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解多項式 方根 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋   「開方」重新導向至此。

關於古代人物，請見「衛開方」。

在數學中，一數 b {\displaystyleb} 為數 a {\displaystylea} 的 n {\displaystylen} 次方根，則 b n = a {\displaystyleb^{n}=a} 。

在提及實數 a {\displaystylea} 的 n {\displaystylen} 次方根的時候，若指的是此數的主 n {\displaystylen} 次方根，則可以用根號（ t {\displaystyle{\sqrt{\color{white}t}}} ）表示成 a n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a}}} 。

例如：1024的主10次方根為2，就可以記作 1024 10 = 2 {\displaystyle{\sqrt[{10}]{1024}}=2} 。

當 n = 2 {\displaystylen=2} 時，則 n {\displaystylen} 可以省略。

定義實數 a {\displaystylea} 的主 n {\displaystylen} 次方根為 a {\displaystylea} 的 n {\displaystylen} 次方根，且具有與 a {\displaystylea} 相同的正負號的唯一實數 b {\displaystyleb} 。

在 n {\displaystylen} 是偶數時，負數沒有主 n {\displaystylen} 次方根。

習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

方根也是冪的分數指數，即數 b {\displaystyleb} 為數 a {\displaystylea} 的 1 / n {\displaystyle1/n} 次方： b = a n = a 1 / n {\displaystyleb={\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}} 目次 1符號史 2基本運算 3不盡根數 4無窮級數 5找到所有的方根 5.1正實數 6解多項式 7算法 7.1從牛頓法導出 7.2從牛頓二項式定理導出 8參見 9外部連結 符號史[編輯] 主條目：根號 最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。

直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。

）。

形成了現在所熟悉的開方運算符號 x {\displaystyle{\sqrt{\color{white}x}}} 。

考慮在電腦中的輸入問題，有時也可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算[編輯] 帶有根號的運算可由如下公式推導而得: a b n = a n b n a ≥ 0 , b ≥ 0 {\displaystyle{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquada\geq0,b\geq0} a b n = a n b n a ≥ 0 , b > 0 {\displaystyle{\sqrt[{n}]{\frac{a}{b}}}={\frac{\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquada\geq0,b>0} a m n = ( a n ) m = ( a 1 n ) m = a m n , {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac{m}{n}},} 這裡的a和b是正數。

對於所有的非零複數 a {\displaystylea} ，有n個不同的複數 b {\displaystyleb} 使得 b n = a {\displaystyleb^{n}=a} ，所以符號 a n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a}}} 就會出現歧義（通常這樣寫是取 n {\displaystylen} 個值當中主幅角最小的）。

n次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是 a m a n = a m + n {\displaystylea^{m}a^{n}=a^{m+n}} ( a b ) m = a m b m {\displaystyle\left({\frac{a}{b}}\right)^{m}={\frac{a^{m}}{b^{m}}}} ( a m ) n = a m n {\displaystyle\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}} 例如: a 5 3 a 4 5 = a 5 3 a 4 5 = a 5 3 + 4 5 = a 37 15 {\displaystyle{\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac{5}{3}}a^{\frac{4}{5}}=a^{{\frac{5}{3}}+{\frac{4}{5}}}=a^{\frac{37}{15}}} 若要做加法或減法，需考慮下列的概念。

a 5 3 = a a a a a 3 = a 3 a 2 3 = a a 2 3 {\displaystyle{\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}} 若已可以簡化根式表示式，則加法和減法就只是群的「同類項」問題。

例如 a 5 3 + a 8 3 {\displaystyle{\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}} = a 3 a 2 3 + a 6 a 2 3 {\displaystyle={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}} = a a 2 3 + a 2 a 2 3 {\displaystyle=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}} = ( a + a 2 ) a 2 3 {\displaystyle=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}} 不盡根數[編輯] 未經化簡的根數，一般叫做「不盡根數」（surd），可以處理為更簡單的形式。

如下恆等式是處理不盡根數的基本技巧: a 2 b = a b {\displaystyle{\sqrt{a^{2}b}}=a{\sqrt{b}}} a m b n = a m n b n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac{m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}} a b = a b {\displaystyle{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}={\sqrt{ab}}} ( a + b ) − 1 = 1 ( a + b ) = a − b ( a + b ) ( a − b ) = a − b a − b {\displaystyle\left({\sqrt{a}}+{\sqrt{b}}\right)^{-1}={\frac{1}{({\sqrt{a}}+{\sqrt{b}})}}={\frac{{\sqrt{a}}-{\sqrt{b}}}{({\sqrt{a}}+{\sqrt{b}})({\sqrt{a}}-{\sqrt{b}})}}={\frac{{\sqrt{a}}-{\sqrt{b}}}{a-b}}} 無窮級數[編輯] 方根可以表示為無窮級數: ( 1 + x ) s t = ∑ n = 0 ∞ ∏ k = 0 n ( s + t − k t ) ( s + t ) n ! t n x n ( | x | < 1 ) {\displaystyle{\begin{aligned}&(1+x)^{\frac{s}{t}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}} 找到所有的方根[編輯] 任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。

這個數應當首先被寫為如下形式 a e i φ {\displaystyleae^{i\varphi}} (參見歐拉公式)。

接著所有的n次方根給出為: e ( φ + 2 k π n ) i × a n {\displaystylee^{({\frac{\varphi+2k\pi}{n}})i}\times{\sqrt[{n}]{a}}} 對於 k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystylek=0,1,2,\ldots,n-1} ，這裡的 a n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a}}} 表示 a {\displaystylea} 的主 n {\displaystylen} 次方根。

正實數[編輯] 所有 x n = a {\displaystylex^{n}=a} 或 a {\displaystylea} 的 n {\displaystylen} 次方根，這裡的 a {\displaystylea} 是正實數，的複數解由如下簡單等式給出: e 2 π i k n × a n {\displaystylee^{2\pii{\frac{k}{n}}}\times{\sqrt[{n}]{a}}} 對於 k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystylek=0,1,2,\ldots,n-1} ，這裡的 a n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{a}}} 表示 a {\displaystylea} 的主 n {\displaystylen} 次方根。

解多項式[編輯] 曾經有數學猜想，認為多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。

例如，方程   x 5 = x + 1 {\displaystyle\x^{5}=x+1} 的解不能用根號表達。

要解任何n次方程，參見求根演算法。

演算法[編輯] 對於正數 A {\displaystyleA} ，可以通過以下演算法求得 A n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{A}}} 的值： 猜一個 A n {\displaystyle{\sqrt[{n}]{A}}} 的近似值，將其作為初始值 x 0 {\displaystylex_{0}} 設 x k + 1 = 1 n [ ( n − 1 ) x k + A x k n − 1 ] {\displaystylex_{k+1}={\frac{1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac{A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]} 。

記誤差為 Δ x k = 1 n [ A x k n − 1 − x k ] {\displaystyle\Deltax_{k}={\frac{1}{n}}\left[{\frac{A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]} ，即 x k + 1 = x k + Δ x k {\displaystylex_{k+1}=x_{k}+\Deltax_{k}} 。

重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： | Δ x k | < ϵ {\displaystyle|\Deltax_{k}|