独立(概率论) - 维基百科，自由的百科全书

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統計學系列條目機率論 機率公理 機率空間 樣本空間 基本事件（英語：Elementary_event） 事件 隨機變數 機率測度 獨立事件 聯合分布 邊際分布 條件機率 統計獨立性 條件獨立 全機率定理 大數法則 貝氏定理 布林不等式 文氏圖 樹形圖 閱論編 在機率論裡，說兩個事件是獨立的，直覺上是指一次實驗中一事件的發生不會影響到另一事件發生的機率。

例如，在一般情況下可以認為連續兩次擲骰子得到的點數結果是相互獨立的。

類似地，兩個隨機變數是獨立的，若其在一事件給定觀測量的條件機率分布和另一事件沒有被觀測的機率分布是一樣的。

對於兩個以上的事件，需要區分兩種獨立的概念。

如果集合中的任意兩個事件相互獨立，則這些事件稱為兩兩獨立(pairwiseindependent)，而事件相互獨立(mutuallyindependent)指每個事件獨立於集合中其他事件的任何交集。

在機率論、統計學和隨機過程的標準文獻中，沒有限定詞的獨立通常指相互獨立。

目次 1獨立事件 1.1對於兩個事件 1.2對於任意個事件 1.3獨立事件的性質 2獨立隨機變量 3條件獨立隨機變數 4另見 5書籍 獨立事件[編輯] 對於兩個事件[編輯] 兩個事件A和B是獨立的若且唯若 P r ( A ∩ B ) = P r ( A ) P r ( B ) {\displaystyle\mathrm{Pr}(A\capB)=\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B)} 。

這裡，A∩B是A和B的交集，即為A和B兩個事件都會發生的事件。

對於任意個事件[編輯] 若有限個事件構成的集合 { A i } i = 1 n {\displaystyle\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} 中每對事件都是獨立的，則這些事件是兩兩獨立(pairwiseindependent)的。

[1] 即若且唯若對任意的 i , j ∈ { 1 , . . . , n } , i ≠ j {\displaystylei,j\in\{1,...,n\},i\neqj} ，有 P r ( A i ∩ A j ) = P r ( A i ) P r ( A j ) {\displaystyle\mathrm{Pr}(A_{i}\capA_{j})=\mathrm{Pr}(A_{i})\mathrm{Pr}(A_{j})} 若有限個事件構成的集合 { A i } i = 1 n {\displaystyle\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} 中每個事件都與任何其他事件構成的交集獨立，則這些事件是相互獨立(mutuallyindependent)的。

即若且唯若對其任一有限子集A1,...,An，會有 Pr ( A 1 ∩ ⋯ ∩ A n ) = Pr ( A 1 ) ⋯ Pr ( A n ) {\displaystyle\Pr(A_{1}\cap\cdots\capA_{n})=\Pr(A_{1})\,\cdots\,\Pr(A_{n})} 。

或寫作： Pr ( ⋂ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n Pr ( A i ) . {\displaystyle\Pr\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n}\Pr(A_{i}).\!\,} 這被稱為獨立事件的乘法規則。

獨立事件的性質[編輯] 若兩個事件A和B是獨立的，則其B給之A的條件機率和A的「無條件機率」一樣，即 Pr ( A ∣ B ) = Pr ( A ) {\displaystyle\Pr(A\midB)=\Pr(A)\,} 。

至少有兩個理由可以解釋為何此一敘述不可以當做獨立性的定義：(1)A和B兩個事件在此敘述中並不對稱，及(2)當機率為0亦可包含於此敘述時，會有問題產生。

若回想條件機率Pr(A|B)的定義為 Pr ( A ∣ B ) = Pr ( A ∩ B ) Pr ( B ) , {\displaystyle\Pr(A\midB)={\Pr(A\capB)\over\Pr(B)},} (只要Pr(B)≠0) 則上面的敘述則會等價於 Pr ( A ∩ B ) = Pr ( A ) Pr ( B ) {\displaystyle\Pr(A\capB)=\Pr(A)\Pr(B)} 即為上面所給定的標準定義。

注意獨立性並不和它在地方話裡的有相同的意思。

例如，一事件獨立於其自身若且唯若： Pr ( A ) = Pr ( A ∩ A ) = Pr ( A ) Pr ( A ) {\displaystyle\Pr(A)=\Pr(A\capA)=\Pr(A)\Pr(A)\,} 亦即，其機率不是零就是一。

因此，當一事件或其補集幾乎確定會發生，它即是獨立於其本身。

例如，若事件A從單位區間的連續型均勻分布上選了0.5，則A是獨立於其自身的，儘管重言式地，A完全決定了A。

獨立隨機變數[編輯] 上面所定義的是事件的獨立性。

在這一節中，我們將處理隨機變數的獨立性。

若X是一實數值隨機變數且a是一數字的話，則X ≤ a的事件是一個事件，所以可以有意義地說它是否會獨立於其他的事件。

兩個隨機變數X和Y是獨立的若且唯若對任何數字a和b，事件[X≤a](X小於或等於a的事件)和[Y≤b]為如上面所定義的獨立事件。

類似地，隨意數量的隨機變數是明確地獨立的，若對任一有限子集X1,...,Xn和任一數字的有限子集a1,...,an，其事件[X1≤a1],...,[Xn≤an]會是如上面所定義的獨立事件。

其量測可以由事件[X∈A]來取代上面所定義的事件[X≤a]，其中A為任一包絡集合。

此一定義完全和上述其隨機變數的值為實數的定義等價。

且他有著可以作用於複值隨機變數和在任一拓撲空間中取值之隨機變數上的優點。

即使任意數目中的任二個隨機變數都是獨立的，但它們可能仍舊會無法互相獨立；這種的獨立被稱為兩兩獨立。

若X和Y是獨立的，則其期望值E會有下列的好性質： E[XY]=E[X]E[Y], （假定都存在）且其變異數（若存在）滿足 var(X+Y)=var(X)+var(Y), 因為其共變異數cov(X,Y)為零。

(其逆命題不成立，即若兩個隨機變數的共變異數為0，它們不一定獨立。

) 此外，具有分布函數FX(x)及FY(y)和機率密度fX(x)及fY(y)的隨機變數X和Y為獨立的，若且唯若其相結合的隨機變數(X,Y)有一共同分布 F X , Y ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) , {\displaystyleF_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),} 或等價地，有一共同密度 f X , Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) {\displaystylef_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)} 。

類似的表示式亦可以用來兩個以上的隨機變數上。

條件獨立隨機變數[編輯] 主條目：條件獨立 直覺地，兩個隨機變數X和Y給定Z條件獨立，如果：一旦知道了Z，從Y的值便不能得出任何關於X的訊息。

例如，相同的數量Z的兩個測量X和Y不是獨立的，但它們是給定Z條件獨立（除非兩個測量的誤差是有關聯的）。

條件獨立的正式定義是基於條件分布的想法。

如果X、Y和Z是離散型隨機變數，那麼我們定義X和Y給定Z條件獨立，如果對於所有使 P r ( Z ≤ z ) > 0 {\displaystyle\mathrm{Pr}(Z\leqz)>0} 的x、y和z，都有： P ( X ≤ x , Y ≤ y | Z = z ) = P r ( X ≤ x | Z = z ) ⋅ P r ( Y ≤ y | Z = z ) {\displaystyle\mathrm{P}(X\leqx,Y\leqy\;|\;Z=z)=\mathrm{Pr}(X\leqx\;|\;Z=z)\cdot\mathrm{Pr}(Y\leqy\;|\;Z=z)} 另一方面，如果隨機變數是連續的，且具有聯合機率密度p，那麼X和Y給定Z條件獨立，如果對於所有使 p Z ( z ) > 0 {\displaystylep_{Z}(z)>0} 的實數x、y和z，都有： p X Y | Z ( x , y | z ) = p X | Z ( x | z ) ⋅ p Y | Z ( y | z ) {\displaystylep_{XY|Z}(x,y|z)=p_{X|Z}(x|z)\cdotp_{Y|Z}(y|z)} 如果X和Y給定Z條件獨立，那麼對於任何滿足 P r ( Z = z ) > 0 {\displaystyle\mathrm{Pr}(Z=z)>0} 的x、y和z，都有：   P r ( X = x | Y = y , Z = z ) = P r ( X = x | Z = z ) {\displaystyle\\mathrm{Pr}(X=x|Y=y,Z=z)=\mathrm{Pr}(X=x|Z=z)} 也就是說，X給定Y和Z的條件分布，與僅僅給定Z的條件分布是相同的。

對於連續的情況下的條件機率密度函數，也有一個類似的公式。

獨立性可以視為條件獨立的一個特例，因為機率可以視為不給定任何事件的條件機率。

另見[編輯] 耦合 獨立且同態隨機變數 書籍[編輯] KirbyFaciane(2006).StatisticsforEmpiricalandQuantitativeFinance.H.C.Baird:Philadelphia.ISBN0-9788208-9-4. ^Feller,W.StochasticIndependence.AnIntroductiontoProbabilityTheoryandItsApplications.Wiley.1971.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=独立_(概率论)&oldid=70432760」 分類：概率論隱藏分類：自2017年10月需要專業人士關注的頁面使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 العربيةCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDeutschEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiFrançaisעבריתMagyarItaliano日本語한국어BahasaMelayuNederlandsPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSlovenščinaSundaSvenskaไทยTürkçeУкраїнськаاردوTiếngViệt粵語 編輯連結