二次函数- 维基百科，自由的百科全书

的定义是一个二次多项式，因为 x {\displaystyle x} x 的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。

该方程的解称为方程的根或 ... 二次函数 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 解析式： f ( x ) = x 2 − x − 2 {\displaystylef(x)=x^{2}-x-2\,\!} 在数学中，二次函数（英語：quadraticfunction）表示形为 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} （ a ≠ 0 {\displaystylea\neq0\,\!} ，且 a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 是常数）的多项式函数，其中， x {\displaystylex} 为自变量[a]， a {\displaystylea} 、 b {\displaystyleb} 、 c {\displaystylec} 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二次函数的图像是一条主轴平行于 y {\displaystyley} 轴的抛物线。

[1] 二次函数表达式 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c} 的定义是一个二次多项式，因为 x {\displaystylex} 的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

目录 1历史 2根 3二次函数的形式 4图像 4.1x截距 4.2顶点 4.3最大值和最小值 5二次函数的平方根 6二元二次函数 6.1最小值/最大值 7註釋 8参考资料 8.1参考书目 9參見 10外部連結 历史[编辑] 大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。

公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

[b] 11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。

亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liberembadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

[c] 根[编辑] 更多信息：二次方程和韦达定理 二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyleax^{2}+bx+c=0\,\!} 的两个根为： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystylex={\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 解方程后，我们会得到两个根： x 1 {\displaystylex_{1}} 和 x 2 {\displaystylex_{2}} 。

则点 ( x 1 , 0 ) {\displaystyle(x_{1},0)} 和 ( x 2 , 0 ) {\displaystyle(x_{2},0)} 就是二次函数与 x {\displaystylex} 轴的交点。

根的类型如下： 设 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle\Delta=b^{2}-4ac\,} 為一元二次方程式的判別式，又記作D。

當 Δ > 0 {\displaystyle\Delta>0\,\!} ，则方程有两个不相等的根，也即与 x {\displaystylex} 轴有两个不重疊的交点，因为 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是正数。

當 Δ = 0 {\displaystyle\Delta=0\,\!} ，则方程有两个相等的根，也即与 x {\displaystylex} 轴有一个切点，因为 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是零。

當 Δ < 0 {\displaystyle\Delta<0\,\!} ，则方程没有實數根，也即与 x {\displaystylex} 轴没有交点，因为 Δ {\displaystyle{\sqrt{\Delta}}} 是共軛複數。

设 r 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{1}={\frac{-b+{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} 和 r 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyler_{2}={\frac{-b-{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}} ，我们可以把 a x 2 + b x + c {\displaystyleax^{2}+bx+c\,\!} 因式分解为 a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylea(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 。

二次函数的形式[编辑] 二次函数可以表示成以下三种形式： f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} 称为一般形式或多项式形式。

f ( x ) = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystylef(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 称为因子形式或交点式，其中 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} 是二次方程的两个根， ( r 1 , 0 ) {\displaystyle(r_{1},0)} , ( r 2 , 0 ) {\displaystyle(r_{2},0)} 是抛物线与 x {\displaystylex} 轴的两个交点。

f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k {\displaystylef(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!} 称为标准形式或顶点形式， ( h , k ) {\displaystyle(h,k)} 即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。

把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。

把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。

把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h {\displaystyleh} 代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 h {\displaystyleh} k {\displaystylek} 展開後比較後可得 k = − a ( | r 1 − r 2 | 2 ) 2 {\displaystylek=-a\left({\frac{|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}} 不通過 r 1 {\displaystyler_{1}} 和 r 2 {\displaystyler_{2}} 求 k {\displaystylek} 及 h {\displaystyleh} 公式： h = − b 2 a {\displaystyleh=-{\frac{b}{2a}}} k = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystylek=-{\frac{b^{2}-4ac}{4a}}} (也作 k = 4 a c − b 2 4 a {\displaystylek={\frac{4ac-b^{2}}{4a}}} ) 而在三種形式中皆出現的 a {\displaystylea} 為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像[编辑] f ( x ) = a x 2 , {\displaystylef(x)=ax^{2},\!} a = { 0.1 , 0.3 , 1 , 3 } {\displaystylea=\{0.1,0.3,1,3\}\!} f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!} b = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyleb=\{1,2,3,4\}\!} f ( x ) = x 2 + b x , {\displaystylef(x)=x^{2}+bx,\!} b = { − 1 , − 2 , − 3 , − 4 } {\displaystyleb=\{-1,-2,-3,-4\}\!} 系数 a {\displaystylea} 控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。

| a | {\displaystyle|a|} 越大，开口越小，函数就增长得越快。

系数 b {\displaystyleb} 和 a {\displaystylea} 控制了抛物线的对称轴（以及顶点的 x {\displaystylex} 坐标）。

系数 b {\displaystyleb} 控制了抛物线穿过 y {\displaystyley} 轴时的倾斜度（导数）。

系数 c {\displaystylec} 控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与 y {\displaystyley} 轴的交点。

函数 图像 函数变化 对称轴 开口方向 最大（小）值 y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}} a > 0 {\displaystylea>0} 当 x > 0 {\displaystylex>0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而增大；当 x < 0 {\displaystylex<0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的减小而增大 y {\displaystyley} 轴或 x = 0 {\displaystylex=0} 向上 0 {\displaystyle0} y = a x 2 {\displaystyley=ax^{2}} a < 0 {\displaystylea<0} 当 x > 0 {\displaystylex>0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而减小；当 x < 0 {\displaystylex<0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的减小而减小 y {\displaystyley} 轴或 x = 0 {\displaystylex=0} 向下 0 {\displaystyle0} y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c} a > 0 {\displaystylea>0} 当 x > 0 {\displaystylex>0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而增大；当 x < 0 {\displaystylex<0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的减小而增大 y {\displaystyley} 轴或 x = 0 {\displaystylex=0} 向上 c {\displaystylec} y = a x 2 + c {\displaystyley=ax^{2}+c} a < 0 {\displaystylea<0} 当 x > 0 {\displaystylex>0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而减小；当 x < 0 {\displaystylex<0} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的减小而减小 y {\displaystyley} 轴或 x = 0 {\displaystylex=0} 向下 c {\displaystylec} y = a x 2 + b x + c {\displaystyley=ax^{2}+bx+c} a > 0 {\displaystylea>0} 当 x > − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而增大；当 x < − b 2 a {\displaystylex − b 2 a {\displaystylex>-{\frac{b}{2a}}} 时， y {\displaystyley} 随 x {\displaystylex} 的增大而减小；当 x < − b 2 a {\displaystylex 0 {\displaystylea>0\,\!} 时，则是最小值。

经过顶点的竖直线 x = h = − b 2 a {\displaystylex=h=-{\frac{b}{2a}}} 又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值[编辑] 函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。

以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} ，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数： f ( x ) = a x 2 + b x + c ⇔ f ′ ( x ) = 2 a x + b {\displaystylef(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow\,\!f'(x)=2ax+b\,\!} 然后，求出 f ′ ( x ) {\displaystylef'(x)\,\!} 的根： 2 a x + b = 0 ⇒ 2 a x = − b ⇒ x = − b 2 a {\displaystyle2ax+b=0\Rightarrow\,\!2ax=-b\Rightarrow\,\!x=-{\frac{b}{2a}}} 因此， − b 2 a {\displaystyle-{\frac{b}{2a}}} 是 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!} 的 x {\displaystylex\,\!} 值。

现在，为了求出 y {\displaystyley\,\!} ，我们把 x = − b 2 a {\displaystylex=-{\frac{b}{2a}}} 代入 f ( x ) {\displaystylef(x)\,\!} ： y = a ( − b 2 a ) 2 + b ( − b 2 a ) + c ⇒ y = a b 2 4 a 2 − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 4 a − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 − 2 b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − ( b 2 − 4 a c ) 4 a ⇒ y = − Δ 4 a {\displaystyley=a\left(-{\frac{b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac{b}{2a}}\right)+c\Rightarrowy={\frac{ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}}{4a}}-{\frac{b^{2}}{2a}}+c\Rightarrowy={\frac{b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy={\frac{-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrowy=-{\frac{\Delta}{4a}}} 所以，最大值或最小值的坐标为： ( − b 2 a , − Δ 4 a ) {\displaystyle\left(-{\frac{b}{2a}},-{\frac{\Delta}{4a}}\right)} 二次函数的平方根[编辑] 二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。

如果 a > 0 {\displaystylea>0\,\!} ，则方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}} 描述了一条双曲线。

该双曲线的轴由对应的抛物线 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最小值决定。

如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。

如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。

如果 a < 0 {\displaystylea<0\,\!} ，则方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyley=\pm{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}} 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。

如果对应的抛物线 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyley_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。

如果是负数，则描述了一个空集。

二元二次函数[编辑] 二元二次函数是以下形式的二次多项式： f ( x , y ) = A x 2 + B y 2 + C x + D y + E x y + F {\displaystylef(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!} 这个函数描述了一个二次曲面。

把 f ( x , y ) {\displaystylef(x,y)\,\!} 设为零，则描述了曲面与平面 z = 0 {\displaystylez=0\,\!} 的交线，它是一条圆锥曲线。

最小值/最大值[编辑] 如果 4 A B − E 2 < 0 {\displaystyle4AB-E^{2}<0\,} ，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果 4 A B − E 2 > 0 {\displaystyle4AB-E^{2}>0\,} ，则当 A > 0 {\displaystyleA>0} 时函数具有最小值，当 A < 0 {\displaystyleA<0} 具有最大值。

其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点 ( x m , y m ) {\displaystyle(x_{m},y_{m})\,} 取得，其中： x m = − 2 B C − D E 4 A B − E 2 {\displaystylex_{m}=-{\frac{2BC-DE}{4AB-E^{2}}}} y m = − 2 A D − C E 4 A B − E 2 {\displaystyley_{m}=-{\frac{2AD-CE}{4AB-E^{2}}}} 如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE\neq0\,} ，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。

如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E = 0 {\displaystyleDE-2CB=2AD-CE=0\,} ，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。

当 A > 0 {\displaystyleA>0} 时取得最大值， A < 0 {\displaystyleA<0} 时取得最小值。

其图像也是抛物柱面。

註釋[编辑] ^注：自变量 x {\displaystylex} 的取值范围为任何实数 ^参见婆羅摩笈多#代數 ^参见花拉子米#代數 ^参见韦达定理 参考资料[编辑] ^数学.北京:北京师范大学出版社.2014.ISBN 9787303136933. 使用|accessdate=需要含有|url=(帮助) ^贾士代.初中代数41讲.北京:首都师范大学出版社. :49–55.ISBN 7-81039-028-7.  ^WebGraphing.com用配方法解一元二次方程.[2015-08-06].（原始内容存档于2015-07-29）.  参考书目[编辑] 《代数1》，Glencoe,ISBN0-07-825083-8 《代数2》，Saxon,ISBN0-939798-62-X 參見[编辑] 抛物线 外部連結[编辑] 埃里克·韦斯坦因.Quadratic.MathWorld.  查论编多項式函數 零次函數(常數函數) 一次函數 二次函數 三次函數 四次函數 五次函數 方程 一次方程 二次方程 三次方程 四次方程 五次方程 六次方程 七次方程 八次方程 九次方程 算法 多项式除法 因式 不可约多项式 最大公因式（英语：Polynomialgreatestcommondivisor） 秦九韶算法 結式 判别式 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=二次函数&oldid=71769922” 分类：​多項式函数数学术语数学概念隐藏分类：​含有访问日期但无网址的引用的页面有蓝链却未移除内部链接助手模板的页面使用ISBN魔术链接的页面 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 العربيةکوردیCymraegDeutschEnglishفارسیFrançaisहिन्दीBahasaIndonesiaItaliano日本語ភាសាខ្មែរ한국어ລາວBahasaMelayuPortuguêsSlovenščinaShqipСрпски/srpskiTagalogTiếngViệt粵語 编辑链接