5.4指數及對數函數之進一步討論 - 高雄大學

我們先看指數及對數函數的泰勒展式。

... 其中第 次泰勒多項式 ... 下述定理顯示，對數函數成長速度較任意 正的乘冪皆慢，而指數函數之成長快過任意 之乘冪。

指數及對數函數之進一步討論 a        我們先看指數及對數函數的泰勒展式。

        首先由 ，兩側對 積分，由0至 ，得 ，即 。

其中第 次泰勒多項式 ，餘項 。

  a 定理. 若 ，則 。

若 ，則 與 同號，且 。

 a        下述定理對計算對數的值幫助很大。

  a 定理. 設且 ，則 ， 其中 。

 a例 1.試求 之近似值。

      a例 2.試求 之近似值。

      a        若利用 記號，由以上的結果可得 ， 。

                a例 3.試證 。

       a        底下我們來看比 ，更一般的結果。

   a 定理. 設有數列 及 ，滿足 ，且 。

則 。

  a        利用此定理，立即可得 。

又仿上述定理，亦可得一關於連續變數的結果。

  a 系理. 設 ，且 ，其中 。

則 。

  a 例4.假設以打字機打字，且設每個字會打錯的機率為 ， 。

以 表打個字後總共錯的字數，則為何？      a        對數函數及指數之漸增或漸減，有許多有趣的性質，底下為一例。

  a 例5.設 。

試證 為一增函數。

       a       在『對數』中，我們曾提過對數函數成長緩慢。

相反地，指數函數成長極快速。

下述定理顯示，對數函數成長速度較任意正的乘冪皆慢，而指數函數之成長快過任意之乘冪。

  a 定理. 設 ， 。

則 ，     。

  a        利用記號，上定理可表示為 ，       。

不論 多大及 多小，只要二者皆為正，則 趨近至 的速度慢過 ，而 趨近至的速度又慢過 。

  a例 6.求 。

        a        在『極限之不定形』我們曾提過尚有一些不定形之極限未處裡，即 和 的形式，這些經適當地轉換後，皆可化為 或 的不定形。

有關對數或指數的不定形，也常可藉助前定理來處理。

  a例 7.試證 。

        a例 8.求 。

        a  進一步閱讀資料：黃文璋(2002).  指數及對數函數之進一步討論。

微積分講義第五章，國立高雄大學應用數學系。