自由度等於3。

註三：無偏估值的介紹，請詳見另篇文章。

而有時為了計算方便，我們也可以將樣本變異數的公式表示成： \(\begin{array}{ll}s^2&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\\&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\times(\sum_{i=1}^nx_{i}^2-2\sum_{i=1}^nx_i\bar{x}+n\bar{x}^2)\\&=\displaystyle\frac{1}{n-1}\times(\sum_{i=1}^nx_i^2-n\bar{x}^2)\end{array}\) 另外，母體變異數的正平方根，稱之為母體標準差(\(\sigma\))；樣本變異數的正平方根，稱之為樣本標準差(\(s\))。

例題： A研究員想要了解某一地區20-30歲的女性之體重，但他的時間、經費有限，所以他決定在該地去隨機抽取12位20-30歲的女性，得知她們的體重55,45,60,48,43,52,48,43,50,50,48,58(單位：kg)，請問這12位學生體重的樣本變異數為多少? \(\begin{array}{ll}\bar{x}&=\displaystyle\frac{1}{n}\times\sum_{i=1}^{n}x_i\\&=\displaystyle\frac{1}{12}(55+45+60+48+43+52+48+43+50+50+48+58)\\&=50\end{array}\) \(\begin{array}{ll}s^2&=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{1}{12-1}(\sum_{i=1}^{12}x_i^2-12\bar{x}^2)\\&=\displaystyle\frac{1}{11}(30328-12\times50^2)\\&=29.82\end{array}\) 參考文獻 沈明來(2014)生物統計學入門第六版。

第三章-敘述統計學。

郭寶錚、陳玉敏(2011)生物統計學。

第4章-資料集中趨勢及變異性的測度。

江振東、政治大學統計系｜淺談自由度（樣本標準差公式中的分母為什麼要採用n-1）。

http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=16 Tags:degreeoffreedom,meansquare,populationvariance,samplevariance,均方,樣本變異數,母體變異數,自由度 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 海芭夏(HypatiaofAlexandria) Thereare3commentsforthisarticle 例題應該是問體重而不是成績吧？ KYChiu您好 謝謝您的細心，經確認已修正囉！ 管理員敬上 註一有點看不懂 如果直接帶5，15這兩個數字進去算 式子似乎不會相等 何解? 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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