條件機率vs 聯合機率- 緯緯道來(@johnnymnotes) - Matters

所謂的聯合機率，即是兩個事件「同時」發生的機率。

例如，P(A ∩ B) 即是A 事件與B 事件同時發生的機率。

以乘法法則的角度出發，P(A ... probabilitytheoryDataSciencedatascience資料科學邏輯思維提升自我學習數學機率條件機率vs聯合機率發布於2021年11月21日分佈式入口翻譯花十分鐘搞懂「條件機率」與「聯合機率」的差別！前言&概述在前一篇文章中，我們介紹了機率的基本觀念，包含表示法(Notation)、隨機變數(RandomVariable,RV)、三種基本的機率類型與乘法法則(MultiplicationRule)。

其中，三種基本機率類型中的「條件機率」與「聯合機率」經常使初學者分不清楚。

因此，在本篇文章中，將會以更簡單的方式說明兩者的差別。

此外，我們也會了解機率中「AND」、「OR」的概念。

條件機率(ConditionalProbability)在前一篇文章中，我們介紹過條件機率的定義。

「條件機率」(ConditaionlProbability) 指的是某一個事件發生的「前提」之下，另外一個事件發生的機率。

例如，A與B是兩個不的事件，在B事件發生的前提下，A事件發生的機率為P(A|B)。

我們也以撲克牌的例子說明：假設 B=「抽出紅色的卡牌」，A=「抽出數字4的卡牌」，則P(A|B)=2/26(因為已經先抽出26張紅色的卡牌，其中包含兩張數字4)。

聯合機率(JointProbability)在前一篇文章中，我們也介紹過聯合機率的定義。

「聯合機率」(JointProbability)指的是「兩個或多個」事件同時發生的機率。

A與B是兩個不同的事件，A與B同時發生的機率為P(A ∩ B)。

「∩」符號稱為「交集」，就是指兩個都要的意思。

我們也以撲克牌的例子說明：假設A=「從一副撲克牌中抽出一張6」且B =「從一副撲克牌中抽出一張紅色」，則 P(A ∩ B)=2/52(因為一副撲克牌有52張，同時是6又是紅色的有2張)。

條件機率vs聯合機率對於第一次接觸機率概念的初學者而言，條件機率與聯合機率的概念還是稍微難以區分。

因此，我們接著更深入的討論兩者的區別。

繼續前面撲克牌的例子，假設我們希望計算「抽出一張紅色卡牌且為數字4」的機率，此機率就是聯合機率，可以表示為P(Redand4)=P(Red∩4)。

要計算這一個聯合機率，我們可以想像現在桌面上擺放著52張撲克牌，而且這些撲克牌都是「蓋上」的，因此我們不知道每張撲克牌實際的顏色與數字。

但是，我們知道這52張卡牌中，顏色是紅色且數字為4的卡牌有2張。

因此，P(Redand4) = 2/52。

另外一種情況，假設我們希望計算「抽出一張數字為4的卡牌，且已經知道他是紅色」的機率，此機率就是條件機率，可以表示為P(4|Red)。

要計算這一個條件機率，我們可以想像桌面上擺放著所有的52張撲克牌，但是抽出卡牌之前，我們已經事先將所有紅色的卡牌取出，並且攤開在桌上。

又26張紅色的卡牌中，包含了2張數字4的卡牌。

因此P(4|Red)=2/26=1/13。

此外，我們也可以透過乘法法則(MultiplicationRule)計算上述的問題。

以聯合機率P(Redand4)為例，P(Redand4)=P(4andRed)會等於P(4|Red)×P(Red)=1/13×1/2=1/26=2/52。

補充：P(Red)=1/2，因為52張撲克牌中有一半是紅色的！ANDvsORAND在前面的例子中，我們解釋了聯合機率與條件機率的差別。

然而，我們卻沒有提到該怎麼計算聯合機率(JointProbability)。

所謂的聯合機率，即是兩個事件「同時」發生的機率。

例如，P(A∩B)即是A事件與B事件同時發生的機率。

以乘法法則的角度出發，P(A∩B)=P(A|B)×P(B)。

我們再以一個生活化的例子說明聯合機率該怎麼算！假設現在我們手中有兩個骰子，A事件=「第一顆骰子為6」、B事件=「第二顆骰子為1」。

根據乘法法則，我們可以先計算 P(A|B)與P(B)而得到 P(A∩B)。

P(A|B)指的是在「『第二顆骰子為1』的前提下，『第一顆骰子為6』的機率是多少」。

聰明的你一定知道，不管第二顆骰子的結果為何，都和第一顆骰子沒有任何關係啊！因此，我們可以說A事件與B事件互為「獨立事件」。

當 A事件與B事件互為獨立時，A事件發生的機率不會受到B事件影響，因此P(A|B)=P(A)。

再回到乘法法則，我們可以得到 P(A∩B)= P(A)×P(B)=1/6 ×1/6=1/36。

OR在AND時，我們會將所有事件發生的機率「相乘」；在OR時，我們會將所有事件發生的機率「相加」。

在數學上，會表示為P(A ∪ B)=P(A)+P(B)–P(A ∩ B)。

其中，因為P(A)+P(B)時，A與B重疊的部分會重複計算，因此需扣掉一次重疊的部分。

我們再以一個生活化的例子說明OR的概念！假設現在我們手中有兩個骰子，A事件=「第一顆骰子為6」、B事件=「第二顆骰子為1」。

則 P(A ∪ B)=1/6+1/6–1/36=11/36。

結語在本篇文章中，我們更深入的說明條件機率(ConditionalProbability)與聯合機率(JointProbability)的差別，也說明機率中AND與OR有什麼差別。

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