因數- 维基百科，自由的百科全书

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因数，也称为约数（英語：Divisor）是一个常见的数学名词，用于描述自然数 a {\displaystylea} 和自然数 b {\displaystyleb} 之间存在的整除关系，即 b {\displaystyleb} 可以被 a {\displaystylea} 整除。

这里我们称 b {\displaystyleb} 是 a {\displaystylea} 的倍数， a {\displaystylea} 是 b {\displaystyleb} 的因数或因子。

目录 1定义 2性质 3相关定理 3.1整数的唯一分解定理 3.2因数个数 3.3因数和 4其他 5相關條目 定义[编辑] 设 a , b {\displaystylea,b} 满足 a ∈ N ∗ , b ∈ N {\displaystylea\in\mathbb{N}^{*},b\in\mathbb{N}} .若存在 q ∈ N {\displaystyleq\in\mathbb{N}} 使得 b = a q {\displaystyleb=aq} ,那么就说 b {\displaystyleb} 是 a {\displaystylea} 的倍数， a {\displaystylea} 是 b {\displaystyleb} 的约数。

这种关系记作 a | b {\displaystylea|b} ,读作“ a {\displaystylea} 整除 b {\displaystyleb} ”. 例如 24 = 3 × 8 , 1150 = 25 × 46 {\displaystyle24=3\times8,\;1150=25\times46} .所以 3 | 24 , 25 | 1150 {\displaystyle3|24,\;25|1150} ，同时 3 {\displaystyle3} 是 24 {\displaystyle24} 的因数； 25 {\displaystyle25} 是 1150 {\displaystyle1150} 的因数。

性质[编辑] 若 a | b , b | c {\displaystylea|b,\;b|c} 那么 a | c {\displaystylea|c} . 若 a | b , a | c {\displaystylea|b,\;a|c} 且 x , y ∈ Z {\displaystylex,y\in\mathbb{Z}} ,有 a | ( b x + c y ) {\displaystylea|(bx+cy)} . 若 a | b {\displaystylea|b} ,设 t ≠ 0 {\displaystylet\not=0} ,那么 ( t a ) | ( t b ) {\displaystyle(ta)|(tb)} . 若 b = q d + c {\displaystyleb=qd+c} ,那么 d | b {\displaystyled|b} 的充要条件是 d | c {\displaystyled|c} 若 x , y ∈ Z {\displaystylex,y\in\mathbb{Z}} 满足 a x + b y = 1 , a | n . b | n {\displaystyleax+by=1,\;a|n.\;b|n} 那么 a b | n {\displaystyleab|n} . 这里对最后一条性质进行证明: ∵ a | n , b | n ∴ a b | b n , a b | a n ∴ a b | ( a n x + b n y ) {\displaystyle\becausea|n,\;b|n\quad\thereforeab|bn,\;ab|an\quad\thereforeab|(anx+bny)} ∵ a x + b y = 1 ∴ a b | n {\displaystyle\becauseax+by=1\quad\thereforeab|n} 证毕。

相关定理[编辑] 整数的唯一分解定理[编辑] 任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。

这个过程称为质因数分解 如果 A ∈ N + {\displaystyleA\in\mathbb{N}^{+}} ,那么 A = ∏ i = 1 n p i a i {\displaystyleA=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}} ,其中 p i {\displaystylep_{i}} 是一个素数. 这种表示方法是唯一的。

因数个数[编辑] 自然数 N {\displaystyleN} 的因数个数以 d ( n ) {\displaystyled(n)} 表示。

若 N {\displaystyleN} 唯一分解为 N = p 1 a 1 × p 2 a 2 × p 3 a 3 × ⋯ × p n a n = ∏ i = 1 n p i k i {\displaystyleN=p_{1}^{a_{1}}\timesp_{2}^{a_{2}}\timesp_{3}^{a_{3}}\times\cdots\timesp_{n}^{a_{n}}=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}} ,则 d ( N ) = ( a 1 + 1 ) × ( a 2 + 1 ) × ( a 3 + 1 ) × ⋯ × ( a n + 1 ) = ∏ i = 1 n ( a i + 1 ) {\displaystyled(N)=(a_{1}+1)\times(a_{2}+1)\times(a_{3}+1)\times\cdots\times(a_{n}+1)=\prod_{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)} . 例如 2646 = 2 × 3 3 × 7 2 {\displaystyle2646=2\times3^{3}\times7^{2}} ，则其正因数个数 d ( 2646 ) = ( 1 + 1 ) × ( 3 + 1 ) × ( 2 + 1 ) = 24 {\displaystyled(2646)=(1+1)\times(3+1)\times(2+1)=24} 。

因数和[编辑] 自然数N的正因数和，以因数函数 σ ( N ) {\displaystyle\sigma(N)} 表示。

由质因数分解而得。

若 N {\displaystyleN} 唯一分解为 N = p 1 a 1 × p 2 a 2 × p 3 a 3 × ⋯ × p n a n = ∏ i = 1 n p i k i {\displaystyleN=p_{1}^{a_{1}}\timesp_{2}^{a_{2}}\timesp_{3}^{a_{3}}\times\cdots\timesp_{n}^{a_{n}}=\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}} ,则 σ ( N ) = ∏ i = 1 n ( ∑ j = 0 a i p i j ) {\displaystyle\sigma(N)=\prod_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)} . 再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成： σ ( N ) = p 1 a 1 + 1 − 1 p 1 − 1 × p 2 a 2 + 1 − 1 p 2 − 1 × ⋯ × p n a n + 1 − 1 p n − 1 {\displaystyle{\begin{aligned}\sigma(N)&={\frac{p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times{\frac{p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times\cdots\times{\frac{p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}} 例如 2646 = 2 × 3 3 × 7 2 {\displaystyle2646=2\times3^{3}\times7^{2}} ，则其正因数之和 σ ( 2646 ) = ( 1 + 2 ) × ( 1 + 3 + 9 + 27 ) × ( 1 + 7 + 49 ) = 2 2 − 1 2 − 1 × 3 4 − 1 3 − 1 × 7 3 − 1 7 − 1 = 3 × 40 × 57 = 6840 {\displaystyle{\begin{aligned}\sigma(2646)&=(1+2)\times(1+3+9+27)\times(1+7+49)\\&={\frac{2^{2}-1}{2-1}}\times{\frac{3^{4}-1}{3-1}}\times{\frac{7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times40\times57\\&=6840\end{aligned}}} 。

其他[编辑] 所有n的正因數都是n的質因數的積的一些冪。

這是算術基本定理的結果。

1是所有整數的正因數，-1是所有整數的負因數，因為 x = 1 x = − 1 × ( − x ) {\displaystylex=1x=-1\times(-x)} 由上式同樣可證明，一個整數及其相反數必然為自身的因數，叫做明顯因數。

n的正因數數目是積性函數d(n)，正因數之和則是另一個積性函數σ(n)。

詳見除數函數 質數 p {\displaystylep} 只有2個正因數：1, p {\displaystylep} 。

p {\displaystylep} 的平方數只有三個正因數：1, p {\displaystylep} , p 2 {\displaystylep^{2}} 。

相關條目[编辑] 因數判別法可參照整除規則。

質數 同余 質因數 公倍數、最小公倍數 公因數、最大公因數 查论编和因數有關的整數分類簡介 質因數分解 因數 元因數 除數函數 質因數 算术基本定理 依因數分解分類 質數 合数 半素数 普洛尼克数 楔形数 无平方数因数的数 冪數 質數冪 平方數 立方數 次方數 阿喀琉斯數 光滑數 正规数 粗糙數 不尋常數 依因數和分類 完全数 殆完全數 准完全数 多重完全數 Hemiperfect數 Hyperperfectnumber（英语：Hyperperfectnumber） 超完全數 元完全數 半完全数 本原半完全数 實際數 有許多因數 过剩数 本原過剩數 高過剩數 超過剩數 可羅薩里過剩數 高合成数 Superiorhighlycompositenumber（英语：Superiorhighlycompositenumber） 奇異數 和真因子和數列有關 不可及数 相亲数 交際數 婚約數 其他 亏数 友誼數 孤獨數 卓越数 歐爾調和數 佩服數 節儉數 等數位數 奢侈數 查论编分數&比率除法＆比例 被除數 :除數=商數 分數 分子/分母=商數 代數 長寬比 连分数 十进制 二进分数 古埃及分數 黄金分割率 白銀比例 整数 最简分数 精簡 最小公分母 音程 百分比 單位分數 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=因數&oldid=68785937” 分类：​初等数论除法隐藏分类：​自2019年4月缺少来源的条目含有英語的條目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 ÆngliscالعربيةAymararuБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)বাংলাCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیSuomiNaVosaVakavitiFrançaisગુજરાતીעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語Қазақша한국어LëtzebuergeschLatviešuМакедонскиमराठीမြန်မာဘာသာNederlandsNorsknynorskPolskiPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSvenskaŚlůnskiதமிழ்తెలుగుไทยTürkçeУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语文言Bân-lâm-gú粵語 编辑链接