多項式方程式與代數基本定理（Polynomial equation and the ...

多項式方程式與代數基本定理（Polynomial equation and the Fundamental Theorem of Algebra） 國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範 ... Monday8thAugust2022 8-Aug-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 多項式方程式與代數基本定理（PolynomialequationandtheFundamentalTheoremofAlgebra） 國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯 一元一次方程式$$ax+b=0,a\neq{0}$$之解為$$x=\frac{-b}{a}$$， 一元二次方程式$$ax^2+bx+c=0,a\neq{0}$$之解為$$\displaystyle{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$， 這兩者在國中數學中均已學過，也都作了不少練習。

那麼，三次以上又如何呢？$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$、$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$、$$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$$等等，到底有沒有解？有沒有公式解？這問題在數學史上是至為精彩的一章，從卡丹諾（GirolamoCardano,1501~1576）與塔爾塔利亞(NicoloTartaglia,1500~1557)的恩怨情仇，到兩個英年早逝的天才數學家：衝動決鬥而身亡的伽羅瓦（EvaristeGalois,1811~1832）與貧病交迫的阿貝爾（NielsHenrikAbel,1802~1829），有興趣的讀者上網搜尋相關資料閱讀。

形如$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$$的方程式，因其等號的左式就是一個$$n$$次多項式，故稱為「多項式方程式」，也常常稱為「一元$$n$$次方程式」。

阿貝爾已證明：存在有一個五次的多項式方程式沒有公式解，因此，要求五次以上的多項式方程式之解，就不是一件容易的事了。

不過，換一個角度看問題！如果我們只問是否有解，而不必非要解出不可的話，那麼，偉大的數學家高斯（JohannCarlFriedrichGauss,1777~1855）在1799年（時年22歲）所證明的所謂的「代數基本定理」，就具有劃時代的意義了： 任一個$$n$$次複係數多項式方程式$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0=0$$ （$$n$$為正整數），至少有一個複數根。

籍由「代數基本定理」，再利用因式定理逐次提出一次因式，就可以將$$n$$次複係數多項式方程式分解成$$n$$個一次因式的乘積，作法如下： (1)設$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a+0=0$$是一個$$n$$次複係數多項式方程式，由代數基本定理知其至少有一個複數根，令為$$\alpha_1$$，即$$f(\alpha_1)=0$$，由因式定理可知$$x-\alpha_1$$是$$f(x)$$的一次因式，則$$f(x)=(x-\alpha_1)\cdot{Q_1(x)}$$其中$$Q_1(x)$$是一個$$n-1$$次複係數多項式。

(2)$$Q_1(x)=0$$是一個$$n-1$$次複係數多項式方程式，只要$$n-1$$是正整數，那就可由代數基本定理知$$Q_1(x)=0$$至少有一個複數根$$\alpha_2$$，即$$Q_1(\alpha_2)=0$$，再由因式定理知$$x-\alpha_2$$是$$Q_1(x)$$的一次因式，則$$Q_1(x)=(x-\alpha_2)\cdot{Q_2}(x)$$，其中$$Q_2(x)$$是一個$$n-2$$次複係數多項式。

代回$$f(x)$$，得$$f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_1)\cdot{Q_2(x)}$$。

(3)一再重覆上述步驟，最後$$f(x)$$一定可以因式分解成 $$f(x)=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_1)\mbox{……}(x-\alpha_n)$$。

由上述過程可知，$$\alpha_1,\alpha_2,\mbox{…},\alpha_n$$就是$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$的$$n$$個複數根。

$$\alpha_1,\alpha_2,\mbox{…},\alpha_n$$這之間當然可能會有重複的，若我們將重複$$k$$次的$$k$$重根計做$$k$$個根，那我們就可以得到一個重要的結論： 任一個$$n$$次複係數多項式方程式$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0=0$$ （$$n$$為正整數），恰有$$n$$個複數根。

雖然我們知道一般而言，五次以上的多項式方程式沒有公式解，但我們也知道$$n$$次多項式方程式恰有$$n$$個解，那麼，在哪些條件下可以容易的找到解，或是如何去逼近解（求解的近似值），這就是接下來的重要課程了。

Tags:代數基本定理,多項式方程式 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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