機率分布- 維基百科，自由的百科全書

機率分布，簡稱分布，亦稱機率分配或分配，（英語：Probability distribution），是機率論中的 ... 漢斯-底特·黑伯曼（Hans-Dieter Hippmann）：《統計學》（德文）. 機率分布 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 機率分布，簡稱分布，亦稱機率分配或分配，（英語：Probabilitydistribution），是機率論中的一個概念。

「Probabilitydistribution」的各地常用別名中國大陸概率分布臺灣機率分布、機率分配港澳概率分佈日本、韓國漢字確率分布 使用時可以有以下兩種含義： 廣義地，它指稱隨機變數的機率性質－－當我們說機率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},\mathbb{P})} 中的兩個隨機變數X和Y具有同樣的分布時，我們是無法用機率 P {\displaystyle\mathbb{P}} 來區別他們的。

換言之： 稱X和Y為同分布的隨機變數，若且唯若對任意事件 A ∈ F {\displaystyleA\in{\mathcal{F}}} ，有 P ( X ∈ A ) = P ( Y ∈ A ) {\displaystyle\mathbb{P}(X\inA)=\mathbb{P}(Y\inA)} 成立。

但是，不能認為同分布的隨機變數是相同的隨機變數。

事實上即使X與Y同分布，也可以沒有任何點ω使得X(ω)=Y(ω)。

在這個意義下，可以把隨機變數分類，每一類稱作一個分布，其中的所有隨機變數都同分布。

用更簡要的語言來說，同分布是一種等價關係，每一個等價類就是一個分布。

需注意的是，通常談到的離散分布、均勻分布、伯努利分布、常態分布、卜瓦松分布等，都是指各種類型的分布，而不能視作一個分布。

狹義地，它是指隨機變數的機率分布函數。

設X是樣本空間 ( Ω , F ) {\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}})} 上的隨機變數， P {\displaystyle\mathbb{P}} 為機率測度，則稱如下定義的函數是X的分布函數，或稱累積分布函數： F X ( a ) = P ( X ≤ a ) {\displaystyleF_{X}(a)=\mathbb{P}(X\leqa)} ，對任意實數 a {\displaystylea} 定義。

具有相同分布函數的隨機變數一定是同分布的，因此可以用分布函數來描述一個分布，但更常用的描述手段是機率密度函數。

[註1] 目次 1分布函數的性質刻劃 2隨機變量的分布 3離散機率分布族 3.1伯努利分布 3.2二項式分布 3.3幾何分布 3.4負二項式分布 3.5超幾何分布 3.5.1超幾何分布與二項式分布的關係 3.6Poisson分布 3.7離散均勻分布 4連續機率分布族 4.1均勻分布 4.2常態分布 4.2.1常態分布與二項分布的關係 4.3伽瑪分布 4.4指數分布 4.5其他連續型常用分布 4.5.1貝它分布 4.5.2雙指數分布 4.5.3對數常態分布 4.5.4柏拉圖分布 4.5.5柯西分布 4.6多元常態分布 5參考文獻 6參見 7注釋 8外部連結 分布函數的性質刻劃[編輯] 對於特定的隨機變數 X {\displaystyleX} ，其分布函數 F X {\displaystyleF_{X}} 是單調不減及右連續，而且 F X ( − ∞ ) = 0 {\displaystyleF_{X}(-\infty)=0} ， F X ( ∞ ) = 1 {\displaystyleF_{X}(\infty)=1} 。

這些性質反過來也描述了所有可能成為分布函數的函數： 設 F : [ − ∞ , ∞ ] → [ 0 , 1 ] , F ( − ∞ ) = 0 , F ( ∞ ) = 1 {\displaystyleF:[-\infty,\infty]\to[0,1],F(-\infty)=0,F(\infty)=1} 且單調不減、右連續，則存在機率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle(\Omega,{\mathcal{F}},\mathbb{P})} 及其上的隨機變數X，使得F是X的分布函數，即 F X = F {\displaystyleF_{X}=F} 隨機變數的分布[編輯] 設 P {\displaystyleP} 為機率測度， X {\displaystyleX} 為隨機變數，則函數 F ( x ) = P ( X ≤ x ) , ( x ∈ R ) {\displaystyleF(x)=P(X\leqx),(x\in\mathbb{R})} 稱為 X {\displaystyleX} 的機率分布函數。

如果將 X {\displaystyleX} 看成是數軸上的隨機點的坐標，那麼，分布函數 F ( x ) {\displaystyleF(x)} 在 x {\displaystylex} 處的函數值就表示 X {\displaystyleX} 落在區間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle(-\infty,x]} 上的機率。

例如，設隨機變數 X {\displaystyleX} 為擲兩次骰子所得的點數差，而整個樣本空間由36個元素組成。

數量 (i,j)∈S x {\displaystylex} P ( X = x ) {\displaystyleP(X=x)} F ( x ) {\displaystyleF(x)} 6 (1,1)，(2,2)，(3,3)(4,4)，(5,5)，(6,6) 0 6/36 6/36 10 (1,2)，(2,3)(3,4)，(4,5)，(5,6)(2,1)，(3,2)，(4,3)(5,4)，(6,5) 1 10/36 16/36 8 (1,3)，(2,4)，(3,5)(4,6)，(3,1)，(4,2)(5,3)，(6,4) 2 8/36 24/36 6 (1,4)，(2,5)，(3,6)(4,1)，(5,2)，(6,3) 3 6/36 30/36 4 (1,5)，(2,6)(5,1)，(6,2) 4 4/36 34/36 2 (1,6)，(6,1) 5 2/36 36/36 其分布函數是： F ( x ) = { 0 , x < 0 6 / 36 , x < 1 16 / 36 , x < 2 24 / 36 , x < 3 30 / 36 , x < 4 34 / 36 , x < 5 1 , x ≤ 5 {\displaystyleF(x)={\begin{cases}0,x<0\\6/36,x<1\\16/36,x<2\\24/36,x<3\\30/36,x<4\\34/36,x<5\\1,x\leq5\end{cases}}} 離散機率分布族[編輯] 上面所列舉的例子屬於離散分布，即分布函數的值域是離散的，比如只取整數值的隨機變數就是屬於離散分布的。

F ( x ) {\displaystyleF(x)} 表示隨機變數 X ≤ x {\displaystyleX\leqx} 的機率值。

如果X的取值只有 x 1 < x 2 < . . . < x n {\displaystylex_{1} 3 {\displaystyle\sigma>3} ，則必須採用下面的近似修正方法： P ( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) = ∑ k = x 1 x 2 ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( q ) n − k ⏟ E F ≈ Φ ( x 2 + 0.5 − μ σ ) − Φ ( x 1 − 0.5 − μ σ ) ⏟ Z F {\displaystyleP(x_{1}\leqX\leqx_{2})=\underbrace{\sum_{k=x_{1}}^{x_{2}}{n\choosek}\cdotp^{k}\cdot(q)^{n-k}}_{\mathrm{EF}}\approx\underbrace{\Phi\left({\frac{x_{2}+0.5-\mu}{\sigma}}\right)-\Phi\left({\frac{x_{1}-0.5-\mu}{\sigma}}\right)}_{\mathrm{ZF}}} （註： q = 1 − p {\displaystyleq=1-p} ；EF：二項分布；ZF：常態分布） 上（下）臨界值分別增加（減少）修正值0.5的目的是在 σ {\displaystyle\sigma} 值很大時獲得更精確的近似值，只有 σ {\displaystyle\sigma} 很小時，修正值0.5可以不被考慮。

例如，隨機試驗為連續64次擲硬幣，獲得的國徽數位於32和42之間的機率是多少？用常態分布計算如下， μ = n ⋅ p = 64 ⋅ 0.5 = 32 {\displaystyle\mu=n\cdotp=64\cdot0.5=32} σ = n ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) = 64 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 4 {\displaystyle\sigma={\sqrt{n\cdotp\cdot(1-p)}}={\sqrt{64\cdot0.5\cdot0.5}}=4} n ⋅ p ⋅ q = 16 ≥ 9 {\displaystylen\cdotp\cdotq=16\geq9} ，符合近似規則，應用 z {\displaystylez} -轉換： P ( 32 ≤ X ≤ 42 ) ≈ Φ ( 42 + 0.5 − 32 4 ) − Φ ( 32 − 0.5 − 32 4 ) {\displaystyleP(32\leqX\leq42)\approx\Phi\left({\frac{42+0.5-32}{4}}\right)-\Phi\left({\frac{32-0.5-32}{4}}\right)} = Φ ( 2.63 ) − Φ ( − 0.13 ) = 0.0517 + 0.4957 = 0.5474 {\displaystyle=\Phi\left(2.63\right)-\Phi\left(-0.13\right)=0.0517+0.4957=0.5474} 標準常態分布 N ( 0 , 1 ) {\displaystyleN(0,1)} 下的 z {\displaystylez} -表格 在運用 z {\displaystylez} -表格時注意到利用密度函數的對稱性來求出 z {\displaystylez} 為負值時的區域面積。

伽瑪分布[編輯] 主條目：伽瑪分布 指數分布[編輯] 主條目：指數分布 其他連續型常用分布[編輯] 貝它分布[編輯] 主條目：貝它分布 雙指數分布[編輯] 主條目：拉普拉斯分布 對數常態分布[編輯] 主條目：對數常態分布 柏拉圖分布[編輯] 主條目：柏拉圖分布 柯西分布[編輯] 主條目：柯西分布 多元常態分布[編輯] 主條目：多元常態分布 參考文獻[編輯] 彼得·缺菲爾（PeterZoefel）：《統計和經濟學家》（德文）.PEASONStudium出版社，2003年.ISBN3-8273-7062-0. 約瑟夫·西拉（JosefSchira）：《統計理論與企業管理》（德文）.PEASONStudium出版社，2003年.ISBN3-8273-7041-8. 漢斯-底特·黑伯曼（Hans-DieterHippmann）：《統計學》（德文）.SCHAEFFERPOESCHEL出版社，2003年.ISBN3-7910-2119-2. 參見[編輯] 機率論 隨機變數 累積分布函數 機率密度函數 機率質量函數 注釋[編輯] ^在常用的文獻中，「分布」一詞可指其廣義和狹義，而「累計分布函數」或「分布函數」一詞只能指稱後者。

為了不致混淆，下文中談及上述的廣義時使用「分布」一詞；狹義時使用「分布函數」一詞。

外部連結[編輯] 機率分布Java演示 二項分布Java演示 超幾何分布Java演示 卜瓦松分布Java演示 常態分布Java演示 閱論編機率分布列表（英語：Listofprobabilitydistributions）有限支集離散單變數 本福德 伯努利 β-二項式 二項 分類（英語：Categoricaldistribution） 超幾何 卜瓦松二項（英語：Poissonbinomialdistribution） 拉德馬赫（英語：Rademacherdistribution） 離散均勻 齊夫 齊夫-曼德爾布羅特（英語：Zipf–Mandelbrotlaw） 無限支集離散單變數 β-負二項（英語：Betanegativebinomialdistribution） 鮑萊耳（英語：Boreldistribution） 康威-麥克斯韋-卜瓦松（英語：Conway–Maxwell–Poissondistribution） 離散相型（英語：Discretephase-typedistribution） 德拉波特（英語：Delaportedistribution） 擴展負二項 高斯-庫茲明 幾何 對數 負二項 拋物線碎形 卜瓦松 Skellam 尤爾-西蒙 ζ 緊支集連續單變數 反正弦 ARGUS 巴爾丁-尼科爾斯 貝茨 Β Β動差形 歐文-霍爾 庫馬拉斯瓦米 分對數常態 非中心β 升餘弦 倒數 三角形 U-二次型 連續均勻 維格納半圓 半無限區間支集連續單變數 貝尼尼 第一類本克坦德 第二類本克坦德 Β' 伯爾 χ² χ Dagum 戴維斯 指數-對數 愛爾朗 指數 F 摺疊常態 弗洛里-舒爾茨（英語：Flory–Schulzdistribution） 弗雷謝 Γ Γ/岡珀茨 廣義逆高斯 岡珀茨 半邏輯 半常態 霍特林T-方 超愛爾朗 超指數 次指數 逆χ² 縮放逆χ² 逆高斯 逆Γ 科摩哥洛夫 列維 對數柯西 對數拉普拉斯 對數邏輯 對數常態 動差陣指數 麥克斯韋-玻耳茲曼 麥克斯韋-於特納 米塔格-萊弗勒 中上 非中心χ² 柏拉圖 相型 保利-韋伯 瑞利 相對布萊特-維格納分布 萊斯 移位岡珀茨 截斷常態 第二類岡貝爾 韋伯 離散韋伯 威爾克斯λ 無限區間支集連續單變數 柯西 指數冪 費雪z 高斯q 廣義常態 廣義雙曲 幾何穩定 岡貝爾 赫魯茲馬克 雙曲正割 詹森SU 朗道 拉普拉斯 非對稱拉普拉斯 邏輯 非中心t 常態（高斯） 常態逆高斯 偏斜常態 斜線 穩定 學生t 第一類岡貝爾 特雷西-威登 變異數-γ 福格特 可變類型支集連續單變數 廣義極值 廣義柏拉圖 圖基λ Q-高斯 Q-指數 Q-韋伯 移位對數邏輯 混合連續離散單變數 調整高斯 多元（聯合） 離散 尤恩斯 多項 狄利克雷多項 負多項 連續 狄利克雷 廣義狄利克雷 多元常態 多元穩定 多元t 常態縮放逆γ 常態γ 動差陣 逆動差陣γ 逆威沙特 動差陣常態 動差陣t 動差陣γ 常態逆威沙特 常態威沙特 威沙特 定向（英語：Directionalstatistics） 一元（圓形） 圓形均勻 一元馮·米塞斯 環繞常態 環繞柯西 環繞指數 環繞非對稱拉普拉斯 環繞列維 二元（球形） 肯特 二元（環形） 二元馮·米澤斯 多元 馮·米澤斯-費雪 賓漢姆 退化和奇異（英語：Singulardistribution） 退化 狄拉克δ 奇異 康托爾 族 圓形 複合卜瓦松 橢圓 指數 自然指數 位置尺度 最大熵 混合 皮爾森 特威迪 環繞 閱論編機率分布的理論機率質量函數 ·機率密度函數 ·累積分布函數 ·分位函數動差 ·中心動差 ·期望值 ·變異數 ·標準差 ·偏度 ·峰度動差母函數 ·特徵函數 ·機率生成函數 ·累積量 閱論編統計學敘述統計學連續變數機率分布集中趨勢平均數（平方 ·算術 ·幾何 ·調和 ·算術-幾何 ·幾何-調和 ·希羅／平均數不等式）·中位數·眾數離散程度全距·變異係數·百分位數·四分差·四分位數·標準差·變異數·平均差·標準分數·柴比雪夫不等式·吉尼係數分布形態（英語：Shapeofthedistribution）偏態·峰態離散變數機率分佈次數（英語：Countdata）·列聯表（英語：Contingencytable）推論統計學和假說檢定推論統計學信賴區間·區間估計（英語：Intervalestimation）·顯著性差異·元分析·貝氏推論實驗設計母體·抽樣·重抽樣（刀切法·自助法·交叉驗證）·重複（英語：Replication(statistics)）·阻礙·靈敏度和特異度·區集（英語：Blocking(statistics)）樣本量（英語：Samplesize）標準誤·虛無假說·對立假說·型一錯誤與型二錯誤·檢定力·效應值常規估計貝氏推論·區間估計（英語：Intervalestimation）·最大概似估計·最小距離估計（英語：Minimumdistanceestimation）·動差量法·最大間距特效檢定Z檢定·司徒頓t檢定·F檢定·卡方檢定·Wald檢定（英語：Waldtest）·曼-惠特尼檢定（英語：Mann–WhitneyUtest）·秩和檢定生存分析生存函數·乘積極限估計量·對數秩和檢定·失效率·危險比例模式相關及迴歸分析相關性混淆變項（英語：Confounding）·皮爾森積動差相關係數·等級相關（英語：Rankcorrelation）(斯皮爾曼等級相關係數·肯德等級相關係數（英語：Kendalltaurankcorrelationcoefficient）)·自由度線性迴歸線性模式（英語：Linearmodel）·一般線性模式·廣義線性模式·變異數分析·共變異數分析（英語：Analysisofcovariance）非線性迴歸非母數迴歸模型（英語：Nonparametricregression）·半母數迴歸模型（英語：Semiparametricregression）·Logit模型統計圖形圓餅圖·長條圖·雙標圖·箱形圖·管制圖·森林圖（英語：Forestplot）·直方圖·分位圖·趨勢圖·散點圖（英語：Scatterplot）·莖葉圖（英語：Stem-and-leafdisplay）·雷達圖（英語：Radarchart）·示意地圖其他回應過程效度·統計誤用 分類 主題 共享資源 專題 閱論編常見一元（英語：Univariatedistribution）機率分布連續 Β 柯西 χ² 指數 F Γ 拉普拉斯 對數常態 常態 柏拉圖 學生t 均勻 韋伯 離散 伯努利 二項 離散均勻 幾何 超幾何 負二項 卜瓦松 機率分布列表（英語：Listofprobabilitydistributions） 規範控制 BNF:cb119780901(data) LCCN:sh85038545 NDL:00564751 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=概率分布&oldid=68427813」 分類：​概率分布隱藏分類：​含有英語的條目有未列明來源語句的條目自2009年4月有未列明來源語句的條目包含BNF標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةAsturianuБеларускаяБългарскиবাংলাCatalàČeštinaCymraegDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarՀայերենBahasaIndonesia日本語ქართული한국어LatinaLietuviųМакедонскиBahasaMelayuNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийසිංහලSimpleEnglishSlovenščinaСрпски/srpskiSundaSvenskaதமிழ்ไทยTagalogTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt吴语粵語 編輯連結