聯合及邊際分佈

聯合及邊際分佈. ... 之聯合機率密度函數(joint probability density function), 或聯合p.d.f.。

... 之機率時, 通常會較回到樣本空間上(如例1.1的作法)去求容易。

Next:Aboutthisdocument... Up:多維隨機變數 Previous:多維隨機變數 聯合及邊際分佈 到目前為止,我們所討論的隨機變數,都是所謂單變數(univariate), 本章我們要引進多變數(multivariate),或說多維(或說多變量)隨機變數。

在進行一隨機試驗,較少的時候才只觀測一隨機變數。

很少有說只收集一 個數據的。

例如,做民調,不會只調查一個人; 要了解某地區之國民所得,不會只取得一個人的所得。

有時候我們要比較兩次考試的成績,則對同一個學生便有兩個數據。

身高與體重間之關係,也是兩個變數。

這些例子, 足以說明多維隨機變數也是我們必須熟悉的。

所謂 維的隨機向量(-dimensionalrandom vector), 為一由樣本空間映至維歐氏空間的函數。

有時會說 維(或 變數)的隨機變數 。

本章頭幾節, 我們主要討論的情況,的情況至第3.7節再介紹。

假設對 ,有一二維的點與其對應,,則便定義出一個二維的隨機向量。

例1.1投擲一公正骰子兩次,樣本空間給在第一章例2.3,共有36個元素。

對一樣本點 ,表第一次出現, 第二次出現。

現定義二隨機變數 例如,若,則。

而對,亦有 。

定義出隨機向量, 我們便可以求經由所定義出的事件之機率。

這種事件, 當然都還是的一個子集合,因此才能求出其機率。

例如, 我們可以問,即且,之機率為何? 即要求 ,或是 。

為了簡便,我們常將後者寫成, 即以逗號``, ''表``且''。

不難驗證中,使且的元素,恰就是 , 二樣本點。

由於每一樣本點之機率皆為。

故 另外,      表1.1例1.1中之聯合p.d.f.及邊際p.d.f. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 上例中的隨機向量為離散型, 因它所有可能的值是可數的(事實上為有限)。

對離散型的隨機向量,令 稱為(或省略括號,只寫)之聯合機率密度函數(jointprobability densityfunction), 或聯合p.d.f.。

有時為了強調是之聯合p.d.f., 也可寫成。

表1.1給出例1.1中之聯合p.d.f.。

如同單變數的情況,由之聯合p.d.f.,可完全決定之機率分佈。

即對 ,     (1.1) 由於為一離散型的隨機向量,只對可數個才不等於0。

所以即使包含不可數個點,如上一長方形, (1.1)式的右側,只會是一可數個的和。

例如, 取 。

這是中一半線, 有不可數個點。

但由表1.1知, 在中只有或才會使。

故 如預期的,與例1.1中所得相同。

當求出之聯合p.d.f.後, 在求關於之機率時, 通常會較回到樣本空間上(如例1.1的作法)去求容易。

對離散型的隨機向量,其聯合p.d.f.,要滿足 ,且存在一可數的集合,使得     (1.2) 反之,若為一由至的非負函數, 且只有在一可數的集合才不 為,並滿足(1.2)式, 必為某一隨機向量之聯合p.d.f.。

如同單變數的情況, 這種並不唯一。

不同的隨機向量,可以有相同的聯合p.d.f.。

雖然在考慮隨機向量,但有時會對其中某一變數有興趣。

例如, 我們可能想知道諸如之機率。

若為一隨機向量, 則分別為隨機變數。

對離散的情況,令 ,分別稱為及之邊際(marginal)機率密度函數,或說邊際p.d.f.。

下述定理給出由聯合p.d.f.來求邊際p.d.f.的方法。

定理1.1設有離散型隨機向量,以為其聯合p.d.f.。

則     (1.3)     (1.4) 證明.我們只證關於的結果,關於的證明類似。

對任意 ,由於事件 之機率為,故 證畢。

如果取非負整數值,則(1.3)式成為 如果取值在正偶數,則 又 須滿足     (1.5)     (1.6) 因只是對所有可能的值相加,為了簡便,常以 分別取代      例1.2利用定理1.1,可求出例1.1中之邊際p.d.f.: 我們將之邊際p.d.f.亦給在表1.1。

可驗證      由之聯合p.d.f.,除了知道關於之事件的機率, 也可知道僅關於,或僅關於之事件的機率。

再來我們考慮連續型的隨機向量。

一由映至的非負函數,若滿足對 ,     (1.7) 便稱為連續型隨機向量之聯合p.d.f.。

至於之邊際p.d.f.,則定義為     (1.8)     (1.9) 反之,任一二變數的非負函數,若滿足     (1.10) 必為某一連續型的隨機向量之聯合p.d.f.。

如果(1.10)式中之只在一有限的區域, 例如長方形 ,其中,不為0, 則(1.10)式成為 要注意的是,有時候不同的聯合p.d.f.,會導致相同的邊際p.d.f.。

也就是有可能與分佈不同,但 , 。

習題第11題為一例。

例1.3設之聯合p.d.f.為 首先要說明的是,對上述,有時我們只簡單地寫成 並隱含著若不在所給的區域,則皆為。

又上述區域可簡化為 ,或 。

     我們先驗證確為一p.d.f.: 其次之邊際p.d.f.為 故 當然不求邊際p.d.f.,之機率,亦可由下述積分求得, 答案相同: 同理可求出 要注意邊際p.d.f.的範圍。

原本之範圍是互有影響的(),但 之的範圍卻不能有, 之的範圍也不能有。

例1.4設之聯合p.d.f.為 雖然表面上看起來中不含,但因不為之處: ,與有關,所以仍與有關。

事實上若將寫成下述型式就較清楚了:      底下來求事件之機率。

由下圖看出的機率較好求。

又因這是連續型的隨機變數,故與之機率相同。

figure=2x.eps,height=5cm 由上述說明得 若先對再對積分,也可求出。

即 會得到相同的答案,只是此時計算稍繁瑣些,讀者不妨自行練習。

隨機向量之聯合分佈函數的定義為:     (1.11) 對離散型的隨機向量,聯合分佈函數常沒有簡單的型式, 應用上不是那麼方便。

但對連續型的隨機向量,如同單變數的情況, 若之聯合p.d.f.為,則     (1.12) 利用兩變數的微積分基本定理,在每一之連續點, 上式導致     (1.13) 最後對隨機向量,令為一實值函數,則仍為一隨機變數。

對離散型及連續型,之期望值分別為 例1.5承例1.3。

我們有 另外, 也可利用例1.3中,所求出的之邊際p.d.f.而得,即 答案當然要相同。

例1.6設之聯合p.d.f.為 試求(i)之值,(ii),及(iii),。

解.(i)由          得。

(ii)               (iii)設。

則 至於若,則,若, 則。

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