獨立性

兩個事件獨立的情況。

若要計算二獨立事件交集的機率, 我們只需將二事件個別的機率相乘即可。

若要決定.    接下來我們來看獨立性(independence)。

在機率論裡, 獨立是一很重要的概念。

不過這 種獨立的概念,是所謂統計的獨立(statistically independent),或稱隨機的獨立(stochastically   independent),與日常生活裡的主權獨立, 經濟獨立中的"獨立"意義並不相同。

   若一事件之發生, 對事件之發生的機率並沒有影響。

即                      , --------------------------------(1) 則我們說與相互獨立(mutually independent,簡稱獨立)。

此處需要求。

   再由先前介紹的條件機率知                    ,--------------------------(2) 因此,由(1)式與(2)式可得                    。

---------------------------(3) (3)式對或為0時仍然成立(因此時(3)式左、右均為0)。

所以我們就常以(3)式當 做與獨立的條件。

採用(3)式的好處是將二事件與對稱地對待, 且較易推廣到超過 兩個事件獨立的情況。

   若要計算二獨立事件交集的機率, 我們只需將二事件個別的機率相乘即可。

若要決定 與是否為獨立, 只要驗證是否成立, 若成立,則與獨立,  否則與相依(dependent)。

        當事件與 獨立時, 由 之發生,對事件得不到任何推論(inference) 。

因此直觀上   與 獨立, 會導致與獨立。

這是正確的, 其推導如下:          事實上不難看出,與、與也都獨立。

   最後, 我們來看三個事件的獨立要如何定義?   設,, 為樣本空間中的三事件,若滿足   (1) , ,兩兩獨立, 即          ,          ,           ,   (2),  則我們稱, ,三事件相互獨立(仍簡稱獨立)。

生活中的實例1 投擲一公正的骰子一次,令表出現偶數點的事件, 表出現3點或6點的事件。

試問與 是否獨立? [解]: ={2,4,6}, ={3,6},={6}, 所以     , ,     ,  所以事件與獨立。

　 隨堂練習1 投擲一骰子二次,令表第一次為4點的事件, 表第二次為3或6點的事件。

試問與是否 獨立。

[解]:獨立。

　 生活中的實例2 設, 為樣本空間之二事件,若, ,,  試求滿足下述條件之之值。

(1)與為互斥事件, (2)與為獨立事件。

[解]: (1)因與為互斥事件,所以 ,且, 故 　    所以。

(2)因與為獨立事件,故,因此可得 　 隨堂練習2 甲乙二人平常射擊之命中率分別為0.5,0.6,且互不影響, 今有一鳥飛入射程內,  二人同時各對他發射一槍, 求此鳥被命中之機率為何? [解]:0.8。

　 生活中的實例3  某賣場經理根據過去經驗知道, 有80%的顧客在結帳時會使用信用卡,則連續三位顧客皆使用 信用卡的機率為何?  [解]:在沒有其他已知的條件下, 我們假設此三位顧客使用信用卡的事件為獨立似不為過。

因 此三人皆使用信用卡的機率為0.8×0.8×0.8=0.512。

　 隨堂練習3      投擲一公正銅板三次,令表第一次出現正面的事件,表第二次出現正面的事件,表第三次 出現反面的事件,試問, ,三事件是否相互獨立。

[解]:,, 三事件相互獨立。

　 1.在梅莉史翠普(Merylstreep)主演的越戰獵鹿人(TheDeerHunter,1978年奧斯卡金像 獎最佳影片)那部電影裡,有一描述虐待戰俘的方法。

在一可裝6發子彈的左輪手槍(revolver) 裡,只放一顆子彈,隨機地一轉後,要二戰俘輪流用手槍向自己的頭部發射,直到一名戰俘中槍, 另一名戰俘才逃過一劫。

這就是所謂俄羅斯輪盤(Russianroulette)的遊戲。

試問 (1)先發射者是否較不利?  (2)若改為放兩顆子彈,結果有何不同?  [解答部分] 1.(1) 無論先發射或後發射死亡機率均為0.5。

  (2)對先發射者較不利。

  　 某一團體中有4位大一男生,6位大一女生,6位大二男生, 及位大二女生。

若自此 團體中任取一位學生,其性別與年級獨立, 試問此時為何值? 投擲一公正的骰子一次,令表得到偶數,表得到奇數, 表得到7點, 試問此三事 件是否獨立,為什麼? 投擲一公正的骰子二次,令表第一次得到奇數,表第二次得到奇數, 表兩次之和為 奇數。

試問此三事件是否獨立, 為什麼? 有一道數學題目,甲生能解出之機率為0.5, 乙生能解出之機率為0.3,若甲、乙二人同時 解此道題目且互不影響, 試求下述情況之機率: (1)甲、乙二人均解出, (2)甲、乙二人恰有一人解出, (3)甲、乙二人均未解出, (4)此題被解出。

甲乙丙三人平常射擊之命中率分別為0.5,0.6,0.7,且互不影響, 今有一鳥 飛入射程內, 三人同時各對它發射一槍, 求此鳥被命中之機率為何? 　 [解答部分] 1.9。

2.不獨立,因與不獨立。

3.不獨立。

4.(1)0.15,(2)0.5,(3)0.35,(4)0.65。

5.0.94。