多項式| 科學Online - 國立臺灣大學

多項式 · 選定一個具備實數運算性質的符號，稱為元，元與其本身和其他實數做有限多次加、乘計算所成的式子，稱為多項式。

· 注意 · 自乘 · 書寫多項式時，我們 ... Monday8thAugust2022 8-Aug-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 多項式(Polynomial) 國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯 選定一個具備實數運算性質的符號，稱為元，元與其本身和其他實數做有限多次加、乘計算所成的式子，稱為多項式。

我們通常以$${x}$$作為元，但也可以用其他符號。

例如$${x}$$、$${x+1}$$、$${x^2}$$、$${2{x}^2-{x}+1}$$都是多項式，又特別稱為$${x}$$的多項式。

注意$${-x}$$是$${(-1)}\times{x}$$的意思，而$$\frac{1}{x}$$、$$\sqrt{x}$$都不是多項式。

自乘$${n}$$次的$${x}$$記作$${x^n}$$，這一項次數是$${n}$$；在這一整篇中，都令$${n}$$是$$0$$或正整數；注意$${x^0=1}$$。

令$${a}$$是任意實數，稱$${ax^n}$$是$${x}$$的$$n$$ 次項，而$${a}$$是此項的係數。

例如在多項式$${9{x}^2+{x}+3}$$中，二次項的係數是$$9$$，一次項的係數是$$1$$，零次項的係數是$$3$$；零次項的係數又稱為常數項。

書寫多項式時，我們習慣按照次數由高到低依序而寫，如$${x^5-4x+1}$$，這樣的書寫方式我們稱之為降冪形式。

而若反過來，按次數由低到高排列，如$${1-4x+x^5}$$，則稱之為升冪形式。

多項式中最高次那一項的次數，稱為多項式次數。

$${n}$$次多項式的一般形式為 $${{a}_{n}{x}^{n}}+{{a}_{n-1}x^{n-1}}+$$…..$${+{{a}_{1}{x}}+{a_0}}$$，$${a_n},…..,{a_1}$$,$${a_0}\in\mathbb{R}$$，其中$${{a_n}\neq0}$$。

若以$${P}$$簡記此多項式，則寫成$${P}={{a}_{n}{x}^{n}}+{{a}_{n-1}x^{n-1}}+…..{+{{a}_{1}{x}}+{a_0}}$$。

多項式$${P}$$的次數為則記作$$\mathrm{deg}~{P}$$。

按照多項式的定義，一個實數也是一個多項式，稱為常數多項式。

如果$${a\neq0}$$，則$${a}$$是一個零次多項式。

而$$0$$特別稱為零多項式；我們不討論零多項式的次數。

所以多項式包含了實數。

雖然我們賦予多項式中的「元」與實數相同的加、乘規則，但是它不對應數線上的任何一點，所以多項式不在數線上（除了常數多項式以外），多項式之間不能比較大小，只有相等或者不相等的關係。

當兩個多項式具有相同次數的項，而且同次項的係數都相等，則稱兩個多項式相等，並且用等號記之。

例如$${x^4-x^3+2x^3}$$與$${x^4+x^3}$$相等，記作$${x^4-x^3+2x^3}={x^4+x^3}$$；這是因為，基於實數乘法對加法的分 配律：$${x^4-x^3+2x^3}={x^3}{(x-1+2)}={x^3}{(x+1)}={x^4}+{x^3}$$。

但是，$${x^2}\neq{x}$$。

基本上，應用分配律就能做多項式相加、相減和相乘的運算。

而若$${P}$$、$${Q}$$為多項式，則$${P}-{Q}={P}+{((-1)\times{Q})}$$，所以我們不必討論多項式的減法計算。

執行多項式的加法時，只要對次數相同的項做係數加法即可，稱為同類項合併。

例如$${x^4}-{5x^2}+3x-7$$與$${4x^3-3x^2-2x+3}$$相加，其記號和過程如下： $$({x^4}-{5x^2}+3x-7)+{(4x^3-3x^2-2x+3)}$$ $$={x^4+4x^3-5x^2-3x^2+3x-2x-7+3}$$  (加法交換律) $$={x^4+4x^3-{x^2}{(5+3)}+x(3-2)+(3-7)}$$ (分配律) $$={x^4+4x^3-8x^2+x-4}$$ 然而，觀察多項式和十進制數字有緊密關連。

例如 $$1923=1\times1000+9\times100+2\times10+3\times1$$ 是十進制數字的意義，若我們將上式中的$$10$$以$${x}$$代替，則可以寫成三次多項式$${x^3+9x^2+2x+3}$$。

所以，兩個整數的加（減）法直式計算，可以推廣成多項式的加（減）法直式計算。

例如$${x^4-5x^2+3x-7}$$與$${4x^3-3x^2-2x+3}$$相加，可以列直式如下，對齊各次項： 而整數的加（減）法直式計算相當於省略$${x}$$不寫，只依序寫出各次項的係數（千位數、百位數、十位數、個位數）。

類似地，我們也可以在多項式直式加法中，只依序寫出各次項的係數，稱之為分離係數法。

採用分離係數法時必須注意，若多項式中有缺項，須用$$0$$佔位，如下方紅色標示。

多項式之間的乘法可根據指數律操作。

例如$${4x^3-3x^2-2x+3}$$與$${x^2-3}$$相乘，其記號和程序如下： $${4x^3-3x^2-2x+3}\times{(x^2–3)}$$ $$={x^{2}\times(4x^3-3x^2-2x+3)-3\times(4x^3-3x^2-2x+3)}$$ (交換律和分配律) $$={4x^5-3x^4-2x^3+3x^2-12x^3+9x^2+6x-9}$$ (指數律) $$={4x^5-3x^4-{x^3}(2+12)+{x^2}(3+9)+6x-9}$$ (同類項合併) $$={4x^5-3x^4-14x^3+11x^2+6x-9}$$ 而多項式的直式乘法如下。

而根據實數的運算性質，所有乘以零的數皆為零，同樣地$${x}\times0=0$$，因此綠色那一列的運算其實可以省略： 分離係數法亦可在多項式的乘法中實作，但一樣要注意之前所提的補$$0$$原則： 多項式的除法類似正整數的除法，我們以另一篇文件整理。

多項式可以寫成等式，稱為方程式，則「元」的意義就成了「未知數」，例如$${x^2-3x+2=0}$$有兩個解。

多項式可以寫成函數，則「元」的意義就成了「變數」，例如函數$${f(x)}={x^2-3x+2}$$的圖形開口向上。

但是，$${P}={x^2-3x+2}$$並非方程式，它的意思是「令$${P}$$代表多項式$${x^2-3x+2}$$」；而$${x^2-3x+2=(x-2)(x-1)}$$也不是方程式，它的意思是等號兩側的多項式相等。

在前面兩個例子裡$${x}$$既不是未知數也不是變數，它就是一個「元」。

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