標準分數和常態曲線下面積之應用 - Dr. Fish 漫游社會統計

... 可查詢標準常態分配表，或使用SPSS的累積分配函數或逆分配函數來計算。

... 接著，使用標準常態分配表查詢小於標準分數1.95和平均數之間的曲線下 ... 跳至內容 描述統計 假設全國英文檢定考試的成績為常態分配，你得到成績180分，你很好奇自己的表現如何，有多少百分比的成績低於自己的成績（這是之前所提過的百分等級的概念，可參考累積百分比曲線圖的繪製與用途之文章），該怎麼辦呢？為了解決該問題，可以將成績轉換成平均數為0且標準差為1的標準分數，再透過標準常態分配表，查詢低於該標準分數的其他成績所占的百分比。

以下將介紹標準分數的意義以及標準分數在常態曲線下面積的運用。

標準分數 標準分數（standardscore或稱為score）是一個轉換後的分數，將欲轉換的數值減去所有數值的平均數後，再除以標準差，帶有大於或小於平均數多少個標準差單位的意義。

轉換一個樣本裡的數值至標準分數的公式如下：   若要轉換母群體裡的數值至標準分數，將上述公式的改成，改成即可，公式如下：   在一開始所提到的例子裡，若全國英文檢定考試的平均數為170，標準差為10，則180分的標準分數為：   標準分數為1，代表180分大於平均數1個標準差單位。

回顧之前提過的常態曲線下的面積和平均數、標準差之間的特殊關係，在平均數和大於平均數1個標準差的分數之間涵蓋了34.13%曲線下的面積（詳細的常態曲線下面積的說明，可以閱讀常態曲線和曲線下的面積之文章）。

因此，在常態曲線下，小於180分的其他分數占了，而即為180分的百分等級，可參考下圖。

若標準分數剛好為±1、±2或±3，代表原始分數大於或小於平均數1、2或3個標準差單位，確實可以使用常態曲線和曲線下的面積的文章裡所提到的常態曲線下的面積。

但現實總非如此完美，很多時候標準分數帶有小數，此時須查詢標準常態分配表（Tableofthestandardnormaldistribution），找出相對應的曲線下的面積。

標準常態分配表 標準常態分配表列出所有的標準分數和各個標準分數相對應的曲線下的面積。

曲線下的面積再分成兩個部分，一個部分是平均數和標準分數間的面積，另一部分是超過標準分數的面積。

下圖為部分的標準常態分配表範例。

利用標準常態分配表，可以從一個分數找到大於或小於該分數的常態曲線下的面積，或從常態曲線下的面積找到相對應的分數。

以下將針對這兩部分，舉例說明。

1.從分數找曲線下的面積 使用一開始的全國英文檢定考試的例子，若有一位學生考了189.5分，、，他的百分等級是多少呢？首先，轉換該位學生的成績至標準分數：   接著，使用標準常態分配表查詢小於標準分數1.95和平均數之間的曲線下的面積，為0.4744，再加上小於平均數的整個左半側的面積0.5，。

為求得百分比，將0.9744乘以100，得到97.44%，即為189.5分的百分等級。

再舉一個例子，與上述同樣的條件，但分數為153.8分，有多少百分比的成績落在該成績之下呢？分數153.8分的標準分數為：   153.8分的標準分數為，雖然標準常態分配表並無負值的標準分數，但常態曲線是對稱的，因此負值的標準分數曲線下的面積相同於正值的標準分數曲線下的面積。

查詢標準常態分配表，尋找小於標準分數之外的面積，為0.0526。

將0.0526乘以100，得到5.26%，代表5.26%的成績落在153.8分之下。

2.從曲線下的面積找分數 一位參加全國英文檢定考試的學生知道自己的百分等級為94.52%，若、，請問該位學生的成績是多少？ 曲線下的面積為94.52%，代表分數大於平均數，扣除左半側的50%，右邊曲線下的面積為，轉換成小數為0.4452。

查詢標準常態分配表，當平均數和標準分數間的面積為0.4452時，標準分數為1.60。

將、、套入公式裡：   所以百分等級為94.52%時，該位學生的成績為186分。

再舉一個例子，跟上述例子的條件相同，涵蓋曲線下中間95%面積的分數為何？因為涵蓋中間的面積，所以會有左側與右側兩個分數。

中間95%的面積，所以一側各為47.5%，超出標準分數的面積則為2.5%。

從標準常態分配表查詢平均數和之間的面積為0.4750，或超出的面積為0.0250的欄位，找到的標準分數為1.96。

因此，右側大於平均數的為，左側小於平均數的則為。

將、、套入公式裡：   所以曲線下中間95%的面積介於分數150.4分和189.6分之間。

運用SPSS輸出標準分數和計算曲線下面積 首先，在SPSS的資料編輯器裡輸入如下圖中的20個分數，變項名稱設為SCORE，接著點選功能表列的分析»敘述統計»敘述統計，帶出「敘述統計」視窗。

在「敘述統計」視窗中，將左邊方框裡的SCORE移至右邊的變數(V)方框中，點選選項(O)，帶出「敘述統計：選項」視窗，確定平均值(M)、標準差(T)皆有被勾選，其餘不動，按下最下方的繼續(C)。

回到「敘述統計」視窗後，勾選下方的將標準化值存成變數(Z)，再按下確定。

SPSS會輸出20個分數的描述統計資訊，平均數為64.8，標準差為12.606。

回到SPSS資料編輯器頁面，在原本的變項SCORE欄位旁多出一個變項ZSCORE欄位，此即為每一個原始分數的標準分數。

接下來，利用SPSS來計算落在每一個分數之下的其他分數的百分比，也就是曲線下的面積，此時須用到SPSS計算功能裡的累積分配函數（cumulativedistributionfunction，簡稱cdf）。

點選SPSS功能表列的轉換»計算變數，開啟「計算變數」的視窗。

在「計算變數」視窗中，先輸入一個目標變數(T)的名稱，可自行設定，此處設為cdf。

然後在右側中間的函數群組(G)中選擇「CDF與非集中CDF」，再從下面的函數與特殊變數(F)中選擇「Cdf.Normal」，緊接著按下旁邊的向上箭頭（下圖標示4的地方），上方的數值表示式(E)會出現CDF.NORMAL(?,?,?)。

CDF.NORMAL的括弧裡要輸入3個數值，第1個數值為欲求得曲線下面積的數值（也就是要找小於該數值的其他數值所占的百分比），第2個數值為平均數，第3個數值為標準差。

點一下滑鼠，讓游標停在第1個問號的位置，然後點選左側變數清單裡的SCORE，按下右方的右移鍵，讓SCORE移入第1個問號的位置，接著在第2個問號的位置輸入64.8，第3個問號的位置輸入12.606（參考上面SPSS輸出的敘述統計表格）。

輸入完成後，按下視窗最下方的確定。

回到SPSS的資料編輯器頁面，標準分數ZSCORE欄位旁多了一個cdf的變項欄位，此即為小於各個分數的其他分數所占的百分比（曲線下的面積）。

例如第1個分數70分的cdf值為0.66，代表有66%的分數落在70分之下；第17個分數37分的cdf值為0.01，表示只有1%的分數落在該分數之下。

運用SPSS從曲線下的面積找數值 SPSS的累積分配函數（cdf）可用來計算小於一個數值的其他數值所占的百分比，也就是尋找曲線下的面積。

若要倒過來，從曲線下的面積來找出相對應的標準分數或原始分數，則可使用逆分配函數（inversedistributionfunction，簡稱idf），計算步驟相似於累積分配函數。

假設要找到涵蓋常態曲線下中間95%面積的兩個標準分數，步驟如下。

新建一新的SPSS資料檔，在第1個欄位輸入兩個數值，0.9750和0.0250，將該欄位的變項名稱設為AREA或任何喜歡的名稱。

點選功能表列的轉換»計算變數，帶出「計算變數」的視窗。

在「計算變數」視窗中，首先在目標變數(T)裡輸入輸出變項的名稱，此處設為ZSCORE。

接著在函數群組(G)中點選「逆自由度」，再從其下方的函數與特殊變數(F)裡點選「Idf.Normal」，然後按下左邊的上移鍵，此時數值表示式(E)方框中會出現IDF.NORMAL(?,?,?)。

點一下滑鼠，讓游標停在第1個問號的位置，然後點選變數清單中的AREA，按下右移鍵，讓AREA出現在第1個問號的位置。

第2個與第3個問號分別為平均數與標準差，由於標準分數的平均數為0，標準差為1，所以在第2個問號的位置輸入0，在第3個問號的位置輸入1。

輸入完成後，按下最下方的確定。

回到SPSS資料編輯器的頁面，在原本AREA變項的旁邊多了一個ZSCORE變項的欄位，此即為涵蓋常態曲線下中間95%面積的兩個標準分數，和。

用SPSS計算得到的結果和上面透過查詢標準常態分配表的結果相同。

若要找原始分數，而非標準分數，僅須修改數值表示式(E)裡的平均數和標準差數值。

舉例來看，使用上面20個分數的範例，要計算出涵蓋曲線下95%面積的兩個分數，已知這20個分數的平均數為64.8，標準差為12.606，所以將這兩個數值套入IDF.NORMAL括弧裡的第2個與第3個問號的位置，並在目標變數(T)裡輸入一個變項名稱，此處設為XSCORE。

輸入完成後，按下最下方的確定即可。

回到SPSS的資料編輯器頁面，ZSCORE變項欄位旁邊又多出了一個XSCORE的欄位，此即為涵蓋曲線下95%面積的左右側兩個分數。

透過上面的練習可以知道，除了查詢標準常態分配表外，也可利用SPSS的累積分配函數找尋小於一個數值的其他數值所占的百分比（曲線下的面積），或利用逆分配函數，從曲線下的面積來找標準分數或原始分數。

以上為本篇文章對標準分數和其在常態曲線下面積相關運用的介紹，若您喜歡本篇文章或覺得本篇文章對您有幫助，歡迎使用下方的小圖示分享至您的社群媒體喔！ FacebookTweetPinEmailPrint 文章導覽 ❮PreviousPost:常態曲線和曲線下的面積NextPost:用SPSS繪製盒形圖（盒鬚圖）❯ 最新消息關於Dr.Fish 伊利諾大學芝加哥校區刑事司法學博士，喜愛資料整理與統計分析，同時是擁有多元興趣的斜槓族。

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