二次函數- 維基百科，自由的百科全書

的定義是一個二次多項式，因為 x {\displaystyle x} x 的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。

該方程的解稱為方程的根或 ... 二次函數 語言 監視 編輯 在數學中，二次函數（英語：quadraticfunction）表示形為 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} （ a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,\!} ，且 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 是常數）的多項式函數，其中， x {\displaystylex} 為自變量[a]， a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。

二次函數的圖像是一條主軸平行於 y {\displaystyley} 軸的拋物線。

[1]解析式： f ( x ) = x 2 − x − 2 {\displaystylef(x)=x^{2}-x-2\,\!} 二次函數表達式 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c} 的定義是一個二次多項式，因為 x {\displaystylex} 的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零，則可得一個一元二次方程式、二次方程式。

該方程的解稱為方程的根或函數的零點。

目次 1歷史 2根 3二次函數的形式 4圖像 4.1x截距 4.2頂點 4.3最大值和最小值 5二次函數的平方根 6二元二次函數 6.1最小值/最大值 7註釋 8參考資料 8.1參考書目 9參見 10外部連結 歷史編輯 大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。

公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。

[b]11世紀阿拉伯的花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。

亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liberembadorum，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

[c] 根編輯 更多資訊：二次方程和韋達定理 二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,\!}  的兩個根為： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}}  解方程後，我們會得到兩個根： x 1 {\displaystylex_{1}}  和 x 2 {\displaystylex_{2}}  。

則點 ( x 1 , 0 ) {\displaystyle(x_{1},0)}  和 ( x 2 , 0 ) {\displaystyle(x_{2},0)}  就是二次函數與 x {\displaystylex}  軸的交點。

根的類型如下： 設 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac\,}  為一元二次方程式的判別式，又記作D。

當 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0\,\!}  ，則方程有兩個不相等的根，也即與 x {\displaystylex}  軸有兩個不重疊的交點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}}  是正數。

當 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0\,\!}  ，則方程有兩個相等的根，也即與 x {\displaystylex}  軸有一個切點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}}  是零。

當 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0\,\!}  ，則方程沒有實數根，也即與 x {\displaystylex}  軸沒有交點，因為 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}}  是共軛複數。

設 r 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{1}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}}  和 r 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{2}={\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}}  ，我們可以把 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c\,\!}  因式分解為 a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylea(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}  。

二次函數的形式編輯 二次函數可以表示成以下三種形式： f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}  稱為一般形式或多項式形式。

f ( x ) = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylef(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}  稱為因子形式或交點式，其中 r 1 {\displaystyler_{1}}  和 r 2 {\displaystyler_{2}}  是二次方程的兩個根， ( r 1 , 0 ) {\displaystyle(r_{1},0)}  , ( r 2 , 0 ) {\displaystyle(r_{2},0)}  是拋物線與 x {\displaystylex}  軸的兩個交點。

f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k {\displaystylef(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}  稱為標準形式或頂點形式， ( h , k ) {\displaystyle(h,k)}  即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時，我們需要用求根公式來算出兩個根 r 1 {\displaystyler_{1}}  和 r 2 {\displaystyler_{2}}  ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。

把一般形式轉換成標準形式時，我們需要用配方法。

把因子形式轉換成一般形式時，我們需要把兩個因式相乘並展開。

把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h {\displaystyleh}  代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 h {\displaystyleh}   k {\displaystylek}  展開後比較後可得 k = − a ( | r 1 − r 2 | 2 ) 2 {\displaystylek=-a\left({\frac{|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}  不通過 r 1 {\displaystyler_{1}}  和 r 2 {\displaystyler_{2}}  求 k {\displaystylek}  及 h {\displaystyleh}  公式： h = − b 2 a {\displaystyleh=-{\frac{b}{2a}}}   k = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystylek=-{\frac{b^{2}-4ac}{4a}}}  (也作 k = 4 a c − b 2 4 a {\displaystylek={\frac{4ac-b^{2}}{4a}}}  )而在三種形式中皆出現的 a {\displaystylea}  為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像編輯   f ( x ) = a x 2 , {\displaystylef(x)=ax^{2},\!}   a = { 0.1 , 0.3 , 1 , 3 } {\displaystylea=\{0.1,0.3,1,3\}\!}     f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!}   b = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyleb=\{1,2,3,4\}\!}     f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!}   b = { − 1 , − 2 , − 3 , − 4 } {\displaystyleb=\{-1,-2,-3,-4\}\!}   係數 a {\displaystylea}  控制了二次函數從頂點的增長（或下降）速度，即二次函數開口方向和大小。

| a | {\displaystyle|a|}  越大，開口越小，函數就增長得越快。

係數 b {\displaystyleb}  和 a {\displaystylea}  控制了拋物線的對稱軸（以及頂點的 x {\displaystylex}  坐標）。

係數 b {\displaystyleb}  控制了拋物線穿過 y {\displaystyley}  軸時的傾斜度（導數）。

係數 c {\displaystylec}  控制了拋物線最低點或最高點的高度，它是拋物線與 y {\displaystyley}  軸的交點。

函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大（小）值 y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}}   a > 0 {\displaystylea>0}     當 x > 0 {\displaystylex>0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而增大；當 x < 0 {\displaystylex<0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的減小而增大 y {\displaystyley}  軸或 x = 0 {\displaystylex=0}   向上 0 {\displaystyle0}   y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}}   a < 0 {\displaystylea<0}     當 x > 0 {\displaystylex>0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而減小；當 x < 0 {\displaystylex<0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的減小而減小 y {\displaystyley}  軸或 x = 0 {\displaystylex=0}   向下 0 {\displaystyle0}   y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c}   a > 0 {\displaystylea>0}     當 x > 0 {\displaystylex>0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而增大；當 x < 0 {\displaystylex<0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的減小而增大 y {\displaystyley}  軸或 x = 0 {\displaystylex=0}   向上 c {\displaystylec}   y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c}   a < 0 {\displaystylea<0}     當 x > 0 {\displaystylex>0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而減小；當 x < 0 {\displaystylex<0}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的減小而減小 y {\displaystyley}  軸或 x = 0 {\displaystylex=0}   向下 c {\displaystylec}   y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c}   a > 0 {\displaystylea>0}     當 x > − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而增大；當 x < − b 2 a {\displaystylex − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}}  時， y {\displaystyley}  隨 x {\displaystylex}  的增大而減小；當 x < − b 2 a {\displaystylex 0 {\displaystylea>0\,\!}  時，則是最小值。

經過頂點的豎直線 x = h = − b 2 a {\displaystylex=h=-{\frac{b}{2a}}}  又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值編輯 函數的最大值和最小值總是在駐點（又稱臨界點，穩定點）取得。

以下的方法是用導數法來推導相同的事實，這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}  ，尋找它的極值時，我們必須先求出它的導數： f ( x ) = a x 2 + b x + c ⇔ f ′ ( x ) = 2 a x + b {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow\,\!f'(x)=2ax+b\,\!}  然後，求出 f ′ ( x ) {\displaystylef'(x)\,\!}  的根： 2 a x + b = 0 ⇒ 2 a x = − b ⇒ x = − b 2 a {\displaystyle2ax+b=0\Rightarrow\,\!2ax=-b\Rightarrow\,\!x=-{\frac{b}{2a}}}  因此， − b 2 a {\displaystyle-{\frac{b}{2a}}}  是 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!}  的 x {\displaystylex\,\!}  值。

現在，為了求出 y {\displaystyley\,\!}  ，我們把 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}}  代入 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!}  ： y = a ( − b 2 a ) 2 + b ( − b 2 a ) + c ⇒ y = a b 2 4 a 2 − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 4 a − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 − 2 b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − ( b 2 − 4 a c ) 4 a ⇒ y = − Δ 4 a {\displaystyley=a\left(-{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac{b}{2a}}\right)+c\Rightarrowy={\frac{ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}}{4a}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy={\frac{-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{\Delta}{4a}}}  所以，最大值或最小值的坐標為： ( − b 2 a , − Δ 4 a ) {\displaystyle\left(-{\frac{b}{2a}},-{\frac{\Delta}{4a}}\right)}   二次函數的平方根編輯 二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓，要麼是雙曲線。

如果 a > 0 {\displaystylea>0\,\!}  ，則方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}}  描述了一條雙曲線。

該雙曲線的軸由對應的拋物線 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}  的最小值決定。

如果最小值是負數，則雙曲線的軸是水平的。

如果是正數，則雙曲線的軸是豎直的。

如果 a < 0 {\displaystylea<0\,\!}  ，則方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}}  的圖像要麼是一個橢圓，要麼什麼也沒有。

如果對應的拋物線 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}  的最大值是正數，則它的平方根描述了一個橢圓。

如果是負數，則描述了一個空集。

二元二次函數編輯 二元二次函數是以下形式的二次多項式： f ( x , y ) = A x 2 + B y 2 + C x + D y + E x y + F {\displaystylef(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}  這個函數描述了一個二次曲面。

把 f ( x , y ) {\displaystylef(x,y)\,\!}  設為零，則描述了曲面與平面 z = 0 {\displaystylez=0\,\!}  的交線，它是一條圓錐曲線。

最小值/最大值編輯 如果 4 A B − E 2 < 0 {\displaystyle4AB-E^{2}<0\,}  ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是雙曲拋物面。

如果 4 A B − E 2 > 0 {\displaystyle4AB-E^{2}>0\,}  ，則當 A > 0 {\displaystyleA>0}  時函數具有最小值，當 A < 0 {\displaystyleA<0}  具有最大值。

其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 ( x m , y m ) {\displaystyle(x_{m},y_{m})\,}  取得，其中： x m = − 2 B C − D E 4 A B − E 2 {\displaystylex_{m}=-{\frac{2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}   y m = − 2 A D − C E 4 A B − E 2 {\displaystyley_{m}=-{\frac{2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}  如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,}  且 D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE\neq0\,}  ，則函數沒有最大值或最小值，其圖像是拋物柱面。

如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,}  且 D E − 2 C B = 2 A D − C E = 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE=0\,}  ，則函數在一條直線上取得最大值/最小值。

當 A > 0 {\displaystyleA>0}  時取得最大值， A < 0 {\displaystyleA<0}  時取得最小值。

其圖像也是拋物柱面。

註釋編輯 ^註：自變量 x {\displaystylex}  的取值範圍為任何實數 ^參見婆羅摩笈多#代數 ^參見花拉子米#代數 ^參見韋達定理 參考資料編輯 ^数学.北京:北京師範大學出版社.2014.ISBN 9787303136933. 使用|accessdate=需要含有|url=(幫助) ^賈士代.初中代数41讲.北京:首都師範大學出版社. :49–55.ISBN 7-81039-028-7.  ^WebGraphing.com用配方法解一元二次方程.[2015-08-06].（原始內容存檔於2015-07-29）.  參考書目編輯 《代數1》，Glencoe,ISBN0-07-825083-8 《代數2》，Saxon,ISBN0-939798-62-X參見編輯 拋物線外部連結編輯 埃里克·韋斯坦因.Quadratic.MathWorld.  取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=二次函数&oldid=71769922」